自考初等数论试题及答案
浙江2020年7月自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
…………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………1浙江省2018年7月高等教育自学考试初等数论试题课程代码：10021一、填空题(每小题4分，共40分)1.d(1000)=__________；σ(1000)=__________.2.2002!的标准分解式中，素数11的次数是__________.3.费尔马(Fermat)数是指Fn=n22+1,这种数中最小的合数是__________。
4.同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________.5.7x+5y=11的整数解的通式是_____________.6.模8的最小非负完全剩余系中，不能与整数的平方关于模8同余的数是__________。
7.设7(80n -1),则最小的正整数n=__________.8.使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________.9.可乘函数是一个不恒为零的数论函数，且满足条件__________. 10.⎪⎭⎫ ⎝⎛10146=__________. 二、计算题(第1，2题各8分，第3题7分，共23分)1.判断下面同余方程组是否有解，如有解，则求出其解：⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡(mod),09x 718), 0(mod 7-5x 15), (mod 4x2.试求200020032002被19除所得的余数.3.解同余方程x 2≡22 (mod 89).三、论证题(第1，2题各8分，第3题10分，第4题11分，共37分)1.试证13|(54m +46n +2000).(提示：可取模13进行计算性证明)2.叙述并证明威尔逊(Wilson)定理.3.试证双曲线x 2-7y 2=3上没有有理点(注：两个坐标均为有理数的点，称为有理点)4.试证对于任意自然数n,必存在相继的n 个自然数，其中恰有一个素数.。
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分，共18分）1、如果ba, ab，则（）.A a =bB a=-bC a _bD a=b2、如果3n,5n，则15 （）n.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（）. A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果a=b（m°dm）,c是任意整数，则A ac 三bc（modm）B^b C ac bc（modm） D a=b5、如果（）,则不定方程ax by =c有解•A（a, b）c B c（a,b） C ac D （a,b）a6、整数5874192能被（）整除.A 3B 3 与9C 9D 3 或9二、填空题（每题3分，共18分）1、素数写成两个平方数和的方法是（）•2、同余式a xF=0（modm）有解的充分必要条件是（）.3、如果a,b是两个正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为（）.4、如果P是素数,a是任意一个整数，则a被P整除或者（）.5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的（）.6、如果a,b是两个正整数，则存在（）整数q,r,使a=bqj,ozr b.三、计算题（每题8分，共32分）1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y =144.3、解同余式12x 15=°（mod45）.4294、求563,其中563是素数.（8 分）四、证明题（第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）1证明对于任意整数 2 3n n n—+— +—n ,数3 2 6是整数.2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除.3、 证明形如4n -1的整数不能写成两个平方数的和 试卷1答案 一、 单项选择题（每题3分，共18分） 1、D. 2、A 3、C4、A5、A6、B 二、 填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（唯一的） 2、 同余式axF^Ogodm ）有解的充分必要条件是（（a ，m ）b ）.3、 如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为4、 如果P 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（与P 互素 ）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）. 6、 如果a,b 是两个正整数，则存在（唯一）整数q ,r ,使a =bq • r , o =（申）.三、计算题（每题8分，共32分） 1、求[136,221,391]=? （ 8 分） 解[136,221,391] =[[136,221],391] 136221 … ,391 =[ 17] =[1768,391] （4 1768 391=104 391 =40664.（4分）2、求解不定方程9x 2y =144.（8 分）解：因为（9, 21）=3, 3144，所以有解； --------------------- （2分）化简得3x，7y=48 ；------------ （1 分）考虑3x・7yT，有x = _2, ，------------ （2 分）所以原方程的特解为x二~6, y =48， ----------------- （1分）因此，所求的解是x=T6 Pt, y =48-3t,t・Z 。
2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案
2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案2020年⾃考《初等数论》专业考试题库及答案⼀填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是⾮零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []ab个.6.设,a b 是⾮零整数,c 是整数,⽅程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod 7).13.同余⽅程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余⽅程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的⼆次⾮剩余的充要条件是 -121(mod ).p np ≡- .17.3()=5 -1 ; 4()=5 1 .18.,p 设是奇素数则2()p=218(1).p --.19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1()p= -12(-1).p .20. 5()=9 1 ; 2()=45-1 .