高二解析几何难点微专题：椭圆中的焦半径与中点弦
3.1.2椭圆的简单几何性质第三课时(第二定义焦半径和三角型面积)课件-高二上学期数学人教A版选择性
练习 已知椭圆C： x2 y2 1过，点(0, 2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆C于A, B两点. 4
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；(2) O为坐标原点, 求△OAB的面积．
解：(1) 由已知得 a 2, b 1, 所以c 3 .
∴椭圆C 的焦点坐标为( 3, 0),( 3, 0), 离心率为e c
y B1
M •F2
A1 O A2 x •F1 B2
b x b, a y a
对称性
关于x, y轴对称，关于原点对称
顶点 离心率
A1(a, 0), A2 (a, 0), B1(0, b), B2(0, b) A1(b, 0), A2 (b, 0), B1(0, a), B2(0, a)
e c a
联立x2 2 y2 2, 消y得 (1 2k 2 )x2 4k 2 x 2k 2 2 0, 8k 2 8.
y k(x 1),
SABF2
1 2
|
F1F2
|
y1 y2
k x1 x2
k
8(k 2 1) 1 2k 2
2
∴ △ABF2面积的最大值为 2.
应用2：三角形的面积与韦达定理
②焦半径公式: 若P(x, y), 则
P(x,y)
焦点在x轴上 : PF1 a ex, PF2 a ex
F1
F2
焦点在y轴上 : PF1 a ey, PF2 a ey
y A2 F2 x
③定义: PF1 PF2 2a ④乘积最值: b2 PF1 PF2 a2
B1 O
B2
PF1 PF2 (a ex)(a ex)
l
设A( x1 ,
y1), B( x2 ,
y2 ).
【椭圆小题突破】第2讲 椭圆焦半径与焦点弦2(用焦半径的长度的范围解题)(教案) 二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦2用焦半径的长度的范围解题知识点：设椭圆的焦半径为r ，则a-c≤r ≤a+c1.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是F 1、F 2，若存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,则该椭圆离心率的取值范围是 .法一：用焦半径的范围r 1+r 2=2a,r 1=3r 2,2r 2=a,a-c≤a 2≤a+c,e≥12法二：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围a+ex =3(a-ex ),2ex =a ,x =a 2e ，又x ≤a , e≥12法三：用特殊位置＋椭圆离心率的意义当M 点是右顶点时，a+c =3(a-c ),4c =2a ,e =12 , 另外，当椭圆越来越扁时，必存在点M 使|MF 1|=3|MF 2|,所以e ≥122.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆C 上存在一点P 使a sin∠PF1F2＝ c sin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.【答案】)1,1- 法一：用焦半径公式＋椭圆上点的坐标的范围因为在12PF F ∆中,由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知,得1211a c PF PF =,即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式,得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则,整理得2210,e e +->解得11(0,1)e e e <<∈或，又,故椭圆的离心率1,1)e ∈ 法二：用焦半径的范围由法一知12c PF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a+=+==+则即,由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1.3.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，直线x =a 2c 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】B【详解】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A点的距离相等，即|PF |=|F A |，|F A |= 22,a b c c c-=又[,]PF a c a c ∈-+ 2[,]b a c a c c∴∈-+222ac c b ac c ∴-≤≤+ 222222ac c a c ac c a c ⎧-≤+∴⎨+≥-⎩22210210e e e e ⎧-+≥∴⎨+-≥⎩解得12e ≥或1e ≤-（舍）又1(0,1)[,1)2e e ∈∴∈4.已知椭圆x 24+y 2=1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为（ ）A ．[]1,2B． C．4⎤⎦ D ．[]1,4【答案】D 【详解】对于椭圆2214x y +=，2a =，1b =，c = 根据椭圆的定义可得1224PF PF a +==， 设1PF x =，则24PF x =-，且a c x a c -≤≤+，即22x ≤≤ 则()()[]221244241,4PF PF x x x x x ⋅=-=-+=--+∈， 所以，[]121212121141,4PF PF PF PF PF PF PF PF ++==∈⋅⋅.。
椭圆专题：中点弦、弦长、焦点弦
直线与椭圆综合问题（一）位置关系，弦长公式，焦点弦，中点弦一、判断椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）和直线l ：0Ax By C ++=的位置关系： 联立椭圆和直线方程222210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++=，消y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程二、弦长公式 已知直线l ：y kx b =+与椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交于,A B 两点，如何求AB ？练习：1. 已知斜率为1的直线l 交椭圆C ：22143x y +=于,A B 两点，求AB 最大值；2. 已知过(1,0)A 的直线l 交椭圆C ：22143x y +=于,A B 两点，求AB 最大值.三、焦点弦请你推导椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的过右焦点的弦长公式（分别用斜率k 以及倾斜角θ表示）.练习：3. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），过右焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆交于,A B 两点，求当θ为何值时，AOB ∆面积最大。
思考：焦半径如何用倾斜角θ表示？（表示后再去做一遍47页第7题）四、中点弦 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），直线y kx b =+交该椭圆于,A B 两点，如果求AB 中点M 坐标？已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），过椭圆内一点00(,)M x y 的弦AB 被M 平分，如何求AB k ，直线AB 方程，以及AB ？练习：4.倾斜角为4π的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于,A B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．5.如图14-35，过椭圆221164x y +=内的一点(1,1)M 的直线与椭圆交于A B 、两点． （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）求过点M 的椭圆弦的中点P 的轨迹方程．。
