2019山西中考数学专题训练—综合与实践5类10道

综合与实践

类型一 类比探究型（不含图形变化）

★1.综合与实践

问题背景

如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作

AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°，

于是BC AB ＝2BD AB ＝ 3.

迁移应用

(1)如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .

①求证：△ADB ≌△AEC ；

②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式． 拓展延伸

(2)如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .试判断△CEF 的形状；

（3）如图③，若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．

第1题图

(1)①证明：由题意可知：AD＝AE，AB＝AC，

∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，

∴△ADB≌△AEC；

②解：CD＝3AD＋BD；

【解法提示】∵AD＝AE，∠DAE＝120°，∴DE＝3AD，∵DE＝DC－EC，∴DC－EC＝3AD，由①知，△ADB≌△AEC，∴EC＝DB，∴DC－DB＝3AD，即CD＝3 AD＋BD.

（2）解：△EFC为等边三角形.理由如下：

如解图，连接BE，作BG⊥AE于点G.设CE与BF相交于点N，

第1题解图

∵C 、E 关于BM 对称，

∴BE ＝BC ，CF ＝EF ，∠3＝∠4，

在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，AB ＝BC ，

∴AB ＝BC ＝BE ，

又∵BG ⊥AE ，

∴∠1＝∠2，

∴∠GBF ＝∠2＋∠3＝12∠ABC ＝60°，

∵在四边形GBNE 中，

∠GEN ＝360°－∠EGB －∠ENB －∠GBN ＝120°，

∴∠FEN ＝60°，

又∵EF ＝FC ，

∴∠EFC ＝60°，

∴△EFC 为等边三角形；

（3）解：∵AE ＝5，CE ＝2，

∴EG ＝12AE ＝52，EF ＝CE ＝2，

∴GF ＝EG ＋EF ＝92，

∵∠BGF ＝90°，∠GFB ＝30°，

∴BF ＝GF cos30°＝3 3.

★2.综合与探究

问题背景

在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：

如图①，点C 在线段BD 上，点E 在线段AC 上．∠ACB = ∠ACD =90°，AC =BC ；DC =CE ，M ，N 分别是线段BE ，AD 上的点．

“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①△BCE ≌△ACD ；②当CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线时，△MCN 是等腰直角三角形．

解决问题

（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．

类比探究

受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：

如图②，当∠BCM =∠ACN 时，△MCN 是等腰直角三角形．

（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．

感悟发现

“奋进小组”认为：当点M ，N 分别是BE ，AD 的三等分点时，△MCN 仍然是等腰直角三角形请你思考：

（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答： ．

（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）

（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得△MCN 是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）

图① 图② 备用图

第2题图

（1）证明：在△BCE 和△ACD 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD CE ACD BCE AC BC

∴△BCE ≌△ACD （SAS ），

∴BE =AD ，∠EBC =∠DAC ，

∵CM ，CN 分别是△BCE 和△ACD 的中线，

∴BM =21BE ，AN =2

1AD ，

∴BM =AN ，

在△BCM 和△ACN 中， ⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AN BM NAC MBC AC BC ∴△BCM ≌△ACN （SAS ），

∴CM =CN ，∠BCM =∠ACN

∵∠BCM +∠MCE =90°，

∴∠ACN +∠MCE =90°，

∴MC ⊥CN ．

∴△MCN 是等腰直角三角形．

（2）解：实践小组”所写的结论正确．

理由：∵△BCE ≌△ACD ，

∴∠EBC =∠DAC ，

在△BCM 和△CAN 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,ACN BCM AC BC NAC MBC ∴△BCM ≌△ACN （ASA ），

∴CM =CN ，

∵∠BCM +∠MCE =∠ACB =90°，

∴∠ACN +∠MCE =90°，

∴MC ⊥CN ．

∴△MCN 是等腰直角三角形．

（3）解：不一定正确．

【解法提示】当BM =31BE ，AN =3

1AD 时，

△MCN 仍然是等腰直角三角形．

当BM =31BE ，DN =31AD 时，△MCN 不是等腰直角三角形．

（4）解：答案不唯一．比如：当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的高时，△MCN 是等腰直角三角形；

当CM ，CN 分别是△BCE ，△ACD 的角平分线时，

△MCN 是等腰直角三角形；

理由：只要证明△BCM ≌△ACN （AAS ），

即可推出∠BCM =∠ACN ，推出∠MCN =90°，