⼆判断题(判断下列结论是否成⽴，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成⽴2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成⽴3. 23|,|a b a b 若则.不成⽴4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈?≡成⽴5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡?≡不成⽴6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或⾄少有⼀个成⽴. 不成⽴ 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成⽴8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成⽴ 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b L L 若与都是模m 的完全剩余系不成⽴1122{,,,}.m m a b a b a b m +++L 则也是模的完全剩余系不成⽴10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成⽴ 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ∈==若则成⽴12. 同余⽅程24330(mod15)x x -+≡和同余⽅程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成⽴13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余⽅程等价于不定⽅程成⽴14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则成⽴15. 2,()1,(mod ).a m x a m m=≡当不是奇素数时若则⽅程⼀定有解不成⽴三计算题1. (1859,1573)-求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143-===-?===2.求 [-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.-==?=?=??∴=??=Q3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.x y =+==?=?=??=??∴??===由等式起逐步回代得4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1=?+=?=?=??=??=??=??-?=?-?=?-?=?-?=?-?-=?-?=?-?-?=?-?∴由等式起逐步回代得38773162625 1.-=5. 12!.分解为质因数乘积（8分）6. ,10|199!k k 求最⼤的正整数使.（8分）7. [1+L 求(10分) 8. 81743.x y +=求⽅程的整数解(6分)9.求⽅程19 x ＋20y=1909的正整数数解。
初等数论(专升本)
平顶山学院补考课程：初等数论(专升本)总时长：120分钟1. (单选题) 关于整除的性质,下面叙述不正确的是( ).(本题4.0分)A. 若,则.B. 若,则.C. 若,则.D. 若且,则.答案: B解析: 无2. (单选题) 从2000到4000的正整数中,质数13的倍数有( )个.(本题4.0分)A. 152B. 153C. 154D. 155答案: C解析: 无3. (单选题) 如果同余式有解,则解数为( )个.(本题4.0分)A.B.C.D.答案: A解析: 无4. (单选题) 同余式的解数是( ).(本题4.0分)A. 1B. 2C. 4D. 无解答案: C解析: 无5. (单选题) 若模有原根,则其恰有( )个不同的原根.(本题4.0分)A.B.C.D.答案: D解析: 无6. (填空题) 不定方程有解的充分必要条件是___(本题4.0分) 答案: (1) ;得分点:未设置解析: 无7. (填空题) 的末尾有_____个零(本题4.0分)答案: (1) 14;得分点:未设置解析: 无8. (填空题) 写成十进位数时的最后两位数是_____(本题4.0分)答案: (1) 27;得分点:未设置解析: 无9. (填空题) 的欧拉函数值是_____.(本题4.0分)答案: (1) 96;得分点:未设置解析: 无10. (填空题) 模12的绝对最小简化剩余系是_____.(本题4.0分)答案: (1) -5，-1，1，5 ;得分点:未设置解析: 无11. (填空题) 11对模7的指数是____.(本题4.0分)答案: (1) 3;得分点:未设置解析: 无12. (问答题) 如果,试问并说明理由.(本题8.0分)答案: 若,则. ......................(2分)否则,若,则,.又因,所以,有且只有一个成立.不妨设,又,所以.矛盾!(8分)得分点:未设置解析: 无13. (问答题) 写出模17的全部平方剩余与平方非剩余.(本题8.0分)答案:由于模17的每个平方剩余与且仅与中的一个同余．因此可列出下表所以，模17的平方剩余是平方非剩余是．得分点:未设置解析: 无14. (问答题) 解不定方程(本题10.0分)答案: 解：因为,而,故方程有解. (2分)且原方程的解与的解完全相同.(1分)先解.故的一个解是. (6分) 的一解是. (8分)故的一切解可以表成或(10分)得分点:未设置解析: 无15. (问答题) 解同余式.(本题15.0分) 答案: 解：原同余式与同余式组等价.(1分)即容易验证同余式(1)的解为. (5分)同余式的解为.令而,所以.把代人(2)式得,,,即;然后,把代人得(2)式的一个解. (10分)故同余式有个解.即同余式组,,,的解. (13分)由孙子定理得,.以的值分别代入即得原同余式的全部解:即或. (15分)得分点:未设置解析: 无16. (问答题) ,证明是模的一个完全剩余系.(本题15.0分)。
自考数论初步试题及答案
自考数论初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 一个数n是合数，那么它的因数个数至少是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 欧拉函数φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数，那么φ(10)的值是：A. 4B. 8C. 6D. 10答案：C4. 模n的同余方程ax ≡ b (mod n)有解的充分必要条件是：A. a和n互质B. b能被a整除C. a和n的最大公约数能整除bD. a和n的最大公约数不能整除b答案：C5. 以下哪个算法是用于计算最大公约数的？A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 欧拉算法D. 斐波那契算法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果p和q都是素数，那么p*q是____。
答案：合数2. 一个数n的最小素数因子是3，那么n至少是____。
答案：33. 如果a和b互质，那么a*b的欧拉函数φ(a*b)等于____。
