2021年北京市高考数学真题试卷(含详细解析)
2021年北京市高考数学试卷(含答案)
2021年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B ＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}2．（4分）在复平面内，复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1﹣i D．1+i3．（4分）设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A．B．4C．3+D．25．（4分）双曲线C：﹣＝1过点（，），离心率为2，则双曲线的解析式为（）A．﹣y2＝1B．x2﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝16．（4分）已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为（）A．64B．100C．128D．1327．（4分）已知函数f（x）＝cosx﹣cos2x，试判断该函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为8．（4分）对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨9．（4分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2B．±C．±D．±3 10．（4分）数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+a n ＝100，则n的最大值为（）A．9B．10C．11D．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2021年高考数学北京卷(pdf)解析
本试卷共 5 页, 150 分, 考试用时 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题 共 40 分)
一、选择题：本题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 选择符合题目要求的一项.
3. 设函数 f (x) 的定义域为 [0, 1], 则“函数 f (x) 在 [0, 1] 上单调递增”是“函数 f (x) 在 [0, 1] 上的最大值为
f (1)”的 ( ).
A：充分不必要条件
B：必要不充分条件
C：充分必要条件
D：既不充分也不必要条件
答案：A.
解析：前推后, 一定成立.
后推前, 若 f (x) 在 [0, 1] 上的最大值为 f (1), 找反例, 开口向上对称轴为 x = 1 的二次函数. 4
2. 在复平面内, 复数 z 满足 (1 − i) · z = 2, 则 z =( ).
D： {x | 0 < x < 1}
A： 1
B： i
C： 1 − i
D： 1 + i
答案：D. 解析：由题意可得 z = 2 = 2 · (1 + i) = 1 + i, 故选 D.
1 − i (1 − i)(1 + i)
√
√
1
3
3+ 3
S表 = 3 × 2 × 1 × 1 + 4 × (1 + 1) =
. 2
5. 双曲线
x2 a2
−
y2 b2
=
1
2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京高考试卷,含解析)
⎨ ⎩2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京高考试卷，含解析）本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.1．复数i (2 -i ) =A ．1+ 2iB ．1- 2iC ． -1+ 2iD ． -1- 2i【答案】A【解析】试题分析：i (2 - i ) = 1 + 2i 考点：复数运算⎧x - y ≤0 ， 2. 若 x ， y 满足⎪x + y ≤1， 则 z = x + 2y 的最大值为⎪x ≥ 0 ， A ．0B ．1C ． 3D ．22【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于z= x + 2y ，则y= -1x + 1z ，令Z =0 ，作直线22- 1 x，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大， Z y = 取得最小值 2.s =x -y ，t =x +y2考点：线性规划；3. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ． (-2，2) B ． (-4，0) C ． (-4，- 4)D ． (0，- 8)【答案】B考点：程序框图4. 设α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且m ⊂ α ．“ m ∥β ”是“ α ∥β ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件【答案】BD ．既不充分也不必要条件【解析】试题分析：因为α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且m ⊂ α ．若“ m ∥β ”，则平面α、β 可能相交也可能平行，不能推出α//β ，反过来若α//β ，m ⊂ α ，则有m ∥β ，则“ m ∥β ”是“α ∥β ”5的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是1正(主)视图侧(左)视图俯视图A ． 2 +B ． 4 +C ． 2 + 2D ．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面 ABC ，取 AB 棱的中点 D ，连接 CD 、PD ，有PD ⊥ AB,CD ⊥ AB ，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2，AD=BD=1,PC=1,PD = 5,S ∆ABC =1⨯ 2 ⨯ 2 2 = 2,, S∆PAB = 1⨯ 2 ⨯ =, AC 2= BC = ，S= S= 1 ⨯ ⨯ 1= 5 ,三棱锥表面积S = 2+ 2. ∆PAC∆PBC22表考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.1 1 26. 设{a n } 是等差数列. 下列结论中正确的是A ． 若 a 1 + a 2 > 0 ， 则 a 2 + a 3 > 0B ． 若 a 1 + a 3 < 0 ， 则 a 1 + a 2 < 0C ．若0 < a 1 < a 2 ，则a 2 >D ．若a 1 < 0 ，则(a 2 - a 1 )(a 2 - a 3 ) > 0【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7. 如图，函数 f (x ) 的图象为折线 ACB ，则不等式 f (x )≥log 2 (x +1) 的解集是y 2 CA B -1O2xA ． {x | -1< x ≤0}B ．{x | -1≤ x ≤1}C ． {x | -1< x ≤1}D ． {x | -1< x ≤2}【答案】C【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km ，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高， 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分）9. 在(2 + x )5的展开式中， x 3的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】试题分析：利用通项公式，T= C r 25-r⋅ x r，令r =3 ，得出x 3 的系数为C 3⋅ 22= 40r +155考点：二项式定理x 210. 