空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(精讲)(解析版)
专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；2.了解两点间距离、点到平面的距离的含义.3.理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.【知识清单】知识点1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识点2．空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．abc V = 知识点3．异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：]2,0(π.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．知识点4．直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.知识点5．二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【考点梳理】考点一 ：平面的基本性质【典例1】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【典例2】（2020·全国高考真题（文））如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为长方体1111ABCD A BC D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内【规律方法】1.证明点共线问题的常用方法公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合【变式探究】1.（2019·河南高三月考（文））如图，1111ABCD A B C D －是平行六面体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A.1A M O A 、、、不共面B.A M O 、、三点共线C.A M O C 、、、不共面D.1B B O M 、、、共面【答案】B【解析】如图所示：连接11AC ，因为AO ⊂平面11AB D ，AO ⊂平面11ACC A ，所以AO 是平面11AB D 与平面11ACC A 的交线；又因为直线1AC 交平面11AB D 于点M ，所以M ∈AO ，所以AM O 、、三点共线，则B 正确；因为M ∈平面11ACC A ，所以1A M O A 、、、共面，故A 错误，同理可知C 错误；显然M 不是1AC 中点，所以1B B O M 、、、不共面，故D 错误，故选：B.2.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12， ∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【总结提升】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.考点二： 空间线、面的位置关系【典例3】（2019·全国高考真题（理））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【典例4】（2020·江苏省高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC BC C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1ABC ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【总结提升】1.判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．2．三种平行关系的转化：3. 三种垂直关系的转化 线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直4.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．5.证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【变式探究】1．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，M F ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．2．（2019·北京高考真题（文））已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【总结提升】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.考点三： 异面直线所成的角【典例5】（2020·全国高三课时练习（理））在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''－中，异面直线A D '与AB '所成角的大小是________. 【答案】π3【解析】在正方体ABCD A B C D ''''－中，连接,,A D AB B C '''，如图所示：则//A B DC ''，且A B DC ''=，所以四边形A B CD ''是平行四边形，所以//A D B C ''，所以AB C ∠'或其补角是异面直线A D '与AB '所成的角，连接AC ，则AB C ' 所以3AB C π∠'=，所以异面直线A D '与AB '所成的角为π3 故答案为：π3. 【规律方法】1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2,0(π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a ，b ，则两异面直线所成角θ满足cos θ＝||a ||||·a b b ⋅. 【变式探究】（2019·四川棠湖中学高二月考）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A.2πB.C.D.3π 【答案】A【解析】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，2A M ==，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ．故选：A ．考点四： 直线与平面所成角【典例6】（2020·浙江省高考真题）如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥． 由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =， HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sinHG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3【典例7】（2018·天津高考真题（文））如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°．（Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DMAD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN在等腰三角形DMN中，MN=1，可得12cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CMABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD．