平面汇交力系的合成与平衡的几何法和解析法
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工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
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第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
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§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
02平面汇交力系
与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
工程力学—第二章平面汇交力系
A C B
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
60º 30º 30º
a
a
30º
60º
解： (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
(a)
(b)
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系是指作用于物体上的各力的作用线位于
同一平面内且汇交于一点的力系。 汇交力系也称为共点力系 据力的可传性原理，将作用于 刚体上的各汇交力沿其作用线移至 汇交点，即可形成平面共点力系， 并不影响其对刚体的作用效果。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 平面汇交力系
A F4
FR1 F R2
F1 F3
F1
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则）
任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件F1 OFra bibliotekF2 F3
F1 O
F2 F3
Fn
FR
Fn
FR
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
解得
FBA
B
F B FBC
F
FBC FBA
F 2 sin
FBC
M
C
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
解得
FCB
C
F FM FCB cos cot 2
FNC FM
FCB
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
汇交力系
＝20kN，不计刚架自重。用几何法求支座A、D处的约束反力。
解 (1) 选平面刚架为研究对象，按比例画出其分离体图。
(2) 对刚架进行受力分析，并画出其受力图，如图 b) 所示。
刚架上作用有水平力F，辊轴支座D的反力FD。根据三力平衡汇交 定理，力F和FD交于C点，所以固定铰支座处的反力FA，必沿A、
200 0.5 300 0.866 100 0.707 250 0.707 112 . 3 N
合力：
夹角：
FR
2 2 FRx FRy 171.3N
FRx FR , i arccos arccos( 0.7548 ) 40.99 o FR
力。梁的自重不计。
F
A C 60º B 30º 60º 60º
a
a
30º
30º
解：(1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出F、FA 和FB 的闭合力三角形。 (4) 解出：FA = Fcos30 = 17.3 kN，FB = Psin30 = 10 kN
[例] 平面刚架ABCD在B点作用一水平力F，如图所示。已知F
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力 解： 取节点 B 为研究对象，AB 、BC 都是二力杆
A D
60 0
画受力图 建立坐标系如图 B 由平衡方程：
F
x
0
30
0
FBA F1 cos 600 F2 cos300 0
C
F
P
y
30 0
y
0
FBC F1 cos300 F2 cos 600 0
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
解 (1) 选平面刚架为研究对象，按比例画出其分离体图。
(2) 对刚架进行受力分析，并画出其受力图，如图 b) 所示。
刚架上作用有水平力F，辊轴支座D的反力FD。根据三力平衡汇交 定理，力F和FD交于C点，所以固定铰支座处的反力FA，必沿A、
200 0.5 300 0.866 100 0.707 250 0.707 112 . 3 N
合力：
夹角：
FR
2 2 FRx FRy 171.3N
FRx FR , i arccos arccos( 0.7548 ) 40.99 o FR
力。梁的自重不计。
F
A C 60º B 30º 60º 60º
a
a
30º
30º
解：(1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出F、FA 和FB 的闭合力三角形。 (4) 解出：FA = Fcos30 = 17.3 kN，FB = Psin30 = 10 kN
[例] 平面刚架ABCD在B点作用一水平力F，如图所示。已知F
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力 解： 取节点 B 为研究对象，AB 、BC 都是二力杆
A D
60 0
画受力图 建立坐标系如图 B 由平衡方程：
F
x
0
30
0
FBA F1 cos 600 F2 cos300 0
C
F
P
y
30 0
y
0
FBC F1 cos300 F2 cos 600 0
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法
第2章 平面汇交力系与平面力偶理论
且在同一平面内，由平面力偶系的合成理论．其合力偶矩为
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
式中，负号表示合力偶的转向为顺时针方向转动。
欲求作用在A、B处的水平力，应以工件为研究对象，受力分析如图 2—13所示，由于工件在水平面内受四个力偶和两个螺栓的水平反力 的作用下而平衡。因为力偶只能与力偶平衡，故两个螺栓的水平反 力N一和jv”必然组成一个力偶。由平面力偶系的平衡方程
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
根据合力投影定理，可计算出合力R的投影Rx和Ry
合力R与x轴正向间的夹角为
平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力R等于0，则有
上式成立，必须同时满足
平面汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是：力系中所有 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
例2-2 图2-5(a)所示圆柱体A重Q，在中心上系着两条绳AB和 AC，并分别经过滑轮B和C，两端分别挂重为P和2P的重物，试 求平衡时绳AC和水平线所构成的角α及D处的约束反力。 解 选圆柱为研究对象，取分离体画受
（2）作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大 小相等、转向相同，则该两个力偶彼此等效。这就是平面力 偶的等效定理。
定理的推论
(1)力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 (2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变 力偶中力的大小和相应力偶臂的长短。而不改变它 对刚体的作用效应 上述推论表明，在研究同一平面内有关力偶问题时， 只需考虑力偶矩的代数值，而不必研究其中力的大 小和力偶臂的长短。
从而解得
所以
例 图a 所示结构中，各构件自重不计。在构件AB 上作用1力 偶矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
解（1）BC为二力杆： F c= −F B（图c） （2）研究对象AB，受力如图b 所示， F AFB' 构成力偶， 则
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理论力学电子教案