已知双曲线a2y 2 = 1(a > 0) 的一条渐近线为 3x + y = 0 ，则a = ．【答案】3考点：双曲线的几何性质11. 在极坐标系中，点⎛ 2 ‚ π ⎫ 到直线 ρ (cos θ +3 s in θ )= 6 的距离为 ．⎝ 3 ⎪⎭【答案】1【解析】π试题分析：先把点极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程ρ (cos θ +3 sin θ )= 6 化(2, )3-⎨为直角坐标方程x + 3y - 6 = 0，利用点到直线距离公式d == 1.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.12.在△ABC 中， a = 4 ， b = 5 ， c = 6 ，则sin 2A =．sin C【答案】1【解析】sin 2A试题分析：= 2 sin A cos A = 2a⋅b 2+ c 2- a 2=2 ⨯ 4 ⋅ 25 + 36- 16= 1 sin C sin C c 2bc 6 2 ⨯ 5 ⨯ 6考点：正弦定理、余弦定理13. 在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ．若 MN = x A B + y AC ，则 x = ；y =．【答案】 1 ,- 126【解析】试题分析：特殊化，不妨设AC ⊥ AB ,AB = 4,AC= 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系， A (0,0),M (0,2),C (0,3),B (4,0),N3 ，MN = (2,- 1),AB 2= (4,0),AC = (0,3)，则(2,- 1) = 2(2, ) 2x (4,0) + y (0,3)，4x = 2,3y = - 1 ,∴ x = 1 ,y = - 1.2 2 6考点：平面向量14. 设函数 f (x ) = ⎧⎪ 2x- a ‚ x <1‚⎪⎩4(x - a )(x - 2a ) ‚ x ≥1.①若a =1，则 f ( x ) 的最小值为；1 + 3 - 6 1 + 3- ②若 f ( x ) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是．1【答案】(1)1，(2) 2≤ a < 1或a ≥2 .考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = 2 sin x cos x 2 sin 2 x ．2 2 2 (Ⅰ) 求 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ) 求 f (x ) 在区间[-π ，0] 上的最小值．【答案】（1） 2π ，（2）-1 - 22【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为f (x ) =A sin(ωx+ ϕ) +mπ形式，再利用周期公式T =2π求出周期，第二步由于-π ω≤ x ≤0,则可求出- 3π ≤ x + π ≤ ，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当x + π = - π ，即x = - 3π时， 4 4 4 4 2 4f (x )取得最小值为： -1 -2 .2x x2x11 - cos x试题解析：(Ⅰ) f (x ) =sin cos - sin =⋅ sin x - ⋅=2 2222=2 sin x + 2 cos x - 2 = sin(x + π ) - 22 2 2 4 2(1) f (x )的最小正周期为T =2π1= 2π ；(2)x ≤ 0,∴ - 3π ≤ x + π ≤ π ，当x + π = - π ,x = - 3π时，f (x )取得最小值为： -1 -22444424考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小 题 13 分）A ，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；(Ⅱ) 如果a = 25 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）3 【答案】（1） 710，（2）49，（3） a = 11或18-π ≤17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥A -EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC = 4 ，EF = 2a ，∠EBC =∠FCB = 60︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角F -AE -B 的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．ACEBn n ⋅ 5【答案】(1)证明见解析，（2） -，（3） a = 4 5 3【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF ⊥平面 EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥ 平面 EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标， 平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，设平面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于 AO ⊥ BE ，要想 BE ⊥平面 AOC ，只需BE ⊥ OC ，利用向量BE 、OC 的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面 AEF ⊥平面 EFCB ，△AEF 为等边三角形，O 为 EF 的中点，则AO 根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥ 平面 EFCB ，又BE ⊂ 平面 EFCB ，则 AO ⊥ BE .⊥ EF ， (Ⅱ)取 CB 的中点 D ，连接 OD,以 O 为原点，分别以OE 、OD 、OA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0 3a )，E (a ,0,0),B (2,2 - 3a ,0),AE = (a ,0,- 3a )，EB = (2 - a ,2 - 3a ,0)，由于平面 AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为n = (0,1,0)，设平面AEB 的法向量2 = (x ,y ,1)， n 2 ⊥ AE ,ax - 3a = 0,x =，2 ⊥ EB ,(2- a )x + (2 - 3a )y = 0,y = -1，则n 2 =( 3,-1,1)，二面角 F - AE - B 的余弦值cos 〈n,n 〉 = n 1 ⋅ n 2 = -1= - 5，由二面角 1 2 51 2F - AE - B 为钝二面角，所以二面角 F - AE - B 的余弦值为-5 .5（Ⅲ）有（1）知 AO ⊥ 平面 EFCB ，则 AO ⊥ BE ，若 BE ⊥平面 AOC ，只需BE ⊥ OC ，EB = (2 - a ,2 - 3a ,0)，又OC = (-2,2 - 3a ,0)，BE ⋅ OC = -2(2 - a ) + (2 - 3a )2 = 0，解得a = 2 或a =4，由于a < 3 2 ，则a = 4. 3考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题 13 分）5 1 n n- 3 ⎛x 3 ⎫ 3 3已知函数 f (x ) = ln 1+ x．