2016年上海高考数学(理科)真题含解析

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32i iz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+= ∴1sin 2x = ∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n = 通项88433882()(2)r r r r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅ 取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅ 的取值范围是____________【答案】[0,1 【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组 (,,)a b c 的组数为______________【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c = (ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c = 共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++= ，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=-【答案】D 【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且l i m n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B 【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<< 2n S S <，即1(21)0n a q ->若10a >，则12n q >，不可能成立 若10a <，则12n q <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+也有()()f x f x T =+∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅= (2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA ==连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BC π= ∴3BOC π∠= ∴BOC 为正三角形∴1BC BO == ∴11tan 1BC BB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜 地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图(1) 求菜地内的分界线C 的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83。

设M 是C 上 纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于1S 面积的经验值【解析】(1) 设分界线上任一点为(,)x y ，依题意1x +可得1)y x =≤≤(2) 设00(,)M x y ，则01y = ∴200144y x == ∴设所表述的矩形面积为3S ，则315(1)422S ⨯+== 设五边形EMOGH 面积为4S ，则43512113111144224OMP MGQ S S S S =-+=-⨯⨯+⨯⨯= 13851326S S -=-=, 411181143126S S -=-=< ∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点 (1) 若l 的倾斜角为2π，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程(2) 设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅= ，求l 的斜率【解析】(1)由已知1(F , 2F取x ，得2y b =122F F A∵12F F =, 22F A b =∴2即4222344(32)(2)0b b b b --=+-=∴b =∴渐近线方程为y =(2)若b =2213y x -= ∴1(2,0)F -, 2(2,0)F设11(,)A x y , 22(,)B x y ，则 111(2,)F A x y =+ , 122(2,)F B x y =+ , 2121(,)AB x x y y =-- ∴111212(4,)F A F B x x y y +=+++ 222211212121()4()0F A F B AB x x x x y y +⋅=-+-+-= (*) ∵22221212133y y x x -=-= ∴222221213()y y x x -=- ∴代入(*)式，可得2221214()4()0x x x x -+-= 直线l 的斜率存在，故21x x ≠∴121x x +=-设直线l 为(2)y k x =-，代入2233x y -=得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=∴230k -≠，且4222164(3)(43)36(1)0k k k k ∆=+-+=+>2122413k x x k +=-=-- ∴235k =∴k =∴直线l 的斜率为22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+ (1) 当5a =时，解不等式()0f x >(2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围(3) 设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围【解析】(1)21log (5)0x +>151x ⇔+>410(41)0x x x x+⇔>⇔+> ∴不等式的解为{|0x x >或1}4x <- (2)依题意，221log ()log [(4)25]a a x a x+=-+- ∴1(4)250a a x a x+=-+-> ① 可得2(4)(5)10a x a x -+--=即(1)[(4)1]0x a x +--= ②当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立当3a ≠且4a ≠时，方程②的解为11,4x a =-- 若1x =-为方程①的解，则110a a x+=->，即1a > 若14x a =-为方程①的解，则1240a a x+=->，即2a > 要使得方程①有且仅有一个解，则12a <≤综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a =(3)()f x 在[,1]t t +上单调递减依题意，()(1)1f t f t -+≤ 即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+ ∴112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++ 设1t r -=，则1[0,]2r ∈ 21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032r r r =-+ 当102r <≤时，212323r r r r r=-++- ∵函数2y x x=+在递减 ∴219422r r +≥+= ∴112293332r r ≤=+-- ∴a 的取值范围为23a ≥23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 若无穷数列{}n a 满足：只要*(),p q a a p q ∈=N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .(1) 若{}n a 具有性质P . 且11a =, 22a =, 43a =, 52a =, 67821a a a ++=，求3a ；(2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；(3) 设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+*()n ∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【解析】(1) 252a a ==∴36a a =∴473a a ==∴582a a ==∴6782116a a a =--=∴316a =(2)设{}n b 的公差为d ，{}n c 的公差为q ，则0q > 51480b b d -==∴20d =∴2019n b n =-451181c q c == ∴13q = ∴51()3n n c -= ∴512019()3n n n n a b c n -=+=-+ ∵182a =, 582a =而2212748a =+=, 6130410133a =+= 15a a =但62a a ≠故{}n a 不具有性质P(3) 充分性：若{}n b 为常数列，设n b C = 则1sin n n a C a +=+若存在,p q 使得p q a a =，则11sin sin p p q q a C a C a a ++=+=+=, 故{}n a 具有性质P必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P 则211sin a b a =+设函数1()f x x b =-, ()sin g x x = 由(),()f x g x 图像可得，对任意的1b ，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -= ∴2111sin a b a a =+=∴1n n a a +=故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-= ∴{}n b 是常数列。