椭圆面积公式的推导

椭圆面积公式的推导 韩贞焱（贵州省遵义四中 563000）

椭圆面积公式S= ab （其中a 、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中 学数

学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高 等数学的定积分学习时才给出定积分推导•现用初等数学方法作两种推导，供读者

定理 1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任

一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比 等于截得线段长的比.

注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略

2 2

方法一：设椭圆C 的方程为务 笃1（ a>b>0）,辅助圆C '的方程为x 2+y 2=b 2

, a b

m b ）与两曲线相交，交点分别为M （ X 1 , m ）、N （X 2 , m ） 2°、当 b 2 m 2，即 b^|m| 时，有 f X2| a

.

卜3刈b 及 P (X 3 , m )、Q(X 4 , m) ，如图1.

y 由X 2

a

m

v 2 解得X 1 b 2 1、2 此时,

由y 2 X

b 2 解得 X 3,4=±lb 2 m 2 此时, X 3 X 4 =2 - b 2 m 2

10、当 b 2 （图1） m 2,即 b=|m| 时，交点为（0, 3或（0，-b ）；

且一直线L ： y = m （ b a .. b 2 m 2 b

显然1°是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C'交于一点，此时与求椭圆C 的面

积无影响，故可忽略；在情况2°下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C'的弦长|PQ| 比恒为定

值a时，贝U当设椭圆C与圆C'的面积分别为S、S'时，由定理1得=-，

b S b

a ! a

又圆C'的面积S' = n b2，故有S = —S' = — Ttb2 = ^ab .

b b

所以椭圆C的面积公式为S =n ab （其中a b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积•

定理2.若一平面图形M'是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M'所成角为，则射影平面图形M'的面积与凸平面图形M的面积比为cos .

证明：设平面图形M'是平面图形M的射影.1°当平面图形M是凸曲边行时，如图2,将平面图形M的边缘进行n+1等分，设分点分别为A1、A2、A3、…、A i、A i 1、

…、A n、A n1，它们分别在平

面图形M'上的射影为A1、A 2

I I I I

A

A A

i、i 1、、A\ n、n1 ,

则分别连结点A1、A 2、A3

A i 1、…、A n A n 1，然

后再将点A 1分别与点A2、A3

…、A i、A i 1、…、A n、A n 1 (图2)

连结得M1A2A3、从小3人4、…^A i A i A ii、…、AK i A n A ni.显然它们在平面图形M'上的射影分别是对应的厶A I A2A3 '△\入3人4、…、△A1A；A；1、…、△ A l A n A n 1由于平面M与平面M'所成角为，则A A i A2A3、A A i A3A4、…、△

A1 A i A i 1、…、△A1A n A n1 所在平面与△ A1A2 A3、AX1A3A4 > • - > AA1A 'i A 'i 1、…、

△A 1A n A n 1所在平面所成角均为，现分别记△A 1A 2 A3> △A 1 A3A 4、…、△

A1 A i A i 1、…、△A 1A n A n 1 及△A 1A 2 A 3 > △A 1A 3 A 4、…、△A 1A i A i 1、…、△

A1 A n A n 1 的面积为S1、S2、…、S i、…、S n 及S1、S 2、…、S i、…、S n .则

I I I I

有S 1 = S 1con 、S2= S2con、…、S i = S i co n、…、S n = S n cos 当分点无限增加时, 则S1 、S2 、… 、S i 、…、S n 及S1 、S 2 、… 、

S i 、…、

S'n 的和就分别无限地接近凸曲边形M 的面积和射影平面图形M '的面积，故有S =lim ( S1 +S2 +… +S i + … +S n )

= lim( S1cos + S2 cos +…S i+cos + …+S n cos )

n

=lim ( S1 +S2--- S i —S n) cos

n

=S cos .

20当平面图形M 是凸多边形时，则在凸多边形M 内取适当的点连结出不重叠的三角形，仿上易证，故略.

方法二：我们知道，在一圆柱上作一斜截面可得一椭圆面，

长半轴、短半轴的长）.

注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间， 当已知一 曲

面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，则可利用定理 2由 一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得） ，

如图3.设圆柱oo i 的底面直径

A B '=2 b,斜截面椭圆的长轴长

A B =2a,椭圆面M '与圆柱底面

M 所成角为，将椭圆周n+1等

分，设其分点分别为P i 、P 2、•

、P i 、P i 1、…、P n 、P n 1 ,在底 （图3）

面圆周上的射影分别为P i 、P 2、…、P i 、P i 1、

…、P n 、P ni ,分别连结点A 、P i 、 I I I ' I

P 2 ； A 、P 2、P 3 ；、•••； A 、P i 、P i 1 ；…;A 、

P n 、P n 1 及点 A 、P 1、P 2 ； A 、 P 2、P 3 ；…；A 、P i 、P i 1 ；…；A P n 、P n 1。

设椭圆面的面积及圆柱底面面积 分别为S 、S ,因为圆柱底面面积 S = b 2.且b =a cos ，则仿定理2可证S=

S = cos

b 2 - b ab .故椭圆的面积公式为 S= ab .（其中a 、b 分别是椭圆的