第二讲 椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)(教案)【椭圆小题突破】高考数学二轮复习专题
椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题知识点：（1） 若F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，设∠AFx =θ,22||,||,1+cos 1-cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+=（2）若F 为椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0) 左焦点，22||,||,1-cos 1+cos b b a a AF BF e e θθ== 222222||.1+cos 1-cos 1-cos b b b a a a AB e e e θθθ=+= 3．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过左焦点F (-2,0)倾斜角为π3的直线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则b 2等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 法一：坐标法以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又 设，则，由条件可得直线的方程为 所以,即由点在椭圆上可得，，又代入得，整理得： 解得法二：焦半径坐标形式,a+ex 0=2,a -e =2，a-2a＝2，222201323,a a a b --=⇒=+⇒=法三：焦半径角参形式3233343FA FO OFAB //AB OF AB OF =AB y ⊥A B ，y 2AB OF c ===()11,A x y 11x =-AF ()32y x =+13y =()1,3A -22221x y a b+=22131a b +=22224a b c b =+=+()()2222344b b b b ++=+412b =223b =()1,3A -2222,1cos b a b a c e θ=⇒=-- 2222242201323,c a b a a a b =⇒-=⇒--=⇒=+⇒=（2）已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，直线l ：x =2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C于点B ，若FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |＝( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．3【答案】A 法一：坐标法根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =.所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =， 所以()2212112AF n =-+=+=.法二：焦半径角参形式11112||,3cos ||21cos cos 21cos 2FA FA θθθθ==⋅⇒=⇒=+法三：焦半径坐标形式 A (2,n ),B (x 0,y 0)，F (1,0), FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝3FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，(1,n)=3(x 0-1,y 0)，1=3x 0,n=3y 0, |FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，√(3y0)2+1=3(√2−1√2x0)，9y02+1=9(2−2x0+12x02)9(1−12x02)+1=9(2−2x0+12x02)9x 02-18x 0+8=0 (3x 0-4)(3x 0-2)=0 x 0=43或23(舍去)|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ | ＝3|FB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3(√2−1√2x0)=3(√2−1√2·43)=√2.（3）如图，椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于点Q ．若OQ ⊥FP ，|FP |=3|FQ |，则椭圆的离心率是（ ）A ．13B ．12 C ．22D ．32【答案】D 法一：坐标法由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ，因为3FP FQ =，所以023x OF=，得023x c =-， 因为OQ FP ⊥，所以()22000222339y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以023y c =，因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以222242199c ca b+=，化简得，222222429b c a c a b +=，因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，422491540a a c a -+=，得2222(34)(3)0a c a c --=，解得32c a =或3c a =（舍去） 法二：焦半径坐标形式 Q (x 0,y 0)，F (c ,0),|FQ |＝m ,由等面积法知c√(3m )2−c2=3m √c2−m2，m =1√3c ，a+ex 0=1√3c,a+e(-23c )=1√3c,1-23e 2=1√3e,2e 2+√3e −3=0, (2e −√3)(e +√3)=0, e =√32法三：焦半径角参形式设FQ ＝x ，则213,cos .33x cc x x c c cθ=⇒=== ()()22222333332032302313b ca b ac c a ac c a ca c e e =⇒=-⇒--=⇒-+=⇒=-（4）不经过椭圆E ：x 24+y 23=1的焦点的直线l:y=kx+m (km <0)与以坐标原点为圆心､√3为半径的圆相切，且与椭圆E 交于M,N 两点，试判断△MFN 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.法一：用弦长公式求弦长由题意，r =l=()2231m k ∴=+，设()()1122,,,M x y N x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222438430k x kmx m +++-=，由Δ0>，得()2121222438,4343m km x x x x k k -+=-=++，则12MN x =-=2443km k =-+又2122112,222MF x NF x =-=-()221221444243kmMF NF x x k +=-+=++ 2MNF 周长224MN MF NF =++=，2MNF ∴周长为定值4.