在Rt△CMD中，sinCMCDMCD∠==所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为4．【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式探究】1. （2019·陕西高三月考（理））已知正方体1111ABCD A BC D -的体积为，点P 在正方形1111D C B A上，且1,A C 到P 的距离分别为CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )C.12D.13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P AC ==，所以点P 是11AC 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==2.（2019·全国高三月考（理））已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，32π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________.【答案】10【解析】如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:60r =1=,则2AD =, 又由343233R ππ=,得球的半径R 2=,所以AP ===取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面PAB 所成的角,又PC2PE ===,所以cosCPE ∠=10=.直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为10. 考点五： 二面角【典例8】（2019·浙江高考真题）设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<< 【答案】B【解析】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PD ED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin sin α=⇒α=β=γ=，故选B. 【总结提升】1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．【变式探究】（2019·河北高三月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】6π【解析】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =.过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ，则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.∵DH ==，∴tan AD AHD DH ∠==此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ==,所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
第04讲_空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)
高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱空间点、直线、平面之间的位置关系知识精讲一．平面的三个公理及推论1．三个公理：（1） 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（2） 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说 成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．（3）公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 2．三个推论（都可利用公理2进行推导）．推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 共面直线：包括平行直线和相交直线.异面直线：既不相交又不平行的直线叫做异面直线.αlB AαCBA Aαaβ三点剖析一．方法点拨1．证明空间中的三点共线问题：一般根据公理3证明这些点都在两个平面的交线上：即先确定出某两个点在某两个平面内，再证明第三个点既在第一个平面内，又在第二个平面内，则三点都在两平面的交线上公理3是证明点共线的依据，应该这样理解： （1）如果A 、B 是交点，那么AB 是交线；（2）如果l αβ=，点P 是,αβ的一个公共点，那么P l ∈．2．证明直线共面通常的方法：（1）先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）； （2）分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；（3）可以假设这些直线不在同一平面内，然后通过推理找出矛盾（反证法）．平面的基本性质例题1、 若点B 在直线b 上，b 在平面β内，则B b β、、之间的关系可记作（ ） A.B b β∈∈ B.B b β∈⊂ C.B b β⊂⊂ D.B b β⊂∈例题2、 在下列命题中，不是公理的是（ ） A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 例题3、 空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果EF GH P ⋂=，则点P （ ） A.一定在直线BD 上 B.一定在直线AC 上 C.在直线AC 或BD 上 D.不在直线AC 上也不在直线BD 上 例题4、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是() A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练1、 如果,,,,a b l a A l b B αα⊂⊂⋂=⋂=那么下列关系成立的是（ ） A.l α⊂ B.l α∉ C.l A α⋂= D.l B α⋂= 随练2、 两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ） A.两个公共点 B.三个公共点 C.四个公共点 D.两条平行直线共面与异面直线例题1、 如图，设E F G H P Q ，，，，，分别是正方体1111ABCD A B C D -所在棱上的中点，求证：E F G H P Q ，，，，，共面．例题2、 已知直线直线求证：直线共面．,a b c ∥∥,,.l a A l b B lc C ===,,,a b c l PQ HG F E B 1D 1C 1A 1DCBA例题3、 如图，,D E 是棱PC 上不重合的两点，,F H 分别是棱,PA PB 的点，且与P 点不重合，求证：EF 和DH 是异面直线．例题4、 如图所示，已知梯形中，画出平面与平面的交线．随练1、 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是( ) A.1或3个 B.1或4个 C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个 随练2、 如图，点是的中点，画出平面与平面的交线．