中考数学易错点归纳
中考数学常考易错点4.7圆
4.7 圆易错清单1.考虑问题不全面,缺乏分类讨论而导致错误.【例1】已知:☉O的直径为14cm,弦AB=10cm,点P为AB上一点,OP=5cm,则AP的长为cm.【解析】学生画图造成思维定势,画出了一种,因此答案就写一种.没有真正理解“点P为AB上一点,OP=5cm”的含义,即点P是以O为圆心,5cm为半径的弧与AB的交点,这样的点P有两个.【答案】4或6【误区纠错】学生在画图的时候,没有分类的意识,这里的点P是靠近点A还是点B不清楚,因此需要分类.2.切线的判定【例2】(2014·山东临沂)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的☉O与底边AB 交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.(1)证明:DE为☉O的切线;(2)连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.【解析】(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的☉O,可得CD⊥AB,又由等腰三角形ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;(2)首先根据三角函数的性质,求得BD,DE,AE的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积,继而求得答案.【解答】(1)连接OD,CD,∵BC为☉O直径,∴∠BCD=90°.即CD⊥AB,∵△ABC是等腰三角形,∴AD=BD.∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.∵点D在☉O上,∴DE为☉O的切线.【误区纠错】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.3.圆和圆的位置关系.【例3】(2014·江苏徐州)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm,若圆P与这两个圆都相切,则圆P的半径为cm.【解析】如解答图所示,符合条件的圆P有两种情形,需要分类讨论.【答案】由题意,圆P与这两个圆都相切若圆P与两圆均外切,如图(1)所示,此时圆P的半径。
初中数学九年级中考复习《圆》考点易错题剖析讲解
圆【易错分析】易错点1：对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况.易错点2：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用勾股定理进行解题. 易错点3：对切线的定义及性质理解不深,不能准确的利用切线的性质进行解题.易错点4：考查圆与圆的位置关系时,相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况.易错点5：圆锥的侧面积与全面积，高与母线考试时易混淆.【好题闯关】好题1.⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为( )A. 30°B. 60°C.30°或150°D. 60°或120°解析：考查了圆周角与弦的关系,同弦所对的圆周角有两种情况，部分同学考虑不全面导致选B 而出错.答案: D好题2．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米解析: 考查了垂径定理的内容，学生不会做辅助线导致出错.答案：B好题3. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C ，若25A =∠．则D ∠等于（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒解析：考查了切线的性质以及圆周角与圆心角的关系，部分同学理解不够深刻导致出错.答案：A 好题4. 若1O ⊙与2O ⊙相切，且125O O =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（ ）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 3 或7解析: 对概念理解不清楚而致错. 圆与圆的位置关系中，相切有外切和内切两种情况，想当然地把圆与圆相切仅仅理解为外切一种情况而出错.答案：D好题5.半径为13cm 和15cm 的两圆相交，公共弦长为24cm ，则两圆的圆心距为 . 解析：考查圆与圆的位置关系，相交时有圆心在公共弦同侧和圆心在公共弦两侧的情况，部分同学理解为圆心一定是公共弦两侧导致做出一个答案.答案：4cm 或14cm好题6. 如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）D AA ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm解析：考查了圆锥的侧面展开图及扇形面积的计算方法，部分学生立体感不强，不理解两者之间的内在联系导致出错.答案：D好题7．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积 （ ）A ．230cmB ．230cm πC ．260cm πD ．248cm π 解析：考查了圆锥侧面积的计算方法，学生解题时易混淆高与母线导致出错.答案：C120︒B O A 6cm。
中考数学查补易混易错点《因式分解》原卷
查补易混易错02 因式分解因式分解在初中数学中是整式乘除以及分式化简求值的过渡章节，起到承上启下的连接作用，所以因式分解的掌握程度也直接影响分式这个章节。
因式分解在中考数学中的考察主要是前两步，即：“一提”、“二套”，个别应用型问题中会考察“分组分解因式”和“十字相乘分解因式”，需要在复习中都清楚掌握对应方法。
中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中属于必考考点，难度中等偏下。
易错01：因式分解的形式：整式加减的关系写成整式乘法的关系叫因式分解，左右关系千万不要记反了。
