复数的代数形式与运算
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复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复数的加减运算及其几何意义zhy
4.（i +i）+ i (1 i )
2
5. 5i (3 4i ) ( 1 3i )
变式1： 设z1 x 2i , z2 3 yi ( x , y R ),
且z1 z2 5 6i , 求z 2 x yi
若f ( z) 2z 3i, 求f ( z1 z2 )
(2)若z C , z 2, 求 z 2 3i 的最大值和最小值 .
(3)若z C, 且 z 2 2i 1, 求 z 3 4i 的最大值 和最小值.
例7, (1)设z C, 且 z 1 z i , 求 z 2 i 的最小值
(2)设z C, 且 z i z i 2, 求 z 1 i 的 最小值
Z2(c,d)
Z1(a,b)ຫໍສະໝຸດ o|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.如图的向量OZ对应的复数是 z，试 作出下列运算的结果对 应的向量. (2) z i (3) z (2 i )
y
（ 1 ）z 1
O
x
例 2． 在复平面内, 复数6 5i,3 4i对应的
已知复数z满足z z 2 8i , 求复数z 变式2：
2.复数加法运算的几何意义? OZ1+OZ2 = OZ 表示复数z1+ z2
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
3.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
复数的有关运算
z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数代数形式的乘除运算
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
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)
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[
]
( )
i
1
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3
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(
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) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数的代数运算与形式
即：
两个复数的和（或差）仍然是一个复数，它 们的实部是原来两个复数的实部的和（或 差），它的虚部是原来两个复数的虚部的 和（或差）.
或：
实部和实部相加减作为实部， 虚部和虚部相加减作为虚部.
思考：
1.复数的加法满足交换律和结合律吗？ 即z1+z2=z2+z1吗？请举例说明
复数的加法满足交换律和结合律 即对任意的复数z1，z2，z3，有
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
分母实 数化！
=
ac+bd + c2+d2
bc-ad c2+d2
i (c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
例题分析
例1 计算:（1+2i)(3-4i)
解：（1+2i)(3-4i)=
1+2i 3-4i
（2i）8 2
i8 1
练习 1.已知复数z1 1 i, z1 • z2 1 i,则复数z2 ______ 2.计算：
(1) (7 - 6i)(3i)
(2) (3 4i)(-2 3i)
(3) (1 2i)(3 4i)(2 i) (4) (1 i)(2 i) i
例4 解下列一元二次方程： （1）2x2 3x 1 0; (2)x2 4x 4 0; (3)x2 x 1 0.
z1+z2=z2+z1， （z1+z2）+z3= z1+（z2+z3）.
例题分析
例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算： (1) z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.
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(B) -1
(D) 以上都不对
4.设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( D ) (A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零
5. i0+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( B ) (A) 1 (B)
4.设z1=√3+i，z2=1-i，试求满足zn1=zm2的最小正整 数m,n的值.
1 3 1 3 【解题回顾】1， - i， - i是1在集合C中 2 2 2 2 的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记 1 3 1 3 ω- i 则ω - i ，并有 2 2 2 2 ω 3 1，ω 3 1
1. 在假设z=x+yi进行代换时，要注意说明x,y∈R， 因为，即使x,y∈C，z=x+yi还是有意义的，它仍旧 表示一个复数，这一点要引起注意. 2. 课前热身4中，式子|z1-z2|=√(z1+z2)2-4z1z2是一种很 容易出现的典型错误，事实上，复数的模与实数的 绝对值无论是在形式上还是在实质上既有共性、又 有区别，只有深刻理解其含义，明确其意义，才能 避免类似的错误.
ω 2 ω ，ω 2 ω ω 2 ω 1 0，ω 2 ω 1 0
5. 是否存在复数z，使其满足z· z+2iz=3+ai(a∈R)如
果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由
【解题回顾】将复数问题向实数问题转化，是一种 重要的思想方法，而转化的基本依据就是复数的相 等
z1±z2=(a±c)+(b±d)I
z1· z2=(ac-bd)+(bc+ad)i： 特别地，若z=a+bi(a,b∈R)，则z· z=|z|2=a2+b2;
z 2 0
z1 a bi a bi c di ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 z 2 c di c d c d c di
复数的代数形式与运算
1.复数的意义 形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫虚数单 位，满足i2=-1，a叫做实部，b叫做虚部复数集记作C， 数集N、Z、Q、R、C的关系是： N Z Q R C
z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0；是虚数的 充要条件是b≠0；是纯虚数的充要条件是a=0且b≠0
【解题回顾】对条件 z+1/z∈R 的不同转化可以得到 不同的解题方法。
3. 已知z1=x2+√x2+1i，z2=(x2+a)i，对于任意x∈R，均 有|z1|＞|z2|成立．试求实数a的取值范围.
【解题回顾】本题是复数、不等式的综合题，涉及 分类讨论及恒成立问题，做题过程中需 要注意等价 转化，例如“当 1-2a=0, 即 a=1/2 时， 3/4 ＞ 0 恒成立” 这种情形就很容易被忽视
(C) 0
(D) i
1. 设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i ，试求实数 m 的 取值，使得 (1)z是纯虚数； (2)z是实数； (3)z对应的点位于复平面的第二象限
【解题回顾】纯虚数的充要条件是“实部为零且虚 部不为零”
2. 设z∈C，求满足z+1/z∈R且|z-2|=2的复数z
3 i 1. 设z∈C，z+|z |=2+i，则z=____________ 4
x y 5 -6 2.设 x,y∈R，且 ,则x+y=_____ 1 - i 1 - 2i 1 - 3i
3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数，则实数x的值是( A )
(A) 1
(C)±1
2.复数的相等
两个复数相等，当且仅当它们的实、虚部分别相等.
3.共轭复数及复数的模的代数表示 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi互为共轭复数，互为共轭复 - 2+b2 数的模相等，且|z|=|z|=a
4.复数的代数运算 对于i，有i4n=1,i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N) 已知两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则