拓展1、 如图所示，用符号语言可表达为（ ）A.m n m n A αβα⋂=⊂⋂=，，B.m n m n A αβα⋂=∈⋂=，，C.m n A m A n αβα⋂=⊂⊂⊂，，，D.m n A m A n αβα⋂=∈∈∈，，，2、 如图所示是正方体的表面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题，正确命题的序号是______________3、 下列命题中正确的有几个（ ）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线； ②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于A B C 、、三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个ABCD ,2,AB CD DC AB =∥PBC PAD DBPAE 1CC BDE 1111A B C D 1C B A 1C E APH FDBAn mAβαFE MN D C B A4、 如图所示，已知正方体中，分别是的中点，求证：延长后相交于一点．1111ABCD A B C D ,G H 1111,B C C D 1,,DH BG CC1A C答案解析平面的基本性质与推论平面的基本性质例题1、 【答案】 B【解析】 点是元素，直线和平面为集合 例题2、 【答案】 A【解析】 D 、B 、C 分别为公理一、二、三． 例题3、 【答案】 B【解析】 根据公理三可得 例题4、 【答案】 C【解析】 根据点线面确定平面的方法判断即可. 随练1、 【答案】 A【解析】 直线和平面的包含关系 随练2、 【答案】 D【解析】 有多于不在同一直线三点的两个平面重合共面与异面直线例题1、【答案】 见解析【解析】 连接EF QG ，，∵E F Q G ，，，分别是111111A D D C A A C C ，，，的中点，∴11,||||EF AC QG 同理||FG EP ，设E F G Q ，，，确定平面F G E P α，，，，确定平面β，由于α，β都经过不共线的三点E F G ，，，故α，β重合，即E F G P Q ，，，，五点共面，同理可证E F G H Q ，，，，五点共面，故E F G H P Q ，，，，，共面． 例题2、【答案】 见解析 【解析】 证明：确定平面确定平面又 平面内都有直线和点且点在直线外． 重合，则同理，共面．例题3、【答案】 见解析 【解析】 反证法，假设EF 与DH 有公共点，则公共点也为平面PAC 与平面PBC 的公共点，从而公共点在直线PC 上，而,,,EF PC F PC DH D D F ==不重合，结论不成立．,,lb B b l =∴,,a b α∴.β,..l a A A l A α=∴∈∴∈,,.A a a A ββ∈⊂∴∈∴,αβb ,A A b ,αβ∴.a α⊂.,,,c a b c l α⊂∴例题4、 【答案】 如图【解析】 延长交于点连接即是平面与平面的交线． 随练1、 【答案】 C【解析】 按照直线与点的位置讨论得出 随练2、【答案】 如图所示．【解析】 如图，延长交于点延长交于点连接即是平面与平面的交线．拓展1、【答案】 A【解析】 平面的交线，直线和平面的交点，点和平面的属于关系 2、【答案】 ③④【解析】 还原立体图可得 3、【答案】 C【解析】 不共面的五个点最多能确定10个平面 4、【答案】 见解析．【解析】 证明：先证相交于一点，然后再证过这一点即可．平行且等于又平行且等于 平行且等于． 所以四点共面，且为梯形．所以延长后必交于点因为所以同理．所以点在平面平面的交线上．又平面平面延长后相交于一点．DBPA,CB DA ,Q ,PQ PQ PBC PAD D 1C 1B 1A 1MDC E A11,DE D C ,M 11,BE B C ,N ,MN MN BDE 1111A B C D ,DH BG 1CC 1111,,D H HC B G GC GH ==∴111.2B D 11B D ,BD GH ∴12BD ,,,G H B D GHDB ,DH BG .P 11,,P BG BG BCC B ∈⊂平面11.P BCC B ∈平面11P CC D D ∈平面P 11BCC B 和11CC D D 11BCC B111,CC D D CC =1,P CC ∴∈∴1,,DH BG CC。
空间点、直线、平面之间的位置关系 经典例题与讲解
求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；∵B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；∴两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为a∥b，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点B，，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”可知，点B，，D可确定平面，∴点B，，D在同一平面内.（3）∵，，∴点O平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面.类型二：三点共线问题2．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上．思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可．证明：如上图，∵直线EF∩直线HG=P，∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1．首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上．2．选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．举一反三：【变式1】已知△ABC在平面外，AB∩=P，AC∩=R，BC∩=Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上．证明：∵AB∩=P，∴P∈AB，P∈平面．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上．∴P、Q、R三点共线．总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可．【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定．解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA．又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线．总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。
空间点直线平面之间的位置关系例题
在探讨空间点直线平面之间的位置关系之前，我们首先要了解什么是空间点、直线和平面。
空间点是指没有长、宽、高的点，仅有位置坐标的点；直线是由无数个点组成的一条直线；平面是由无数个点组成的一个平面。
这三个概念在空间几何中是非常基础且重要的。
接下来我们来探讨一些例题，以便更好地理解它们之间的位置关系。
1. 空间点A(1,2,3)、直线l:x=2t, y=t, z=t和平面π:2x-y+z=5之间的位置关系是怎样的？首先我们来看点A和直线l之间的位置关系。
点A与直线l之间的位置关系可以通过点到直线的距离来确定。
点到直线的距离是点到直线上的垂线段的长度。
通过计算可以得出点A到直线l的距离是√14/3，可知点A与直线l是不相交的。
接着我们来看点A和平面π之间的位置关系。
点A与平面π之间的位置关系可以通过点是否在平面的同一侧来确定。
通过计算可以得出点A不在平面π的同一侧，因此点A与平面π是相交的。
点A与直线l是不相交的，点A与平面π是相交的。
2. 空间点B(2,1,4)、直线m:x=t+1, y=2t-1, z=t和平面δ: x+2y-z=7之间的位置关系是怎样的？同样的，我们首先来看点B和直线m之间的位置关系。
