高考数学专题08 三角形与平面向量结合问题(第一篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；（Ⅱ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++=2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠，1cos 2A ∴=，()0,A π∈Q ，3A π∴=。

（Ⅱ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+- 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点可得：2AI =，AD AE ==b c a +-=(222b c b c bc ∴+-=+-，化简得()4b c =+≥b c =时取等号）12bc ∴≥或43bc ≤又b c +>12bc ∴≥，即[)1cos 6,2AB AC bc A bc ⋅==∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值为6此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 223bc S A π==⨯⨯=【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】 已知在ABC V 中，1AB =，2AC =．（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r；（2）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值． 【思路引导】（1）根据AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==，然后得到2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，代入到()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r中，进行整理化简，得到答案；（2）根据E 为BC 的中点，在ABE ∆和ACE ∆中用余弦定理，从而得到224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r ，然后利用基本不等式，求出2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值，得到答案.解：（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u ru u u r u u u r 所以可得2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()20AB AC ⋅-=u u u r u u u r ；（2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 而BE CE =u u u r u u u r，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE AB AE CE ACAE BE AE CE+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r整理得：224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ()224AE BC +u u ur u u u r2222414110BC AEAE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r1951010⎛+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r时，等号成立.【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3a =，ABC ∆，求BA AC ⋅u u u r u u u r 的值．【思路引导】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，化为2sin cos sin A B A =，由于sin 0A >，所以1cos 2B =，最后得3B π=； （2）先由3a =且1sin 232ac π⨯=得2c =，再由余弦定理得b =，cos 14A =，进而得()cos 2114BA AC bc A π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． 解:（1）∵()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， ∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B C B C B B C A =+=+= ∵0A π<<，∴sin 0A >∴2cos 1B =，1cos 2B =又0B π<<∴3B π=． （2）∵3a =，ABC ∆，∴13sin 23c π⨯=2c =，22223223cos73b π=+-⨯⨯=，即b =22223cos A +-==，∴()cos 21BA AC bc A π⎛⋅=-==- ⎝⎭u u u r u u u r【典例4】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性考试】在平面直角坐标系xOy 中，设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b +=，22sin 3sin sin C A B =.（1）求C ；（2）设()1,cos P A -，()cos ,1Q A -，且A C ≤，OP uuu r 与OQ uuur 的夹角为θ，求cos θ的值.【思路引导】 (1)利用正弦定理得232cab =.再由a b +=平方与余弦定理求得cos C 进而求得C 即可.(2)将(1)所得的3C π=代入条件即可求得30A =︒,90B =︒.再利用平面向量的公式求解cos θ即可.解：（1）∵22sin 3sin sin C A B =∴23sin sin sin 2C A B = ∴由正弦定理得232c ab =∵a b +=∴22223a b ab c ++= 根据余弦定理得：2222221cos 2222a b c c ab ab C ab ab ab +--====∴3C π=（2）由（1）知3C π=,代入已知,并结合正弦定理得3sin sin 21sin sin 2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1sin 2A =或sin 1A =（舍去） 所以30A =︒,90B =︒∴2cos OP OQ A ⋅==u u u r u u u r而27||||1cos 4OP OQ A ⋅==+=u u u r u u u r∴22cos cos 71cos 74A A θ===+． 【典例5】【2019届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A ，a ＝1，b ＝2． （1）求∠C 和边c ；（2）若BM 4=,=且点P 为△BMN的最值． 【思路引导】（1）利用倍角公式和三角函数的诱导公式将12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A 进行化简可得，一个关于C cos 的一元二次方程，进而可求解出C cos ，即可求出∠C 的大小；然后应用余弦定理即可求出边长c ；（2）建立坐标系，由已知向量的关系BM 4=,=可得，N M ,点的坐标，即可求出△BMN的内切圆方程，运用参数方程[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x ，++中并化简整理得)sin(324643211ϕθ+-+-，再由三角函数的值域为]1,1[-，故所求式子的最大值即可求出． 解：（1）因为12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A ， 所以CB A B AC cos )cos(2sin 212cos 2-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-=，所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或21cos =C ，又因为),0(π∈C ，所以21cos =C ，所以3π=C ．由余弦定理可得，3cos 222=-+=C ab b a c ．建立坐标系，由（1）A()())1,0(,0,0,0,3C B ，由BM 4=,=()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令 [)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x()()22222213-+++++-=++y x y x y x ()θθcos 326sin 4321142323322-++-=+--+=y x y x ()324643211sin 324643211-+-≤+-+-=ϕθ【典例6】【河北衡水金卷2019届高三高考模拟一理科数学试题】已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求||AD u u u r的值．【思路引导】（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=，由余弦定理得a =（2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =u u u v ．解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+， 即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=， 在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2A =-． 又()0,A π∈，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=，所以a =（2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =u u u v ．【典例7】【广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末】已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+u r，()sin sin ,sin sin n B A C B =--r ，且m n ⊥u r r .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【思路引导】（1）由m n ⊥u r r得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.解：（1）(),m a b c =+u r Q ，()sin sin ,sin sin n B A C B =--r ，m n ⊥u r r，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<Q ，3A π∴=； （2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆1.【2020届河北省冀州中学高三年级模拟考试】△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小． 解：（Ⅰ）由222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r已知2222cos 2bc A a b c bc =---，·由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π=． （Ⅱ）∵23A π=，∴3B C π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+．∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2，解得6B C π==． 2.【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学】在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，AM =u u u ur 求ABC ∆的面积.