空间曲线
空间曲线解析曲线在空间中的特性
空间曲线解析曲线在空间中的特性空间曲线是三维空间中的一组曲线。
解析曲线是通过数学分析和描绘来描述其形状和性质的曲线。
在本文中，我们将讨论解析曲线在空间中的特性。
一、空间曲线的参数方程空间曲线可以通过参数方程来表示，其中曲线上的每一个点都可以用参数表示。
参数方程的一般形式如下：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示空间某点的坐标，t为参数，f(t)、g(t)、h(t)为随参数变化的函数。
二、空间曲线的方向向量空间曲线的方向可以用方向向量来表示，方向向量即空间曲线在某一点的切线方向。
方向向量的一般形式如下：d = (f'(t), g'(t), h'(t))其中，f'(t)、g'(t)、h'(t)分别表示函数f(t)、g(t)、h(t)的导数。
三、空间曲线的曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量。
对于空间曲线，曲率可以通过曲线的切线和曲率圆来定义。
曲率圆是与曲线在某一点切线方向相切且曲率相同的圆。
四、空间曲线的弧长弧长是描述曲线长度的量。
对于参数方程表示的空间曲线，可以通过对参数在一定区间上的积分来计算曲线的弧长。
五、空间曲线的投影空间曲线在某个平面上的投影是指将曲线上的点在该平面上的对应点。
投影可以通过将曲线的参数方程中的z坐标置零来得到。
六、空间曲线的几何性质空间曲线具有多种几何性质，比如曲线的对称性、曲率的变化、曲线的起点和终点等。
这些性质可以通过数学分析和图形表示来研究和描述。
七、空间曲线的应用空间曲线在计算机图形学、物理学、几何建模等领域有广泛的应用。
比如，它可以用于描述物体的运动轨迹、光线的传播路径等。
总结：空间曲线是三维空间中的一组曲线，可以通过参数方程来表示。
空间曲线具有方向向量、曲率、弧长、投影等特性。
研究空间曲线的几何性质对于理解和应用曲线在空间中的特性具有重要意义。
微分几何第一章曲线论第三节空间曲线
P
(C )
基本向量的计算公式 (1)若曲线(C ) : r r (t )， t为一般参数. r r r ; ; r r r r r r ( r r ) r r r r r r r (r r )r ( r r )r . r r r (2)若曲线(C ) : r r ( s )， s为自然参数. r r r r r ; . r ; r r r r
X 1 Y 0 1 1 0 Z 1 0, 即Y Z 0. 0 X 1 Y Z . 副法线的方程为： 0 1 1
3.2 空间曲线的基本三棱形
设曲线(C ) : r r ( s) C 2， P P( s) (C )是非逗留点， dr r 单位切向量, ds (C ) ， 1， 即r r ， r 主法向量, 副法向量, r 伏雷内标架 { P; , , }; 定义 (基本向量，， ；
P
T
定义 (密切平面) 切平面的极限位置
叫做曲线(C )在点的P密切平面.
Q
T
P
过点P与密切平面垂直的直线 r ( t 0 t ) 叫做曲线(C )在P点的副法线. (C ) O 方程 设曲线(C ) : r r (t ) C 2，
r (t0 )
O
常见空间曲线
常见空间曲线
螺旋线：在三维空间中，螺旋线是一种常见的曲线，它通常在一个方向上逐渐远离或靠近。
螺旋线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
摆线：摆线也是一种常见的空间曲线，它描述了一个在固定平面上摆动的物体的路径。
摆线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
玫瑰线：玫瑰线是一种具有周期性的空间曲线，它通常在一个方向上重复出现。
玫瑰线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
波导线：波导线是一种具有波动性质的空间曲线，它通常在两个方向上同时波动。
波导线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
螺旋面：螺旋面是一种由螺旋线围绕其对称轴旋
转形成的曲面。
螺旋面的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
锥面：锥面是一种由通过圆锥顶点的平面截取圆锥表面形成的曲面。
锥面的方程通常由参数方程表示，其中参数u表示截面到圆锥顶点的距离，参数v表示截面与圆锥轴线之间的夹角。
球面：球面是一种由一个点发出的光线聚焦形成的曲面。
球面的方程通常由参数方程表示，其中参数u表示光线与球面中心的夹角，参数v表示光线与球面法向量的夹角。
空间曲线PPT课件
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。
空间曲线
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co x
1y
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P37 题 1，2，7（展示空间图形）
答案: P37 题1
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
已知方程问轨迹：柱面、二次曲面
常见的二次曲面
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b R+)
椭球面的草图为:
当 a＝b 时或…为旋转椭球面;
2. 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
(a, b R+)
草图为: 当 a＝b 时为圆锥面
当a＝b＝c 时z 为球面. y
x
3.单叶双曲面
x2 a2
6. 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 a2
y2 b2
z
(a, b R+)
草图为:
z
oy x
z
x
y
7. 椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
8. 双曲柱面
x2 a2
y2 b2
1
9. 抛物柱面 x2 2 py
空间一动点到两定点
距离之和
为定值2a(a>c>0)的轨迹的标准方程为(
y2 x2 z2 a2 a2 c2 1 ) .
y2 b2
z2 c2
1
( a, b,c R+ )
草图为
当 a＝b 时为旋转单叶双曲面
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
7_7空间曲线
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
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(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 空间曲线 :
所得旋转曲面方程为：
绕 z 轴旋转，
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例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
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又如, zOx 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为
zx
y 0
x2
y2
1
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作业 习题四 3； 5; 7
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面上的投影曲线方程
T (x, z) 0
y0
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例如,
C
:
x2 x2
y2 z2 ( y 1)2
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y x
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又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M O
x y
上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z0
O
y
消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程
C
R(y, z) 0
x
x0
消去y 得C在zOx
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
G(x,
S2
y, z)
0
L
FS1(x, Nhomakorabeay,
z)
0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
x O 1y
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又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
C
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二、空间曲线的参数方程
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
z
在 xOy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
CO 1 y x
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备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面 与平面
x y z 1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的