如：()2222b ab a b a ---=+-不是因式分解 易错02：因式分解的一般步骤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧“十字”十字相乘：二次三项想因式式，再利用前两步分解三分组：先分组分解因二套：套用乘法公式一提：提取公因式 特别注意：①提取公因式这一步必须把所有公因式一次提取完；若没有公因式则跳过这一步②套用乘法公式时，两项式想平方法公式，三项式想完全平方公式 ③十字相乘法基本原理公式：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2④因式分解的结果必须分解彻底，不能存在再因式分解的部分【中考真题练】1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣1＝x （x ﹣1）﹣1B ．x 2﹣1＝（x ﹣1）2C ．x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣3）（x +2）D ．x （x ﹣1）＝x 2﹣x 2．（2022•绵阳）因式分解：3x 3﹣12xy 2＝ ．3．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．4．（2022•巴中）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝．5．已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．6．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．12 7．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．8．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．9．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【中考模拟练】1．（2023•蚌山区校级二模）下列因式分解中，正确的是（）A．2a3﹣4a2+2a＝2a（a2﹣2a）B．C．a3﹣9a＝a（a2﹣9）D．﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）（a﹣b）2．（2023•保定一模）对于①（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，②x﹣2xy＝x（1﹣2y），从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是乘法运算B．都是因式分解C．①是乘法运算，②是因式分解D．①是因式分解，②是乘法运算3．（2023•宿州模拟）下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是（）A．x2+2x﹣1B．x2﹣2x+3C．x2﹣4y D．x2﹣4y2 4．（2023•路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+b2＝（a+b）2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．（2023•白塔区校级一模）分解因式：x4﹣16x2y2＝．6．（2023•天门校级模拟）分解因式：a2（a﹣b）+25（b﹣a）＝．7．（2023•安丘市模拟）分解因式：3x2﹣3x+＝．8．（2023•合川区校级模拟）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m 的最大值为．9．（2023•黑龙江一模）已知a+b＝2，ab＝2，求a3b+a2b2+ab3的值．10．（2023•襄垣县一模）（1）计算：﹣（﹣2）3×（）﹣；（2）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．分解因式：（3x+y）2﹣（x+3y）2．解：原式＝（3x+y+x+3y）（3x+y﹣x﹣3y）……第一步＝（4x+4y）（2x﹣2y）……第二步＝8（x+y）（x﹣y）……第三步＝8（x2﹣y2）．……第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为；任务二：以上分解过程第步出现错误，具体错误为，分解因式的正确结果为．11．（2023•郑州一模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，故4，12，20 都是神秘数．（1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：；（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？（3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．12．（2022•重庆模拟）阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．。
易错点03 函数-中考数学考试易错题(解析版)
易错点03 函数1．平面直角坐标系与函数2．一次函数的图像与性质3．一次函数的应用4．反比例函数5．二次函数的图像性质与性质6．二次函数的应用01各个待定系数表示的意义。
1．一次函数y＝﹣3x﹣4的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】解答：解：∵一次函数y＝﹣3x﹣4，k＝﹣3，b＝﹣4，∵该函数经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A．1．已知反比例函数y＝bx的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵反比例函数的图象在一、三象限，∵0b>，A．∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，∵0b>不相符，故A错误；∵0b<，与0B. ∵二次函数的开口向下，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b->，∵0与已知b>0矛盾故B错误；C.∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，∵0a<，b>，∵0∵二次函数图象与y轴交于负半轴，c<，∵0∵一次函数y＝cx+a的图象过二、三、四象限，故C错误；D. ∵二次函数的开口向上，对称轴在y轴右侧，∵a、b异号，a>，c<0∵0b-<，则b>0,∵0所以一次函数图象经过第一、二、四象限故D 正确；故选D ．20(1)k -有意义，则一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：∵0(1)k -有意义，∵10,10k k -≥-≠，∵k -1>0，∵一次函数(1)1y k x k =-+-的图象可能是A ，故选：A ．3．已知抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，则m 的取值范围是（ ）．A ．1m >B ．1m <C ．1m >-D ．1m <-【答案】C【解析】解：根据题意，∵抛物线2(1)y m x x =++的开口向上，∵10m +>，∵1m >-；故选：C ．02 各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。
专题 08 一次函数(5大易错点分析)(解析版)-备战2024年中考数学考试易错题(广东专用)
２、一般地，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０
的一个解；
３、以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解为坐标的点都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象上，
４、一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元 次方程组的解
学以 致 用
１．（２０２３·海珠区校级二模）已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２的图象与ｘ轴的交点坐
Ｏ Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减少，
∴ｋ＜０．
在直线ｙ＝２ｘ＋ｋ中， ∵２＞０，ｋ＜０，
∴函数图象经过一三四象限，
故选：Ｄ．
ｘ＜壹 ５．（２０２１·广州模拟）已知：函数ｙｉ＝２ｘ－１，ｙｚ＝－ｘ＋３，若
小，则直线 ｙ＝ －２ｘ＋ｋ的图象是（）
ｙ
ｙＡ
ｙ＇
ｙｌ
０Ｘ
０ｘ
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｏｘ ０ ｘ
Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减小，
∴ｋ＜０，
在直线 ｙ＝－２ｘ＋ｋ中，
－２＜０，ｋ＜０，
∴函数图象经过二、三、四象限．
２．函数性质的理解：一次函数具有一些特殊的性质，如增减性、连续性等。学生容易
忽视这些性质，或者在应用这些性质时出错。 ３．函数斜率和截距的理解：在一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ中，ａ 是函数的斜率，ｂ 是函数的 截距。学生容易混淆斜率和截距的概念，或者不理解它们对函数图像的影响。 易错提醒：１、一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠Ｏ）的增减性：
中考数学常考易错点：2 2《分式方程》
中考数学常考易错点：2 2《分式方程》中考数学常考易错点：2-2《分式方程》分数阶方程易错清单1.为什么解分数阶方程容易出错？[示例1]（2022新疆）求解分数阶方程：+=1【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.[答：]将方程两边乘以（x+3）（x-3），得到3+x（x+3）=x-9。
去掉括号，得到3+X+3x=X-9，解为X=-4检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,二2二∴x=-4是原分式方程的解.【纠错】最简单的公分母是错误的，这会增加计算负担并导致错误；在计算中，应注意常数项应乘以最简单的公分母【例2】(2021内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【分析】首先去掉分母，将其转换成积分方程。
这个问题最简单的公分母是x（x+2）（x-2）[回答]去掉分母，得到3x-6-x-2=0。
解为x=4，经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【纠错】解分数阶方程会产生额外的根并忘记测试根【例3】（贵州省黔西南地区2022年）解方程：=【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.[答：]将方程两边乘以（x+2）（x-2）得到x+2=4，解为x=2，经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.[错误纠正]增加根不是分数方程式的根。
学生经常犯漏掉最后一句话的错误：“原始分数阶方程没有解”2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】（2022年）云南“母亲节”前夕，根据市场调查，一家商店以3000元的价格购买了第一批盒装鲜花，上市后很快就售罄，然后用5000元买了第二批盒花据了解，第二批购买的盒花数量是第一批的两倍，每箱花的购买价格比第一批低5元第一批盒花的购买价格是多少？【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经测试，x=30是原始方程的根，因此，第一批盒装鲜花的购买价格为每盒30元【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师忠告1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能用最简单的公分母将分数阶方程转化为积分方程，能用代换的思想求解分数阶方程。
中考数学易错题复习专题：三角形(1)