解：因为()cos 3cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 3sin sin cos A B C B A =- 即sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=, sin 3sin cos C C A = 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 3A =2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r由3b =，AM =u u u u r 1cos 3A =得219234183c c ++⨯⨯⨯=⨯解得：79c c ==-或（舍）；所以ABC ∆的面积17323S =⨯⨯⨯=3.【山西省运城市2019-2020学年高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且8a =，cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-. （1）求tan B 的值；（2）若16AB CB =u u u r u u u rg ，求b 的值.【思路引导】（1）由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =化简cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-得2sin cos sin sin A B A B =，即tan 2B =.（2）由tan 2B =得到cos 5B =，因为16AB CB =u u u r u u u r g ，8a =，解得c =代入2222cos b a c ac B =+-即可.解：（1）∵cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =- 由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =∴sin cos cos 2sin sin cos sin cos C A B A C B C C =- 又∵sin 0C ≠∴cos cos 2sin cos cos A B A B C =- ∴()cos cos 2sin cos cos A B A B A B =++∴cos cos 2sin cos cos cos sin sin A B A B A B A B =+- ∴2sin cos sin sin A B A B = 又∵sin 0A ≠∴tan 2B =（2）∵tan 2B =∴cos B =又∵16AB CB =u u u r u u u r g ∴cos 16ac B =又∵8a =∴c =∴由余弦定理知，22222cos 8202852b a c ac B =+-=+-⨯⨯=∴b =4.【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r.（1）求AD BC ⋅u u u r u u u r的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r，求实数t 的值.【思路引导】（1）将,AD BC u u u r u u u r 都转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅u u u r u u u r的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r 转化为2AB CD t CD⋅=u u u r u u u ru u u r ，同（1）的方法，将CD uuu r 转化为用,AB AC u u u r u u u r 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.解：（1）D Q 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r()1133BD BC AC AB ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121333AC AB AB AC =-+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=-u u u r u u u r（2）()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r Q ，2AB CDt CD⋅∴=u u u r u u u ru u u r ()2233CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=u u u r2222839CD CB ⎛⎫== ⎪⎝∴⎭u u u r u u u r 2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 22233AB AC AB =-⋅u u u r u u u r u u u r 821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=5.【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考】 已知ABC ∆中，3B π=.（Ⅰ）若12AB AC ==，求ABC ∆的面积；（II）若4,,AB BM MN NC AN ====u u u u v u u u u v u u u v，求AM 的长.【思路引导】（1）由余弦定理得到BC =，进而得到三角形ABC 是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设BM x =，则2BN x =，AN =,由余弦公式得到1BM =，AM =. 解析：（Ⅰ）由题意知，22212cos BC B +-=12=，解得BC =， ∴222AC BC AB +=，∴1122ABC S ∆=⨯=（Ⅱ）设BM x =，则2BNx =，AN =. 在ABN ∆中，()()22242x =+242cos3x π-⋅⋅⋅，解得1x =或2x =-（舍去），∴1BM =. 在ABM ∆中，AM ==.6.【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月)联考】设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若()2Af =，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅uu u r uuu r 的最小值.【思路引导】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求解增区间即可；（Ⅱ）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3A π=，由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1，根据切线长相等结合图象得b c a +-=()4b c =+，利用均值不等式求最值即可.解：(Ⅰ) ()112sin cos 2sin2cos23222222f x x x cosx sinx cosx x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ) sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0,A π∈，所以3A π=.由余弦定理可知：222a b c bc =+-. 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，如图所示可得：b c a +-=(222b c b c bc +-=+-.()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC u u u v u u u v⋅的最小值为6.令也可以这样转化：1r a b c =⇔++=代入222b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭； ()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）； [)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC u u u v u u u v⋅的最小值为6.7.【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中考试】已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =--，()x R ∈ （1）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且c =()0f C =，若向量(1,sin )m A =u r与向量(2,sin )n B =r共线，求,a b 的值.【思路引导】（1）利用二倍角公式及化一公式，化简()f x 的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由()0f C =，解得C 角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a ，再利用余弦定理解得,a b 的值. 解：（1）当，即时，有最小值为当，即时，有最大值为(2)与向量共线由正弦定理得①，由余弦定理可得②①②联立可得8. 在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.【思路引导】（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，整理可得0CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v ，从而可得2C π∠=；（2）在直角ADC ∆与直角BDC ∆中中，4sin sin CD AC A A==，4sin sin CD BC B B ==，从而可得114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==，根据三角函数的有界性可得 ABC ∆面积的最小值.解：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v ．所以2C π∠=.（2）在直角ADC ∆中，4sin sin CD AC A A ==， 在直角BDC ∆中，4sin sin CD BC B B==，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==， 由+2A B π=得，()20,A π∈，故(]sin20,1A ∈，当且仅当4A π=时，()max sin21A =，从而()min 16ABC S ∆= .9.【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值． （Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a 的最小值．解：(1) ∵ABC V 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =u u u r u u u r得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=…当且仅当b c =时取等号，所以a 10.【2019届河北省武邑中学高三上学期期末考试】已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r．（1）求A 2tan 的值；（2）若4π=B ，3CB CA -=u u u r u u u r，求ABC ∆的面积S ．【思路引导】（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tan A 的值即可；（2）由tan A 与tan B 的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tan C 的值，进而求出sin C 的值，利用正弦定理求出b 的值，再利用三角形面积公式即可求出S ． 解：（1）设ABC ∆的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，∵AB AC S ⋅=u u u r u u u r ，∴A bc A bc sin 21cos =，∴A A sin 21cos =，∴2tan =A ．∴34tan 1tan 22tan 2-=-=A A A ． （2）3CB CA -=u u u r u u u r ，即3AB c ==u u u r，∵2tan =A ，20π<<A ，∴552sin =A ，55cos =A ． ∴10103225522552sin cos cos sin )sin(sin =⋅+⋅=+=+=B A B A B A C ． 由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ， 35523521sin 21=⋅⋅==A bc S ．。