2016年春人教版八年级数学下册畅优新课堂同步课件：16.1.1二次根式的概念
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八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念课件(新版)新人教版
（2）根号内字母的取值范围 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的值
个性化作业
1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b2．
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
则 a2 b2 a b2 =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣2b
个性化作业
2、已知三角形的三边x、y、z的长满足｜x2－4｜+ + =0，求这个三角形的周长. 解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0， 且 ｜x2－4｜+ + =0， ∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0. ∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x 3 x 12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫 做被开方数.
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3.
2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ b-3
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
活动探究
3．在式子
1 1
2x x
中，
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）二次根式的值
个性化作业
1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b2．
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
则 a2 b2 a b2 =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣2b
个性化作业
2、已知三角形的三边x、y、z的长满足｜x2－4｜+ + =0，求这个三角形的周长. 解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0， 且 ｜x2－4｜+ + =0， ∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0. ∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x 3 x 12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫 做被开方数.
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3.
2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ b-3
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
活动探究
3．在式子
1 1
2x x
中，
ห้องสมุดไป่ตู้
人教版数学八年级下册第16章二次根式16.1二次根式s课件上课讲义
已知 a 为实数，求代数式 a＋4－ 9－a＋ －a2的值．
解：由－a2≥0，得 a2≤0， 又∵a2≥0，∴a＝0， ∴原式＝ 4－ 9＝2－3＝－1
布置作业
教材P5页习题16.1第1、3题．
√√ √ 1.下列式子： 12， 0， （－2）2，3 a， 3－π，
其中二次根式的个数有( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值
范围是( D ) A.x≠1 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0 且 x≠1
达标测评
3.当 x 为何值时，下列各式有意义？
x3
练习2
当a 取何值时，下列二次根式有意义？
（1）
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（a -1）≥2 0，得 a为任意实数．
应用提高
已知 a，b 为一个等腰三角形的两边长，且 满足等式 2 3a 9 3 3 a b 6 ，求此等腰三角 形的周长．
4.
（双非负性）；
5. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
a0且a0
练习1
指出下列哪些是二次根式？
√ √ (1) 5; (2) 5; (3)328; (4) x21;
√ (5) a2(a2);
(6) xy(xpy).
解：属于二次根式的有（1）、（4）、（5）.
探究2
例1：当x 是怎样的实数时， x - 2 在实数范围内 有意义？
解：要使 x - 2 在实数范围有意义，
则 x－2≥0，
解：由－a2≥0，得 a2≤0， 又∵a2≥0，∴a＝0， ∴原式＝ 4－ 9＝2－3＝－1
布置作业
教材P5页习题16.1第1、3题．
√√ √ 1.下列式子： 12， 0， （－2）2，3 a， 3－π，
其中二次根式的个数有( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值
范围是( D ) A.x≠1 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0 且 x≠1
达标测评
3.当 x 为何值时，下列各式有意义？
x3
练习2
当a 取何值时，下列二次根式有意义？
（1）
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（a -1）≥2 0，得 a为任意实数．
应用提高
已知 a，b 为一个等腰三角形的两边长，且 满足等式 2 3a 9 3 3 a b 6 ，求此等腰三角 形的周长．
4.
（双非负性）；
5. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
a0且a0
练习1
指出下列哪些是二次根式？
√ √ (1) 5; (2) 5; (3)328; (4) x21;
√ (5) a2(a2);
(6) xy(xpy).
解：属于二次根式的有（1）、（4）、（5）.
探究2
例1：当x 是怎样的实数时， x - 2 在实数范围内 有意义？
解：要使 x - 2 在实数范围有意义，
则 x－2≥0，
人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的 算术平方根是二次根式．
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥ -2．
∴ 当x≥-2时， x+2在实数范围内有意义．
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3， S， 65 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．
二次根式：
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ； √ （2） -3 ； （3）3 21； （4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）；√ （6） a-b（a＜ b）．
2Rh2
简这个式子吗？ 式子 2Rh1 表示什么？公式中 r= 2Rh 中的
2Rh2
r= 2Rh 表示什么意义？
问题（1） ：
面积为3 的正方形的边长为____3___，
面积为S 的正方形的边长为____S___．
提出问题： 上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到的两个
式子有什么不同？
问题（2） ： 一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
探究1
2
2
1 3
2
=
2
4
2
0
2 17
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 有（ 2）2 = 2.
新人教版八年级下册数学16.1.1二次根式的定义优质课件
是x 2二次1根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时，
是二-5次a 根式；
当a＞0时，－5a＜0，则
不-是5a二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
-5a
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次a根式．
知1－讲
第八页，共三十页。
(5)当x＝－3时，
（x
1
3无）2意义，∴
也1 无意义；
A
A.
a
C.
B.
D.
b2 1
0
（a b）2
第十二页，共三十页。
知1－练
4．下列式子：
7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )CFra bibliotekA．2个
B．3个
C．4个
D．5个
知1－练
第十三页，共三十页。
知识点 2 二次根式有意义的条件
式子 a只有在条件a≥0时才叫二次根式． 即a≥0是 为a 二次根式的前提条件.
C．7
D．－7
第二十四页，共三十页。
知3－讲
导引：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
+ (y+
代数式进行计算即可得解．因为x y 1
x3)2y=0都1 是0非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0，
，所以y+3=0，x+y-
1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．
第二十五页，共三十页。
____h__.
5
上面问题的结果分别是
3， S , 65 ,，它h
5
们表示一些正数的算术 平方根.