三角形易错点1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.易错题1：如图，点A ，B ，C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1,那么△A 1B 1C 1的面积是______________.CBA1B 1A 1错解：4 正解：7赏析：错解的主要原因在对三角形中线的有关性质理解错误，以为外侧三个三角形与里面的△ABC 面积相等.三角形的一条中线把原三角形分成的两部分是两个等底同高的等积三角形，由此，连接B 1A ，C 1B ，A 1C ，图中的7个小三角形面积均相等，故答案为7.易错点2：三角形三边之间的关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.易错题2：现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中的三根组成一个三角形，那么可组成三角形的个数是……………………………………………………………（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 错解：C 正解：B 赏析：本题对三角形三边的关系理解错误，可能以为三角形任意两边之和大于第三边的对立面是三角形任意两边之和小于第三边，其实，其对立面还包括等于的情况.从四根木棒中任取三根，共有3cm ，4cm ，7cm ；3cm ，4cm ，9cm ；3cm ，7cm ，9cm ；4cm ，7cm ，9cm 四种情况，但3＋4＝7,3＋4＜9，所以这两种情况不能组成三角形，故选B .易错点3：三角形按边、按角的分类，三角形内、外角的性质，特别是外角的两条性质. 易错题3：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论：①∠BAC ＝70°；②∠DOC ＝90°；∠BDC ＝35°；∠DAC ＝55°.其中，不正确的有………………（ ）A .①③B .②④C .②D .④F M O NP DA B错解：B 正解：C赏析：本题对①，②，③可利用三角形内角和定理及三角形外角的性质就可判断对错，关键是对④的判断易产生错误本题错解就是这种情况.判断④对错的关键是能否判定AD 是△ABC 的外角∠F AC 的平分线，为此，过点D 分别作DM ⊥AF 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，DP ⊥CE 于点P ，由BD ,CD 分别平分∠BAC ，∠ACE ，可得DM ＝DP ，DN ＝DP ，所以DM ＝DN ，由角平分线的判定可得AD 平分∠F AC ，从而可通过计算判断④正确.易错点4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三角形不一定全等.易错题4：如图，已知AB ＝DC ，∠ACF ＝∠DBE ，则添加下列条件之一，能判定△ACF ≌△DBE 且是用“SAS ”判断全等的是……………………………………………………（ ）A .AF ＝DEB .∠A ＝∠DC .AF ∥DED .FC ＝EBF EDC AB错解：A 正解：D赏析：三角形全等的判定方法通常有SAS 、ASA 、SSS 、AAS 四种，本题错解的原因是对SAS 的条件没有理解清楚.两边一角对应相等的情况有两种：一种是SAS ，其条件是两边及其夹角对应相等，另一种是两边及其一组等边的对角对应相等，这样的两个三角形不全等.易错题5：如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AE ＝BE .EBCDA错解：∵∠DAB ＝∠CBA ，∴∠DAE ＝∠CBE ，在△ADE 和△BCE 中，∵AD ＝BC ，∠DAE ＝∠CBE ，∠DEA ＝∠CEB ，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .正解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠D ＝∠C . 在△ADE 和△BCE 中，∵AD BC DEA CEB D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE ≌△BCE （AAS ），∴AE ＝BE .又解：在△ADB 和△BCA 中，∵AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△BCA （SAS ），∴∠ABD ＝∠BAC ，即∠ABE ＝∠BAE ，∴AE ＝BE .赏析：本题错在第一步，由∠DAB ＝∠CBA ，不能得出∠DAE ＝∠CBE ，可能是把未知条件当做已知条件用了.应先根据“SAS ”证△ADB ≌△BCA ，注意，这里的理由是“SAS ”而不是“SSA ”，由“SSA ”不能判断三角形全等，接下来可用“AAS ”或“ASA ”证△ADE≌△BCE 而得出结论，也可根据等腰三角形的判定“等角对等边”得出结论.易错点5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.易错题6：已知△ABC 是等边三角形，BD 为中线，延长BC 至点E ，使CE ＝CD ＝a ，连接DE ，则DE ＝__________.EBCDA错解：2a 正解赏析：本题可能以为DE ＝AC 而得出错解，在△DCE 中，用三边的关系也可判断2a 不正确.应先由等边三角形的性质得出BD 垂直平分AC ，∠CBD ＝30°，∠BCD ＝60°，又CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠BCD ＝∠E ＋∠CDE ，∴∠E ＝∠CBD ＝30°，∴BD ＝ED .再在Rt △BCD 中，由tan ∠BCD ＝BDCD得出BD ＝CD tan60，也可在Rt △BCD 中先得出BC ＝2CD ，再由勾股定理求得BD，∴DE.易错点6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用.易错题7：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得锐角为40°，则∠B 的度数为_______________.错解：65°正解：65°或25°赏析：本题只考虑了△ABC 中顶角∠BAC 为锐角的情况.