法二：用圆的切线求弦长()()112212,,,,0,0,P x y Q x y x x >>12112,222PF x QF x =-=-设直线l 与圆的切点为M，1211,22,PM x QM x ====121,122PQ x x += 4Q PF F P Q ++=2MNF ∴周长为定值4.（5）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24+y 23=1交于A,B 两点，线段AB的中点为M (1,m )(m >0)． （Ⅲ）证明：k <-12；（Ⅲ）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列，并求该数列的公差．（Ⅲ）法一：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y=kx+t.由{y =kx +t 3x2+4y2=12，得(3+4k2)x 2+8ktx +4t2−12=0， △＝64k2t2−4 (3+4k2)(4t2−12)=−48(t2−3−4k2)>0，（Ⅲ） x 1+x 2=−8tk 3+4k2，x 1x 2=4t2−123+4k2，−4tk3+4k2=1，得-t =34k +k , 代入（Ⅲ）得(34k+k )2-3-4k2<0,即316k2−12-k2<0, 即16k 4+8k 2-3>0, 即(4k 2-1)(4k 2+3)>0, 即4k 2-1>0,k<-12或k >12. 又M (1,m )(m >0)在直线AB ：y=kx+t 上，所以m =t+k >0. 而-t =34k +k ，所以k <0.所以k <-12. 法二：设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（Ⅲ）设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).且x 1+x 2=2.由FP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＋FB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0⃑ ，得 x 1+x 2+x0=3,x0=1,P (1,± 32) 又y 1+y 2+y 0=0，y 1+y 2=2m ，所以m =-y02>0,P (1,- 32)|AF |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 24)=√x 24−2x 1+4=|2- x12|= 2- x12, 同理|BF |=2-x22，|PF |= 2- x02＝ 32. 所以|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4- x1+x22=3， 2|PF |=3.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或。
【高中数学】秒杀秘诀MS03椭圆的弦长公式与中点弦问题
椭圆的弦长公式与中点弦问题1.k 为何值时,直线y=kx+2和曲线2x +3y =6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）椭圆()222210,0x y a b a b+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()22222222220b k a x a km x a m a b +++-=()212222222122222a kmx x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩()22222222221121222221141ab b k a m AB k x x k x x x x kb k a +-∴=+-=++-=++例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A、B 两点，求AB 的弦长解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得：233202x x +-=12122312x x x x ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-=椭圆与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。
面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=22221(0)x y a b a b+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解：(Ⅰ)22;2,22c a e c b a ===⇒==；故椭圆方程为22142x y +=；(Ⅱ)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22222121121214MN x x y y k x x x x =-+-=++-；将y kx k=-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=212221228424842k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩；222011k k k d k k --==++；22422222411072502243AMN k k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。
高中数学-椭圆焦半径公式及应用
4 3， cos
1 ， sin 7
因为 a＝ 10， b＝ 8， c＝6，由变式（ 2）得
| PF |
82
10 6× ( 1)
7
所以三角形 PEF的面积
4 3。 7
7
1 S | PF ||EF |sin
2
1 ×7×2×6× 4 3
2
7
24 3
x2 y2 例 7．经过椭圆 a 2 b2 1(a b 0) 的左焦点 F1 作倾斜角为 相交于 A，B 两点，若 | AF1| 2| BF1 |，求椭圆的离心率。
椭圆焦半径公式及应用
在椭圆曲线中， 焦半径是一个非常重要的几何量， 与其有关的问题是各类考试 的热点，故值得我们深入研究。
思路 1： 由椭圆的定义有： r1 r2 2a
1
故只要设法用 x0、a、c 等表示出 r1 r2 （或 r1· r2 ），问题就可迎刃而解。
由题意知 r12
x0 c 2
y
2 0
，
例 5. P 是椭圆 x 2 a2
y2 b2
1( a
轴的垂线恰好通过焦点 F，若三角形
___________。
b 0) 上一点， E、 F 是左右焦点，过 P 作 x
PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
解：因为 PF⊥EF，所以由（ 2）式得
| PF|
b2
b2
。
a ccos90° a
再由题意得
2
消去 xP 后，化简即得（ 1） | PE |
b
。
a ccos
而当 大于 90°时，在三角形 PEQ中，
有 cos(
) |PQ| |PE |
c xP | PE |
第一讲 一道椭圆焦点弦问题的7种解法(课件)-高考数学二轮专题之椭圆小题突破
即(4c2a2-b4)k2=b4,
即a2-25c2=-a2k2,
=
⑤
③
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
线交椭圆于A,B两点, ∠AF1B＝90°，22＝32 ，则椭圆C的离心率
法六：向量坐标形式（纵坐标）＋向量数量积表示垂直
即(4c2a2-b4)k2=b4,
③
引例
已知椭圆C：
+
= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
线交椭圆于A,B两点, ∠AF1B＝90°，22＝32 ，则椭圆C的离心率
.