1 x（Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处的切线方程；⎛ x 3 ⎫（Ⅱ）求证：当 x ∈(0，1) 时， f ( x ) > 2 x + ⎪ ；⎝⎭k f (x ) > k x + x ∈(0 1) k （Ⅲ）设实数 使得 3 ⎪ 对 ， 恒成立，求 的最大值．【答案】（Ⅰ） 2x - y ⎝⎭ = 0，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ） k 的最大值为 2.试题解析：（Ⅰ） f (x ) = ln 1 + x ,x 1 - x ∈ (-1,1),f '(x ) = 2 1 - x 2,f '(0) = 2,f (0) = 0 ，曲线 y = f (x ) 在点(0，f (0)) 处的切线方程为2x - y = 0；( ) ( )⎛x 3⎫- + x3 > ∀ ∈（Ⅱ）当 x ∈ 0，1 时， f x > 2 x + ⎪ ，即不等式f (x ) 2(x ⎝ ⎭) 0 ， 对 x 3 (0,1)成立，设1 + x x 3x ' 2x 4F (x ) = ln - 2(x + ) = ln(1 + x ) - ln(1 - x ) - 2(x + )，则F (x ) = ， 1 - x 当 x ∈(0，1) 时， F '(x ) > 3 30 ，故F (x )在（0，1）上为增函数，则F (x ) >F (0) = 1 - x 20 ，因此对∀x ∈ (0,1)，f (x ) > 2(x + x 3 3)成立；0 0 ⎛ x 3 ⎫1 + x x 3（Ⅲ）使 f (x ) k > x + 3 ⎪ 成立，x ∈(0，1) ，等价于F (x ) = ln 1 - x - k (x + ) > 0，x ∈(0，1) ； 3 ⎝ ⎭'22kx 4 + 2 - kF (x ) =- k (1 + x ) =1 - x 2，1 - x 2当k ∈ [0,2]时， F '(x ) ≥ 0 ，函数在（0，1）上位增函数， F (x ) >F (0) = 0 ，符合题意；当k > 2 时，令F '(x ) =0,x 4= k - 2k ∈ (0,1)，x(0,x )x(x ,1)F '(x )- 0 + F (x )极小值F (x ) < F (0)，显然不成立，综上所述可知： k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.19.（本小题 14 分）x 2 + y 2 =2已知椭圆C ： a 2 b21(a > b > 0) 的离心率为 ，点 P (0，1) 和点 A (m ，n ) (m ≠0) 都在椭圆C 上， 2 直线 PA 交 x 轴于点 M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标（用m ， n 表示）； （Ⅱ）设O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM = ∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】【解析】试题分析：椭圆C ： x 2 + y 2 =1(a > b > 0) 的离心率为 2，点P (0，1) 在椭圆上，利用条件列方程组， a 2 b 2 2解出待定系数a 2= 2,b 2 = 1 ，写出椭圆方程；由点 P (0，1) 和点 A (m ，n ) (m ≠0) ，写出 PA 直线方程，令y = 0 求出 x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点P (0,1),B (m ,-n )，写出直线PB 的方程，令y = 0 求出 x 值，写出点 N 的坐标，设Q (0,y )，∠OQM = ∠ONQ ,∴ tan ∠OQM = tan ∠ONQ 求出tan ∠OQM 和tan ∠ONQ ，利用二者相等，求出y ∠OQM = ∠ONQ .= ±，则存在点Q （0，±2）使得x 2 + y 2 =2 1 2 试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ： a 2 b 21(a > b > 0) 过点 P (0，1) 且离心率为 ， 2 b 2= 1,b = 1,c 2a 2- b 2 1 1 x 2e 2 = = = 1 - = ， a 2 = 2 ，椭圆C 的方程为+ y 2 = 1. a 2 a2a 22 2 P (0,1),A (m ,n ),直线PA 的方程为：y = n - 1 x + 1，令y = 0,x = m，∴ M ( m ,0)； m 1 - n 1 - n考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题 13 分）已知数列{a } 满足： a ∈N * ， a ≤ 36 ，且a= ⎧2a n ，a n ≤18， (n =1，2， ) ． n11n +1⎨2a - 36 ，a > 18 记集合M ={a n | n ∈ N }． * ⎩ n n（Ⅰ）若a 1 = 6 ，写出集合 M 的所有元素；（Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．【答案】（1） M = {6,12,24}，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由a = 6，可知a = 12,a 3 = 24,a = 12,则M = {6,12,24}；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设a k 是 3 的倍数，用数学归纳法证明对任意n ≥ k ， a n 是3 的倍数，当 k = 1 时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 k > 1 时，因为a k = 2a k -1 或2a k -1- 36，所以2a k -1 是 3 的倍数，于是a k -1 是 3 的倍数，类似可得，a k -2, ..... a 1 都是 3 的倍数，从而对任意n ≥ 1，a n 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设a 是 3 的倍数，由已知 a= ⎧2a n ，a n ≤18， ，用数学归纳法证明对任意 kn +1⎨2a - 36，a > 18 ⎩ n nn ≥ k ，a n 是 3 的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过 36， M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由a n 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，由定义可知， a n +1 和2a n 除以 9 的余数一样，分a n 中有 3 的倍数和a n 中没有 3 的倍数两种情况， 研究集合 M 中的元素个数，最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值为 8.试题解析：（Ⅰ）由已知a= ⎧2a n ，a n ≤18， 可知： a = 6,a = 12,a = 24,a = 12, n +1 ⎨2a - 36 ，a > 18 1 2 3 4∴ M = {6,12,24}⎩ n n（ Ⅱ ） 因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数， 所以不妨设 a k是 3 的倍数， 由已知a = ⎧2a n ，a n ≤18， ，可用用数学归纳法证明对任意n ≥ k ，a 是 3 的倍数，当k = 1时，则 M n +1⎨2a - 36 ，a > 18 n ⎩ n n中的所有元素都是 3 的倍数，如果k > 1时，因为a k = 2a k -1 或2a k -1 - 36 ，所以2a k -1是 3 的倍数，于是a k -1 是 3 的倍数，类似可得，a k -2,......a 1都是 3 的倍数，从而对任意n ≥ 1，a n 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过 36，由a≤ 36 ，易得a≤ 36 ，类似可得a n≤ 36 ，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由a n 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中的数除以 9 的余数,由定义可知， a n +1 和2a n 除以 9 的余数一样，1 2 4 1 2考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。