由于等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是直角或钝角，∴本题应分三种情况讨论求解：①当∠BAC 为锐角时，如图1：40°图1E BCD A40°图2EBCDA图3EBCDADE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠A ＝50°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180502︒-︒＝65°；当∠BAC 为钝角时，如图2，DE 垂直平分AB ，∠ADE ＝40°，则∠DAB ＝50°，∴∠BAC ＝180°－50°＝130°，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝1801302︒-︒＝25°（或：由∠DAB ＝∠B ＋∠C ，而∠B ＝∠C ，∴∠B ＝12∠DAB ＝12×50°＝25°）；当∠BAC 为直角时，如图3，DE ∥AC ，不合题意，此种情况舍去.∴答案为65°或25°.易错点7：全等三角形与等腰三角形的综合应用.易错题8：我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中∠B ＝∠C .在由不平行BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（如图2所示），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论.（不必说明理由）图1BCP D A 图2EBCDA图3BCDA错解：是“准等腰梯形”，理由：∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴是“准等腰梯形”.当点E 不在四边形ABCD 内部时，如图3，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.正解：如图4，过点E 分别作EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AD 于点G ，EH ⊥CD 于点H .∵AE 、DE 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴EF ＝EG ＝EH .又∵EB ＝EC ，∴Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠3＝∠4，又∵EB ＝EC ，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC ＝∠DCB .又∵四边形ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”. 当点E 不在四边形ABCD 内部时，有两种情况：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图5，四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图6，四边形ABCD 是“准等腰梯形”.4321HGF图4EBCD A 图5BCDA 图6BDA赏析：本题中第一问的理由不正确，没有充分利用两条角平分线的条件，第二问没有理解不在四边形内部的含义，不在四边形内部应包括在四边形上和四边形外部两种情况.这两种情况的理由是：当点E 在四边形ABCD 的边BC 上时，如图7，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠B ＝∠C ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”；当点E 在四边形ABCD 的外部时，如图8，同理可得Rt △BFE ≌Rt △CHE ，∴∠EBF ＝∠ECH ，∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠EBF －∠EBC ＝∠ECH －∠ECB ，即∠ABC ＝∠DCB .∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”.HGF 图7BCD A H GF 图8BCD A易错练1.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条边上，若∠1＝25°，则∠2的度数为……………………………………………………………………………（ ） A .53° B .55° C .57° D .60°2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE .若只添加一个条件就能得到∠DAB ＝∠EAC ，则下列条件中不正确的是………………………………………（ ） A .BE ＝CD B .AD ＝AE C .∠BAE ＝∠CAD D .∠DAE ＝∠DEA30°21第1题图第2题图BCDA3.已知等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝12BC ，则△ABC 的底角度数为_________. 4.在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点D .求证：DB ＝DC ，并直接写出图中其他相等的线段.FEBC DA5.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC ＝45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F .当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证MF ＋FN ＝12BE . （1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由.（2）当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请证明你发现的结论. （3）你能用式子综合概括本题中MF 、FN 与BE 之间的关系吗？