法五：向量坐标形式（横坐标）＋向量数量积表示垂直
设点A , ， , ，直线AB的方程为y=k(x-c).
由2 2 ＝3 2 即2 − = − ，得 − = ,
②
由 1 2＋ 1 2＝||，即 + 2 + + = [ − ( +
，
)]
得 − ( + ) + =0，③
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = − , ,
由①④得： =
−
，
+
−
由③⑤得 ＝ − ，
=
2
2 2
2
，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
= −
2
2 2
+a
一图记牢椭圆焦半径与焦点弦
ࡋ 䶂血 呏 ࡋ 䶂血 呏 ࡋ 䶂血 呏 ࡋ 䶂血 呏 ࡋ 䶂血 呏 Ὕശ
( ) [
D
\ + E
= D
>E
>
( ) [
D
\ + E
= D
$) = H $$ $) = H $$ ˈ %) = H %% %) = H %% D − F ≤ $) ≤ D + F
㔏аޜᔿ˄ㅜҼᇊѹ˅ ߶㓯ᐖлণѪ߿
߶㓯ਣкণѪ࣐
$)
HS = + H FRV θ
$)
HS = − H FRV θ
$)
$% = D + H \ + \
$) = D + H\ $) = D − H\ %) = D + H\ $) = D − H\
$% = D − H \ + \
ᐖਣˈлк ˄ᐖ㺘皮ᐖ❖⛩ˈਣ㺘皮ਣ ❖⛩ˈл㺘皮л❖⛩ˈк㺘
皮к❖⛩˅
a2 B y=- c
$) = D + H[ $) = D − H[ %) = D + H[ %) = D − H[
$% = D − H [ + [
$) = D + H\ $) = D − H\ %) = D + H\ $) = D − H\
E D
= HS ≤ $%
HS ≤ − H
= D ˈ
$)
+
%)
= HS
D = E
$) = D + H[ $) = D − H[ %) = D + H[ %) = D − H[
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第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦
1. 基础结论
(1).椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>两焦点为12(,0),(,0),F c F c -||2()A B AB a e x x =++（过左
焦点）||2()A B AB a e x x =-+（过右焦点）其中e 是椭圆的离心率.
(2).椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>||2()A B AB a e y y =-+（过左焦点）
||2()A B AB a e y y =++（过右焦点）
(3).若→
→
=B F AF 22λ，则|
1||
1|12
+-+=λλk
e .
2.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，进一步，
有2222
12,PF PF a ex b a ⎡⎤•=-∈⎣⎦
3. 中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解） 椭圆：交点在x 轴上时
直线m kx y +=与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于点A 、B
设点A(11,y x ),B(22,y x )
∵A 、B 在椭圆上
∴122
122
1=+b y a x ……① 则22
22
122
22
1-b y
y a x x -=- 122
222
2=+b y a x ……② 即 22
2
2
2
12
221-a b x x y y =-- ①-②得：02
2
22
122
22
1=-+-b y y a x x 即22
21212121)
)((a
b x x y y x x y y -=++--
则 22
a
b k k OM
AB -=（其中M 为A 、B 中点，O 为原点）
同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
x a y
当直线交椭圆于A 、B 两点，M 为A 、B 中点 则22
b
a k k OM
AB -=
2.典例（2018三卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：1
2
k <-
； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
详解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则2222
11221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由
12
12y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=.由题设知12121,22
x x y y m ++==，于是
34k m =-
.①由题设得302m <<，故1
2
k <-. （2）由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则
()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而31,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，32FP =.
于是
(1
22x FA x ===-. 同理222x FB =-
.所以()121
432
FA FB x x +=-+=.
故2FP FA FB =+，即,,FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则
1212||2d FB FA x x =-=
-=.②
将34m =
代入①得1k =-.所以l 的方程为7
4
y x =-+，代入C 的方程，并整理得
2171404x x -+
=.故121212,28x x x x +==，代入②解得d =.
.。