(2021)高考理数真题试卷(北京卷)带答案解析
2021年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（共8题；共40分）1.已知复数z=2+i，则z·z̅=（）A. √3B. √5C. 3D. 5【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】根据z=2+i，得z̅=2−i，所以z⋅z̅=(2+i)⋅(2−i)=4+1=5，故答案为：D.【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【考点】循环结构【解析】【解答】k=1，s=1， s=2×123×1−2=2 ，k<3,故执行循环体k=1+1=2， s =2×223×2−2=2 ；此时k=2<3，故继续执行循环体k=3， s =2×223×2−2=2 ，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.3.已知直线l 的参数方程为 {x =1+3ty =2+4t （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（ ）A. 15B. 25C. 45D. 65 【答案】 D【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】消去参数t ，得直线的方程为：4x-3y+2=0， 所以（1,0）到直线的距离 d =√42+32=65.故答案为：D.【分析】将直线的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式即可求出相应的距离. 4.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1 （a>b>0）的离心率为 12 ，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a=2bD. 3a=4b 【答案】 B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】因为椭圆的离心率为 12 ，所以a=2c 故 a 2=(2c)2=4c 2=b 2+c 2 ， 所以 b 2=3c 2 ， 因此 3a 2=4b 2 ， 故答案为：B.【分析】根据椭圆的离心率，求出a 、b 、c 的关系，即可确定相应的结论. 5.若x ，y 满足|x|≤1-y ，且y≥-1.则3x+y 的最大值为（ ）A. -7B. 1C. 5D. 7 【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】【解答】根据题意，x 、y 满足 {x ≥y −1x ≤1−y y =−1 ，作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5. 故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2 ⎨⎨普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页. 150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题。
每小题 5 分.共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合 A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则 A ∩B=A （- ∞ ，-1）B （-1，- 2 3 2） C （- 3,3）D (3,+ ∞ )【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为A = {x ∈ R | 3x + 2 > 0} ⇒ x > - 2，利用二次不等式可得 B = {x | x < -1 或 x > 3}画出数轴易得：3A B = {x | x > 3} ．故选 D ．【答案】D⎧0 ≤ x ≤ 2, ．设不等式组 ⎩0 ≤ y ≤ 2距离大于 2 的概率是，表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的 π（A ）4（B ）π- 22π（C ）6（D ）4 -π 4⎧0 ≤ x ≤ 2 【解析】题目中 ⎩0 ≤ y ≤ 2表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以 存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1π⋅ 22P = 4 = 4 -π，故选 D 。
2 ⨯ 2 4【答案】D3. 设 a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当 a = 0 时，如果b = 0 同时等于零，此时 a + bi = 0 是实数， 不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a + bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a = 0 ，因此想必要条件，故选 B 。
2021年北京市高考数学试卷含答案解析(原卷版)
绝密★启用前2021年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 在复平面内，复数满足，则( )A. B. C. D.3. 设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )A.B.C.D.5. 双曲线：过点，离心率为，则双曲线的解析式为．( )A. B. C. D.6. 已知和是两个等差数列，且是常值，若，，，则的值为( )A. B. C. D.7. 已知函数，试判断该函数的奇偶性及最大值( )A. 奇函数，最大值为B. 偶函数，最大值为C. 奇函数，最大值为D. 偶函数，最大值为8. 对小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9. 已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )A. B. C. D.10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为( )A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 展开式中常数项为．12. 已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则的横坐标是______ ；作轴于，则______ ．13. 已知，，，则；．14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______ ．15. 已知，给出下列四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；，使得有三个零点；，使得有三个零点．以上正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