NMF EBC DA图1N MFEBCDA图2NMFE BC DA 图3参考答案3.75°或45°或15°解析：分三种情况：如图①，AD为腰上的高，且在△ABC内部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠B＝ADAB,∴sin∠B＝12，∴∠B＝30°，∴底角为180302︒-︒＝75°；如图②，AD为底边上的高，∵AB＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，又∵AD＝12BC，∴BD＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴底角为45°；如图③，AD为腰上的高，且在△ABC外部，∵AB＝BC，AD＝12BC，∴AD＝12AB，∴12ADAB=,又∵sin∠DBA＝ADAB,∴sin∠DBA＝12，∴∠DBA＝30°，又∵∠DBA＝∠B ＋∠C，∠B＝∠C，∴底角为30°÷2＝15°.4.证明：在△ABF和△ACE中，∵AB ACBAF CAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF＝∠ACE，∴BF＝CE，∵AB＝AC，AE＝AF，∴BE＝CF.∠ABF ＝∠ACE ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ，即∠DBC ＝∠DCB ，∴DB ＝DC .图中其他相等的线段有DE ＝DF ，BE ＝CF ，BF ＝CE . 5.解：（1）不成立；猜想：FN －MF ＝12BE .理由如下：如图4，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝FN －MF ，∴FN －MF ＝12BE .N MFEBCD A图4（2）发现的结论： MF －FN ＝12BE .证明：如图5，连接AD ，∵点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN ＝12AD ，又∵AC ＝BC ，∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∠DEC ＝45°，∴DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE .∵MN ＝MF －FN ，∴MF －FN ＝12BE .。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
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一、中考数学易错点 、考点归纳：
1. 分式值为0的时候，一定要注意分子为零且分母不为0 。
2. 算术平方根是非负数，而不是只能为正数。
3. a 表示的就是a 的算术平方根（非负的那个平方根）。
3.不等式左右两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向要变号。
如解-2x<4得x>-2 但是解2x<-4,得x<-2(因为不等式两边同时除以2)
4. 分式方程切记检验，不论计算题还是简答题。
已知分式方程解为非负数，必须保证分式方程有解（即无非负数的增根）
5.证一般三角形全等时两边及其一角时必须是两边及其夹角（即SAS ）。
6. x 轴上点(a,0),y 轴上点(0,b)。
7. 函数中，给定面积求动点坐标时候，注意求得距离是非负数，但坐标是要分正负两种情况。
谨记水平线段长度为横坐标右减左，铅直线段长为纵坐标上减下，斜线段长用两点间距离公式或转化为横平竖直的线段（通过相似或三角函数转化，前提有定角存在）
8. 自变量取值范围的几种特殊情况：二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0 ，0指数幂或负指数幂的底数不为0。
9. 三角形的重心是三条中线交点（中线平分三角形面积），三角形垂心是三条高的交点，三角形外心是垂直平分线交点（到三个顶点距离相等，即为三角形外接圆半径），三角形内心是角平分线的交点（到三边距离相等，即为三角形内切圆半径），中心只存在于正三角形中，四心合一。
10.一元二次方程二次项系数中含参数时，切记二次项系数不为0。
11.反比例函数与一次函数或是二次函数比较y 值大小，求x 取值范围时，一定要注意自变量x 不为0。
（分区域看图象）
12.韦达定理即根与系数关系，运用前提一定是△≥0。
(一元二次方程
a
c
x x a b x x ac b a ac b b x c bx ax =
⋅-=+≥--±-==++2121222
,)04(240，的求根公式
13.圆的题目中，出现圆周角，一定要在试题卷图形上先有意识把同弧所对圆周角即相等的角写出来，以备不时之需。
见到圆内接四边形，联想圆内接四边形对角互补。
14.求阴影部分面积时见到弧时常见辅助线：连半径。
15.求中位数，切记先排序。
16.求概率时要注意：①分几步完成②等可能性③“放回与不放回”如，抽两个人、两张牌等属于不放回的事件。
二、中考常用结论与几何模型补充 1. 边长为a 的等边三角形面积为24
3a 2. 3. 4. 5.
见到直角三角形斜边上的高，知道已知任意两边，可确定其它边。
AC
CD BC AC AD AB CD AD BD ⋅=⋅=⋅=222
三个结论均可以通过三角形相似来推导 八字模型，已知∠A=∠C,则可证∠B=∠D, 本质是三角形相似或三角形内角和180° 见到斜直角，构造一线三等角（三角形相似） 若同时AC=BC,则经常构造全等三角形
角平分线+平行线，一定存在等腰三角形。
在折叠等问题中会经常出现
7.
8. 几何图形中动点轨迹为圆的条件
①到定点的距离等于定长（原理：圆的半径相等） ②出现直角（原理：90°的圆周角所对的弦为直径）
③动点运动过程中出现度数不变的角（原理：同弧或等弧所对的圆周角相等） ④四边形对角互补，则四点共圆（原理：圆内接四边形对角互补）
⑤运动的角是已知角的度数的一半（原理：同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）
三、常用数学思想与方法
数学思想： 1.
分类讨论思想 2.转化与化归思想 3.方程思想 4.数形结合思想
数学方法
1. 整体法
2.换元法
3.特殊值法（适用于直接写答案的题，用常规方法解决较复杂或没找到解决方法的题）
4.逆向思维法
四、考前复习建议
回归错题（订正本或说明检测与试卷上错题），回归基础，适度练习，不让手生（押题B 上划得易错题请认真对待）
五、信心满满，认真沉着，迎接考试
“飞镖”模型∠BDC=∠B+∠C+∠BAC, 证明可借助外角定理。