通过计算可以得出点B到直线m的距离是√6，可知点B与直线m是相交的。
接着我们来看点B和平面δ之间的位置关系。
通过计算可以得出点B在平面δ的同一侧，因此点B与平面δ是相交的。
点B与直线m是相交的，点B与平面δ是相交的。
在本例题中，我们简单介绍了空间点、直线和平面之间的位置关系，同时给出了例题的解答过程。
希望对你有所帮助。
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空间几何在数学中占据着重要的地位，它研究了空间中点、直线和平面之间的位置关系，是几何学的一个重要分支。
空间点、直线和平面的位置关系不仅仅是数学领域的问题，实际上在日常生活中也经常会涉及到这些概念。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间点、直线、平面之间的位置关系(讲义及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（讲义） ＞知识点睛一、平面的基本性质如果一条直线上的________ 在一个平面内，那么这条直线在此平面内过 ____________的三点，有且只有一个平面如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们有 且只有_____________ 过该点的公共直线公理1 公理2公理3 自 八 语 言符号语言2相关推论 1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.3：经过两条平行直线，有且只有一个平 位置关系符号语言 图示点、线点在直线上--- ------- 1点在直线外点、面点在平面内 •B/ - /点在平面外 二、位置关系面. A /ca公理 推论 面.推论 ••人B, C 三点 不共线 二有且只有一个 平面a,使位置关系 符号语言 图示线、线 同一平面 相交平行不同一平面 异面线、面 线在平面内线在平面外 相交3 /平行/面、面 平行 粉'\ /相交7三、线线位置关系I 公理4：平行于 ______________ 的两条直线互相平行.定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角________________ .2 异面直线所成的角① 定义：设G 方是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a' b' //h,把刃与夕所成的 _________________ 叫做异面直线"，”所成的角（或夹角）.② 异面直线所成角&的范H ： _________ .③ 如果两条异面直线所成的角是直角，那这两条直线___________ .两条互相垂直的异面直线仙b,记作 __________ . ④ 图示.3 求角的处理步骤① 构造：根据异面直线的定义，用平移法作出角；② 证明：证明说理；③ 计算：求角度，常利用三角形求解；④ 结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求b '出的角是是钝角，则其补角为所求角.四、证明三线共点、三点共线的方法1.三线共点处理思路：先证两条直线相交于一点，再证第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，利用公理3可证.2.三点共线处理思路：先找两个平面，证明这三点都是这两个平面的公共点，利用公理3,三点都在交线上.精讲精练下列四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线：佛点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则点A, B, E共面；③若直线G方共面，直线"，（•共面，则直线b，C共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确的有（）A- 0个B・1个C・2个D・3个2 . 设P表示一个点，⑴b表示两条直线，g 0表示两个平面, 给出下列四个命题：®Pe«r P eawua；©anh=P, bupnaup；③a〃b、rtua, Pe/jr P eanbua；④ari0=/?, P ecGPEpnPEb.其中正确的是（3 . A-①②C・①④D・②③如图，anfi=h A. Bea. CW介且C*人直线AB n f=M.过A, B, C 三点的平面记作y,则卩与〃的交线必通过（）A•点AC•点C但不过点MB・点BD•点C和点MD. 6在下图中，G, N, M, H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，其中表示直线GH, MN 是异面直线的图形是 ________ .（填 上所有正确答案的序号）111 U /!/ // 皆、 ■(;① N // ©// . V //® 4. 下列说法正确的是（A B c 若uug bup 、则a 与b 是异面直线若《与Z?异面，/?与C 异面，则丫/与^异面 若G, Z?不同在平面Ct 内，则a tj h 异面 若⑴b不同在任何一个平面内，则a 与b 异面5. 在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi 中，既与AB 共面也总CCi 共面的棱有（… * A- 3 )条・ B ・4 AlCl C- 5 6.9. ；A n /! / /1 J 1/ F C Z /如图，在空间四边形ABCD 中，对角线AC=24. BD=\0. M, N 分别是AB, CD 的中点，且MN 二13,则异面直线AC 和BD 所成角的度数为（A. 90。
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
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平面1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α2.1-4 3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析） 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αD C B A α αβ α β ·B ·A αL A· α ·BB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（投影）C ·B· A · α =>a ∥c P · α Lβ 共面直线让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
（2）强调：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1、判断题：（1）a∥b c⊥a => c⊥b （）（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （）2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示2a α a ∩α=A a ∥α2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 —— 没有公共点（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