畅优新课堂八年级数学下册 第十六章 二次根式 第1课时
ag b ab(a 0,b 0). 反过来，有 ab ag b(a 0,b 0).
典例解析
1.计算：（1）3 5 ；（2）1 27. 3
2.计算： （1）6 27 （-3 3）；
（2） 5 1 27 . 3 2 125
随堂训练
1.等式 x 1g x 1 x2 1 成立的条件是（ A ）
第1课时 二次根式的乘法
问题1 计算下列各式，观察计算结果，新课导入
你发现什么规律？
1 4 6 6
46 6
2 16 25 20
16 25 20
3 100 36 60
100 36 60
问题2 用你发现的规律填空，并用计 算器
【归纳总结】
一般地，对二次根式的乘法规定：
4.一个矩形的长和宽分别是 10 cm和 2 2cm ，
求这个矩形的面积.
解：矩形的面积=长×宽= 10 2 2 4 5 cm2
5.一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了 水.现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为 10cm 的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下 降了20cm .铁桶的底面边长是多少厘米？
解：
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习这件事不在乎有没有人 教你，最重要的是在于你自己有 没有觉悟和恒心。
—— 法布尔
A. x≥1 C. －1≤x≤1
B. x ≥－1 D. x≥1或x≤－1
2.计算：
(1) 2 5 10
(2) 3 12 6
(3) 2
xy g
1 x
2
y
3.化简：
(1) 49 121 77 (2) 4 y 2 y (3) 16ab2c3 4bc ac (4) (36) 16 (9) 72 (5) 52 122 13 (6) 8x2 16x4 (x 0) 2x 2 4x2
典例解析
1.计算：（1）3 5 ；（2）1 27. 3
2.计算： （1）6 27 （-3 3）；
（2） 5 1 27 . 3 2 125
随堂训练
1.等式 x 1g x 1 x2 1 成立的条件是（ A ）
第1课时 二次根式的乘法
问题1 计算下列各式，观察计算结果，新课导入
你发现什么规律？
1 4 6 6
46 6
2 16 25 20
16 25 20
3 100 36 60
100 36 60
问题2 用你发现的规律填空，并用计 算器
【归纳总结】
一般地，对二次根式的乘法规定：
4.一个矩形的长和宽分别是 10 cm和 2 2cm ，
求这个矩形的面积.
解：矩形的面积=长×宽= 10 2 2 4 5 cm2
5.一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了 水.现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为 10cm 的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下 降了20cm .铁桶的底面边长是多少厘米？
解：
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习这件事不在乎有没有人 教你，最重要的是在于你自己有 没有觉悟和恒心。
—— 法布尔
A. x≥1 C. －1≤x≤1
B. x ≥－1 D. x≥1或x≤－1
2.计算：
(1) 2 5 10
(2) 3 12 6
(3) 2
xy g
1 x
2
y
3.化简：
(1) 49 121 77 (2) 4 y 2 y (3) 16ab2c3 4bc ac (4) (36) 16 (9) 72 (5) 52 122 13 (6) 8x2 16x4 (x 0) 2x 2 4x2
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
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新课推进
思考 通过对上述问题的探究，可得到形如 h 的式子，这些式子有什么特点？ 13, S , 5
二次根式：一般地，我们把形如 a
（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中
“ ”称为二次根号.
注意：
（ 1） a 中，a必须是大于等于0的数或式子，否则 它就没有意义了； （2）尽管 4 = 2，是一个整数，但仍应称为一个 二次根式； （3）当a≥0时， 表示 a a的算术平方根，而一个 非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有 ≥ 0a （a≥0）.
(1) x 2 ; (2) 3 x x 2 ; 1 (3) . 2x 1
例3 （1）已知 x 1
的值；
y 3 0，求x，y
（2）若 y 2x 1 1 2x 3 ，求xy的值.
随堂训练
1.填空题：
（1）形如
（2）负数
的式子叫二次根式；
算术平方根（填“有”或
者“没有”）
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义：
(1) a 1 ; (2) 2a 3 ; (3) a 2 2
3.已知 2a 1 (b 3)2 0，试求a、b的值；
4.已知实数x、y满足等式y= 3 x x 3 5, 求x 2 xy y 的值.
典例解析
例1 下列各式中，一定是二次根式的有 ( )
① -3 ；②-2 a 2 ; ③ a 2 1 ; ④ a 1
分析： 判断二次根式应关注两点：（1）有 二次根号“ ”；（2）被开方数必须是 非负数.因而在所给出四个式子中，只有② ③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
例2
当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
第1课时 二次根式的概念
问题
新课3倍，面积为 39m2，则它的宽为（ ）m；
（2）面积为S的正方形的边长为（
）；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用 的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位： m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则 t=（ ）.
2 2
5.已知实数a满足 （2012-a)2 a 2013 a, 求a 20122的值.
1 2 6.已知 a 2 b 0, 求-a b的值. 2
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习文学而懒于记诵是不成的， 特别是诗。一个高中文科的学生，与 其囫囵吞枣或走马观花地读十部诗集， 不如仔仔细细地背诵三百首诗。 —— 朱自清