2021年高考文数真题试卷(北京卷)带答案解析
2021年高考文数真题试卷（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A. {x|2＜x＜5}B. {x|x＜4或x＞5}C. {x|2＜x＜3}D. {x|x＜2或x＞5}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．；本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．=（）2.复数1+2i2−iA. iB. 1+iC. ﹣iD. 1﹣i【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：= = =i，故选：A【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．；本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A. 8B. 9C. 27D. 36【答案】B【考点】程序框图【解析】【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B；本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．4.下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A. y=1B. y=cosxC. y=ln（x+1）D. y=2﹣x1−x【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D. ；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．；考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．5.圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A. 1B. 2C. √2D. 2 √2【答案】C【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程【解析】【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d= = ．故选：C．【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．；本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．6.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. 15B. 25C. 825D. 925【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数m= =4，∴甲被选中的概率p= = = ．故选：B．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．；本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A. ﹣1B. 3C. 7D. 8【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C．【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．；本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．；本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知向量a⃗=（1，√3），b⃗⃗=（√3，1），则a⃗与b⃗⃗夹角的大小为________．【答案】π6【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ= = = ，又∵θ∈[0，π]，∴θ= ，故答案为：．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．；本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．10.函数f（x）= x（x≥2）的最大值为________．x−1【答案】2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．；考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．【答案】32【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S= ×（1+2）×1= ，棱柱的高为1，故棱柱的体积V= ，故答案为：【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．；本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（√5，0），则a=________，b=________．【答案】1；2【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．；本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．13.在△ABC中，∠A= 2π3，a= √3c，则bc=________．【答案】1【考点】正弦定理的应用【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A= ，a= c，由正弦定理可得：，= ，sinC= ，C= ，则B= = ．三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1．故答案为：1．【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．；本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．【答案】16；29【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．；本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【答案】（1）解：设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，=3，由b2=3，b3=9，可得q= b3b2b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d= a14−a113=2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1 （2）解：c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）= 12n•2n+ 1−3n1−3=n2+ 3n−12【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．；本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．16.已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】（1）解：f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx= √2(√22sin2ωx+√22cos2ωx)= √2sin(2ωx+π4)．由T= 2π2ω=π，得ω=1；（2）解：由（1）得，f（x）= √2sin(2x+π4)．再由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ．∴f（x）的单调递增区间为[ −3π8+kπ,π8+kπ]（k∈Z）【考点】三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性【解析】【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．；本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．17.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【答案】（1）解：由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米（2）解：当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元【考点】频率分布直方图，随机抽样和样本估计总体的实际应用【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【答案】（1）解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则c=√a2−b2= √4−1=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e= √32（2）证明：如图，设P（x0，y0），则k PA=y0x0−2，PA所在直线方程为y=y0x0−2(x−2)，取x=0，得y M=2y0x0−2；k PB=y0−1x0，PB所在直线方程为y=y0−1x0x+1，取y=0，得x N=x01−y0．∴|AN|= 2−x N=2−x01−y0=2−2y0−x01−y0，|BM|=1﹣x M+2y0x0−2=x0+2y0−2x0−2．∴S ABNM=12|AN|×|BM|= 12×2−2y0−x01−y0×x0+2y0−2x0−2= −12×(x0+2y0−2)2(1−y0)(x0−2)= 12×(x0+2y0)2−4(x0+2y0)+4x0y0+2−x0−2y0= 12x02+4x0y0−4x0−8y0+4x0y0+2−x0−2y0= 12×4(x0y0+2−2y0−x0)x0y0+2−x0−2y0．∴四边形ABNM的面积为定值2．【考点】椭圆的标准方程【解析】【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e= ；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．；本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．20.设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【答案】（1）解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c（2）解：设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣23或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣23时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣23处取得极小值，且为﹣3227．由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣3227＜﹣c＜0，解得0＜c＜3227，则c的取值范围是（0，3227）（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题．。
2021年高考数学真题试题(北京卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3+√32B. 4C. 3+√3D. 2【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，则SB=SC=BC=√2，则所求表面积为S=3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin60°=3+√32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. x 2−y 23=1 B. x 23−y 2=1 C. x 2−√3y 23=1 D.√3x 23−y 2=1【答案】 A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e =ca =2得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：x 2a 2−y 23a 2=1 ，将点(√2,√3) 代入上式，得(√2)2a 2−(√3)23a 2=1解得a 2=1,b 2=3 故所求方程为： x 2−y 23=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.{a n } 和 {b n } 是两个等差数列，其中 akb k(1≤k ≤5) 为常值， a 1=288 ， a 5=96 ， b 1=192 ，则b 3= （ ）A. 64B. 128C. 256D. 512 【答案】 B【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由题意得a k b k=a 1b 1=288192=32 ， 则a 5b 5=32 ， 则b 5=23a 5=64 ， 所以b 3=b 1+b 52=192+642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.函数 f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 98 D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) ∴f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1 令t=cosx ，则y=-2t 2+t+1，t ∈[-1,1]，则当t =−12×(−2)=14时，y 取得最大值y max =(−2)×(14)2+14+1=98.故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm−25mm），大雨（25mm−50mm），暴雨（50mm−100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，由题意得r100=150300，则r=50则雨水的体积为V=13πr2h=13π×502×150，则降雨的厚度（高度）为H=Vπ×1002=13π×502×150π×1002=12.5(mm)故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±√5【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，则d2=r2−(n2)2=4−n24，则当n取最小值2时，d取得最大值为√3，则d=√1+k2≤√3当k=0时，d取得最大值为√3，则|m|=√3解得m=±√3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+a n=100，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵数列{a n}是递增的整数数列，∴n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=1∵a1=3，d=1∴a n=n+2∴S n=(3+n+2)n2=n2+5n2则S11=88<100，S12=102>100，故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）11.