空间点、直线平面之间的位置关系 单元测试一、选择题1. a,b 是两条异面直线， （ ） A ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一个平面与a ，b 都平行 B ．过直线a 且垂直于直线b 的平面有且只有一个C ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都平行D ．若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都垂直 2. a 、b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至少有一条直线与a 、b 都垂直；④至少有一个平面分别与a 、b 都平行，其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直α β α βL线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )A. 90° B .60° C. 45° D.30°4、下面四个命题：①空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等②一个平面两条直线与另外一个平面平行，则这两个面平行③一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直④两个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直其中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题1. 已知直线m，n，平面βα,，给出下列命题：①若βαβα⊥⊥⊥则,,mm；②若βαβα//,//,//则mm；③若βαβα⊥⊥则,//,mm；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的命题的题号为 _______2. 设l m n、、是三条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，下面有四个命题：①,l lβαβα若∥∥,则∥；②,l n m n l m若∥∥,则∥；③,l lαβαβ⊥⊥若∥,则；④,,l mαβ⊥⊥若,.l mαβ⊥⊥则其中假命题的题号为__________3. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：①AB与EF所在的直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是_____________三、解答题1. 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出l⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)2. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,233D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；E N AF C BDM（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.3. 如图，已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点.(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；答案：一、1.D 2.A 3.C 4.B二、1.③、④ 2.①、③ 3.②、④三、1. 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN 、NP 、MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可断定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP ．解法1 作正方体ABCD －A 1B 1 C 1 D 1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA 1D 、EFGHKR 和CB 1 D 1都是对角线l (即 AC 1)的垂面．对比图①，由MN ∥BA l ，MP ∥BD ，知面MNP ∥面BA l D ，故得l ⊥面MNP ．AC D ES对比图②，由MN 与面CB 1D 1相交，而过交点且与l 垂直的直线都应在面CB l D l ，所以MN 不垂直于l ，从而l 不垂直于面MNP ．对比图③，由MP 与面BA l D 相交，知l 不垂直于MN ，故l 不垂直于面MNP ． 对比图④，由MN ∥BD ，MP ∥BA ．知面 MNP ∥面BA 1 D ，故l ⊥面MNP ． 对比图⑤，面MNP 与面EFGHKR 重合，故l ⊥面MNP ． 综合得本题的答案为①④⑤．解法2 如果记正方体对角线l 所在的对角截面为α．各图可讨论如下： 在图①中，MN,NP 在平面α上的射影为同一直线，且与l 垂直，故 l ⊥面MNP ．事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是MP 的垂线，故l ⊥MP ；l 在左侧面的射影是MN 的垂线，故l ⊥MN ，从而l ⊥面 MNP ．在图②中，由MP ⊥面α，可证明MN 在平面α上的射影不是l 的垂线，故l 不垂直于MN ．从而l 不垂直于面MNP ．在图③中，点M 在α上的射影是l 的中点，点P 在α上的射影是上底面的点，知MP 在α上的射影不是l 的垂线，得l 不垂直于面 MNP ．在图④中，平面α垂直平分线段MN ，故l ⊥MN ．又l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP 垂直，从而l ⊥MP ，故l ⊥面 MNP ．在图⑤中，点N 在平面α上的射影是对角线l 的中点，点M 、P 在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l 与这一直线垂直．从而l ⊥面MNP ．至此，得①④⑤为本题答案．2. （Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，[来源:]∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角，[来源:] ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.323323tan 11===∠BEB B BE B ∴∠B 1EB=60°． 即二面角B 1—AD —B 的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=,323323=⨯ ∴ AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131.827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---∆∆==∴=.827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827 13.(1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BD Ì底面ABCD ，∴SA ⊥BDES∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BD Ì平面EBD ∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)解：设AC ∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD 由AB ＝2，知BD ＝2 2SO ＝SA 2＋AO 2＝42＋(2)2＝3 2∴S △SBD ＝12 BD ·SO ＝12·22·32＝6令点A 到平面SBD 的距离为h ，由SA ⊥平面ABCD , 则13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA∴6h ＝12·2·2·4 Þ h ＝43 ∴点A 到平面SBD 的距离为43。