(完整版)椭圆的参数方程(含答案)(可编辑修改word版)

+ = > > + = > > + ⎩
⎩
椭圆的参数方程
教学目标：
1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分
析问题和解决问题的能力。

3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：椭圆的参数方程。

教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。

教学过程：
一、复习
焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x
a 2 y 2
b 2 1(a b 0)
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y a 2 二、椭圆参数方程的推导
x 2
b 2
1(a b 0)
1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 x y
因为( )2 ( )2 = 1，又cos 2
+ sin 2
= 1
a
b x y ⎧x = a
c os 设 = cos ,
a
b
= sin
，即⎨y = bsin ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。

2. 参数
的几何意义
问题、如下图，以原点 O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作
两个圆。

设 A 为大圆上的任意一点连，接 OA,与小圆交于点 B 。

过点 A 作 AN ⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为
，点 M 的坐标是(x, y)。

那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。

由于点 A,B 均在角
的终边上，由三角函数的定义有
x =| OA | cos
= a cos
，
y =| OB | sin
= b cos。

当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是
⎧x = a c os ⎨
y = bsin (为参数)
2 2
⎩
+ = ⎩
64 ⎨ y = 10 s in ⎨
y = 5sin
+ = > > 这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数
的范围为
∈[0, 2) 。

⎧x = r cos
思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程⎨
y = r sin
(为参数)
中参数的意义类似吗？
由图可以看出，参数是点 M 所对应的圆的半径 OA （或 OB ）的旋转角（称为点 M 的离心角），不是 OM 的旋转角。

参数是半径 OM 的旋转角。

3. 焦点在 y 轴上的椭圆的参数方程
x
2
y 2
b
2
a
2
1,
⎧x = b c os
⎨
y = a sin
三、例题分析
例 1.把下列普通方程化为参数方程.
x 2 y 2
2
y
2
(1) + = 1 4 9
(2)x + = 1
16
2
(3) x 2 + y = 1
(4) x 2
y 2
100
9
25
变式：
把下列参数方程化为普通方程
x = 2 cos y = 3sin
x = cos y = 4 s in
(3) ⎧x = 8 c os ⎩ (4) ⎧x = 3cos
⎩
x 2
例 2. 已知椭圆 a 2
y 2
b 2
1(a b 0) ,求椭圆内接矩形面积的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
(a cos ,b s in )
S 矩形 = 4 a cos ⋅ b sin
= 2ab sin 2 ≤ 2ab ∴当=
k
+ 2 4
∈ Z )时，S 矩形 = 2ab 最大。

所以椭圆内接矩形面积的最大值为 2ab
+
(1){
(2){
(k = 1
+ = + - = ⎩
+ = 2 2 2
2
例3、在椭圆 x y 1上求一点M ，使点M 到直线x 2 y 10 0
9 4
的距离最小，并求出最小距离
⎧x = 3cos
解：因为椭圆的参数方程为⎨y = 2 sin （
为参数）
所以可设点 M 的坐标为(3cos
, 2 sin ) 。

由点到直线的距离公式，得到点 M 到直线的距离为
变式2、设P (x , y )是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12上的一个动点，求x + 2 y 的取值范围。

解：椭圆的方程可化为 x y 1,
6 4
它的一个参数方程为 {
x = 6 cos (为参数，0 ≤< 2)
y
=
2 sin
x + 2 y = 6 cos + 4 sin = 22 cos(-)
cos(
-) ∈[-1,1]
∴ x + 2 y ∈[- 22, 22]
四、课堂练习
、
y 2
2 y x = 4 cos
1、P 是椭圆{ (为参数)上一点，且在第一象限
y = 2 3 sin OP (O 为原点)
P 的坐标为
的倾斜角为 ，则点
3
A 、(2, 3),
B ( 4 5, 4
15) C 、(2 3, 3), D 、(4, 3) 5 5
答案：B
解： OP 的倾斜角为
k
= tan
= 3又k = y = 2 3 sin
=
∴ 3 OP 3 ∴sin
= 2 cos
OP
x 4 cos
又sin
2
+ c os
2
= 1,且点P 在第一象限∴cos =
从而有x = 4 c os
= 4 5
, y = 2 3 s in
= 4 15
5
5 5 , s in
= 2 5
5 5
2.已知圆的方程为x 2 + y 2 - 4x cos - 2 y sin
+ 3cos 2
= 0, (为参数) 那么圆心的轨迹的普通方程为 ?
解：方程x 2 + y 2 - 4x cos
- 2 y sin + 3cos 2= 0，可以化为(x - 2 cos )2 + ( y - sin )2 = 1
x = 2 cos 所以圆心的参数方程为{ (为参数)，化为普通方程是 y = sin x 2 + 2
= 4
五、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，
x 2 1. 椭圆
16 y
1 的内接矩形的最大面积是
.
9
x 2 2. 已知 A 、B 是椭圆
9 OAPB 的面积最大
y 1 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点 P ，使四边形
4
.
x 2 2
3、 已知实数 x 、y 满足
25 16
1，求z ＝x ＋2y 的最大值与最小值
3 1。