(x3−1x)4展开式中常数项为________．【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C4k(x3)4−k(−1x )k=C4k(−1)k x12−4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=________．【答案】5；4√5【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=2√5，不妨取点M为(5,2√5)则点N为(5,0)则|FN|=5-1=4则S△FMN=12×|FN|×|MN|=12×4×2√5=4√5故答案为：5，4√5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=________．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k∈Z即可）【考点】诱导公式【解析】【解答】解：由题意得{sinθ=sin(θ+π6)cosθ=−cos(θ+π6))，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得θ+π6=π−θ+2kπ，解得θ=5π12+kπ,k∈Z当k=0时，θ=5π12故答案为：5π12【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：①若k=0，则f(x)有两个零点；② ∃k<0，使得f(x)有一个零点；③ ∃k<0，使得f(x)有三个零点；④ ∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是________．【答案】①②④【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， ①当k= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x =1100 ， 所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，∃k <0 ， 使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，∃k >0 ， 使得两函数存在三个交点，故④项正确. 故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.a ⃗=(2,1) ， b ⃗⃗=(2,−1) ， c ⃗=(0,1) ，则 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗= ________； a ⃗⋅b ⃗⃗= ________． 【答案】 0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得a →+b →=(4,0) ， 则(a →+b →)·c →=4×0+0×1=0 ， a →·b →=2×2+1×(−1)=3 故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（共6题；共85分）16.已知在 △ABC 中， c =2bcosB ， C =2π3．（1）求 B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① c =√2b ；②周长为 4+2√3 ；③面积为 S ΔABC =3√34；【答案】 （1）∵c =2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC =2sinBcosB ， ∴sin2B =sin2π3=√32， ∵C =2π3， ∴B ∈(0,π3) ， 2B ∈(0,2π3) ，∴2B =π3 ，解得 B =π6 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 cb =sinCsinB =√3212=√3 ，与 c =√2b 矛盾，故这样的 △ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得 A =π6 ， 设 △ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．（1）证明：点F为B1C1的中点；（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1的值．【答案】（1）如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C，由于 ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体， E,F ′ 为中点，故 EF ′∥CD ， 从而 E,F ′,C,D 四点共面，即平面CDE 即平面 CDEF ′ ， 据此可得：直线 B 1C 1 交平面 CDE 于点 F ′ ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F ′ 重合， 即点 F 为 B 1C 1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA,DC,DD 1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D −xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设 A 1MA1B 1=λ(0≤λ≤1) ，则： M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2−2λ,−2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,0) ， 设平面 MCF 的法向量为： m⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1) ，则： {m ⇀⋅MC⇀=−2x 1+(2−2λ)y 1−2z 1=0m ⇀⋅CF ⇀=x 1+2z 1=0 ， 令 z 1=−1 可得： m ⃗⃗⃗=(2,11−λ,−1) ， 设平面 CFE 的法向量为： n⃗⃗=(x 2,y 2,z 2) ，则： {n ⇀⋅FE⇀=−2y 2=0n ⇀⋅CF ⇀=x 2+2z 2=0， 令 z 1=−1 可得： n⃗⃗=(2,0,−1) ， 从而： m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=5,|m ⃗⃗⃗|=√5+(11−λ)2,|n ⃗⃗|=√5 ，则：cos〈m⃗⃗⃗,n⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√5+(11−λ)2×√5=√53，整理可得：(λ−1)2=14，故λ=12（λ=32舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.已知函数f(x)=3−2xx2+a．（1）若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程；（2）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）当a=0时，f(x)=3−2xx2，则f′(x)=2(x−3)x3，∴f(1)=1，f′(1)=−4，此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0；（2）因为f(x)=3−2xx2+a ，则f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2(x2−3x−a)(x2+a)2，由题意可得f′(−1)=2(4−a)(a+1)2=0，解得a=4，故f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(4,+∞)，单调递减区间为(−1,4).