平面汇交力系
21
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT Байду номын сангаасFN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
平面汇交力系
15
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab , x2 bc , FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRx x1 x2 xn FRy y1 y2 yn
理论力学电子教案
平面汇交力系
10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
理论力学电子教案
平面汇交力系
11
由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴
的夹角分别为a、b，则
Fx F cosa Fy F cos b F sina
P mg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
理论力学电子教案
平面汇交力系
20
例 题 2- 3
由于求出的
FAB
和
FCB
都是正值，所以原先假设
的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
影Fx、Fy的绝对值相等。
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
理论力学电子教案
平面汇交力系
13
注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量； 投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。 Fy,则反力之F， 的若大已小知和力方F向在为两：正交坐标轴上的投影为Fx、
F Fx2 Fy2
理论力学电子教案
平面汇交力系
22
思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试
问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答：FA
P
2 cosq
理论力学电子教案
例 题 2- 4
平面汇交力系
23
如图所示，重物P=20 kN， 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上， 钢丝绳的另一端水平绕在铰车 D上。杆AB与BC 铰接，并以 铰链A，C与墙连接。如两杆 与滑轮的自重不计并忽略铰链 中的摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB 和BC 所受的力。
理论力学电子教案
例 题 2- 1
平面汇交力系
6
利用三力平衡汇交定理确定铰A 处约束力的方位。
理论力学电子教案
平面汇交力系
7
思 考 题 2- 1
试指出图示各力之间的关系。
(a)
(b)
(c)
(d)
理论力学电子教案
平面汇交力系
8
例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示。试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
于平衡时， 杆AB、BC
所受的力。
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例有三题个力2：- 3重力解P：；取BC铰杆B为的研约究束对力象FC，B（其设上为作拉用力）
及AB杆的约束力 FAB（设为压力），列出平衡方程
Fx 0, FCBcos 30 FABcos 45 0 Fy 0, P FCBsin 30 FABsin 45 0
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思 考 题 2- 4
如图所示，匀速起吊
重为
P
的预制梁，如果
要求绳索AB、BC 的拉力
不超过 0.6P ，问a 角应在
什么范围内？
答： P
2sin a
≤0.6P
56.4°≤a < 90°
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例 题 2-4
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解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，得一平面汇交力系。
设杆AB受拉，杆BC 受压，受力图
及坐标如图。 列平衡方程
Fx 0, FBA F1sin 30 F2sin 60 0 Fy 0, FBC F1cos 30 F2 cos 60 0
显然，F1=F2=P 解方程得： FBA 0.366P 7.32 kN (压杆） FBC 1.366P 27.3 kN (压杆）
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求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
(1) 弄清题意，明确已知量和待求量； (2) 恰当选取研究对象，明确所研究的物体； (3) 正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力， 二力构件等）； (4) 合理选取坐标系，列平衡方程并求解； (5) 进行校核，并对结果进行必要的分析和讨论。
FRx Fx 0
A
FR y
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在 x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB为研究对象。
2. 根据三力平衡汇交定理 画出受力图。 3. 选定合适的比例尺作出 相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN ， FB = 10.0 kN 它们的方向如图所示。 可见用几何法可以求解两个未知量。
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第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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平面汇交力系的定义：
若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。FR
F1 F2
F3
cosa Fx
Fx2
F
2 y
cos b Fy
式中cosa
Fx2
F
2 y
和cosb 称为力
F
的方向余弦。
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思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y
轴方向的分力的大小与力 F 在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
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FR F1F2 ... Fn Fi
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2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
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3. 合成
FR
FR x 2
FR
2 y
tan a FR y
FR x
FRx Fx
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
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4. 平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
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而如将力
F
沿正交的
x所 小、得与y 分 力坐力标F 在轴相方Fx应向、轴F分 y上解的的，大投则