当x<32时，f(x)>0；当x>32时，f(x)<0.所以，f(x)max=f(−1)=1，f(x)min=f(4)=−14.【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.定义R p数列{a n}：对实数p，满足：① a1+p≥0，a2+p=0；② ∀n∈N∗,a4n−1<a4n；③ a m+n∈{a m+a n+p,a m+a n+p+1}，m,n∈N∗．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；（3）是否存在p，使得存在R p数列{a n}，对∀n∈N∗,S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．【答案】（1）由性质③结合题意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，矛盾，故前4项2,−2,0,1的数列，不可能是R2数列.（2）性质① a1≥0,a2=0，由性质③ a m+2∈{a m,a m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，若a4=0，由性质②可知a3<a4，即a1<0或a1+1<0，矛盾；若a4=1,a3=a1+1，由a3<a4有a1+1<1，矛盾.因此只能是a4=1,a3=a1.或a1=0.又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1，所以a1=12若a1=1，则a2=a1+1∈{a1+a1+0,a1+a1+0+1}={2a1,2a1+1}={1,2}，2不满足a2=0，舍去.当a1=0，则{a n}前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n≤k(k≥0)时命题成立，当n=k+1时：若i=1，则a4(k+1)+1=a4k+5=a j+(4k+5−j)，利用性质③：{a j+a4k+5−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此时可得：a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0，而由性质②可得：a5=a1+a4∈{1,2}，与a5=0矛盾.同理可得：{a j+a4k+6−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；{a j+a4k+8−j∣j∈N∗,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；{a j+a4k+7−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，有a4k+7=k+1.即当n=k+1时命题成立，证毕.综上可得：a1=0，a5=a4×1+1=1.（3）令b n=a n+p，由性质③可知：∀m,n∈N∗,b m+n=a m+n+p∈{a m+p+a n+p,a m+p+a n+p+1}={b m+b n,b m+b n+1}，由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n−1=a4n−1+p<a4n+p=b4n，因此数列{b n}为R0数列.由（2）可知:若∀n∈N,a4n+i=n−p(i=1,2,3),a4n+4=n+1−p；S11−S10=a11=a4×2+3=2−p≥0，S9−S10=−a10=−a4×2+2=−(2−p)≥0，因此p=2，此时a1,a2,…,a10≤0，a j≥0(j≥11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列R p数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列R p数列的定义，结合a n与s n的关系进行判断即可.。
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，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
A． B． C． D．
5．双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准方程为（）
A． B． C． D．
6．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
17．如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
18．在核酸检测中, “k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．在复平面内，复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望EX.
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
9．已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
10．已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则 的最大值为（）
A．9B．10C．11D．12
二、填空题
11．在 的展开式中，常数项为__________．
12．若点 关于 轴对称点为 ，写出 的一个取值为___．
A．64B．96C．128D．160
Hale Waihona Puke 7．函数 是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
故选：D.
3．A
【分析】
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望EY与(1）中EX的大小.(结论不要求证明)
19．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
20．已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为 ．
2021年北京市高考数学真题试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
15．已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________； ________.
四、解答题
16．在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】
由题意可得： .
故选：B.
2．D
【分析】
由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意可得： .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
21．设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
13．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、双空题
14．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点 .若 ，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______．
故选：A.
4．A
【分析】
根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥 ，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为 ，
故选：A.
5．B
【分析】
分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.