答案：φ(a) * φ(b)4. 模n的乘法逆元是指一个数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，如果a和n 互质，那么a在模n下的乘法逆元是____。
答案：存在且唯一三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明：如果p是一个大于3的素数，那么p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
答案：证明：设p为大于3的素数，p除以6的余数只能是1、2、3、4、5中的一个。
因为p是素数，所以p不能被2整除，因此p除以6的余数不能是2或4。
如果p除以6的余数是3或5，那么p-1除以6的余数就是3或5的补数，即3或5，因此p-1能被6整除。
如果p除以6的余数是1，那么p-1除以6的余数是5，因此p-1也能被6整除。
综上，p一定能被6整除或者p-1能被6整除。
2. 已知a=2，b=3，n=7，求模7的同余方程2x ≡ 3 (mod 7)的解。
答案：首先，我们需要找到2在模7下的乘法逆元，即找到一个数y，使得2y ≡ 1 (mod 7)。
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
02013自学考试初等数论模拟试题（含答案）一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a bx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b ax x t y y t t d d=-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解 C．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数C ．()()f a g a +为可乘函数；D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________； 23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30． ()48ϕ=_________________________________。
浙江2019年7月自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
…………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………1浙江省2018年7月高等教育自学考试初等数论试题课程代码：10021一、填空题(每小题4分，共40分)1.为了验明2003是素数，只需逐个验算素数2，3，5，…p 都不能整除2003，此时，素数p 至少是__________。
2.最大公因数(4n+3,5n+2)的可能值是__________。
3.不大于2002的正整数中，与2002互素的数共有__________个.4.设3α40!,而3α+1 40!,则α=__________.5.形如3n+1的自然数中，构成模8的一个完全剩余系的最小的那些数是__________.6.可乘函数的定义是__________.7.21x ≡9 (mod 43)的解是__________.8.8x-12y=28的通解是__________.9.契比雪夫(Чe σыШев)不等式是指__________.10.⎪⎭⎫ ⎝⎛19973 =__________. 二、计算题(第1，2题各7分，第3题9分，共23分)1.试求(133135+19)51被125除所得的余数.2.解同余方程组：⎪⎩⎪⎨⎧≡≡+≡+11). (mod 01-4x 10) (mod 173x 7) (mod 052x3.解同余方程x 3+x-15≡0 (mod 125). (如有多个解，则仅要求解出一个解)三、论证题(第1，2题各8分，第3题10分，第4题11分，共37分)1.试证对任何实数x,恒有〔x 〕+〔x+21〕=〔2x 〕. 2.试证形如4m-1的素数有无限多个.3.试证对于任何整数b,方程x 2-2bxy 2+2002y 2=0无非零整数解.4.试证和是2002的正整数之乘积的最大值是4·3666.。
自考初等数论试题及答案
自考初等数论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C2. 一个数的最小素因子是3，那么这个数的最小公倍数是：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：C3. 计算 \((2^3) \div 2^2\) 的结果是：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：A4. 一个数的质因数分解是 \(2^2 \times 3^3\)，那么这个数的约数个数是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：D5. 如果 \(p\) 是一个素数，那么 \(p^2 - 1\) 可以分解为：A. \((p-1)(p+1)\)B. \(p(p-1)\)C. \((p+1)(p-1)\)D. \(p^2 - 1\)答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个数 \(n\) 能被3整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被____整除。
答案：32. 一个数 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数（GCD）是 \(d\)，那么\(a \times b\) 的最大公约数是______。
答案：d3. 一个数 \(n\) 能被9整除，那么 \(n\) 的各位数字之和也能被______整除。
答案：94. 一个数 \(n\) 能被11整除，那么 \(n\) 的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是______的倍数。
答案：115. 一个数 \(n\) 能被7整除，那么 \(2n + 4\) 能被______整除。
答案：7三、解答题（每题10分，共20分）1. 求 \(2^{16} - 1\) 的所有素因子。
答案：\(2^{16} - 1 = (2^8 + 1)(2^8 - 1) = (2^4 + 1)(2^4 -1)(2^8 + 1) = (2^2 + 1)(2^2 - 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1) = 3 \times 15 \times 17 \times 15 \times 255\)，所以素因子为3, 5, 17, 255。
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初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(mod m bc
D b a ≠
5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),(
6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程144219=+y x .
3、解同余式)45(mod 01512≡+x .
4、求⎪
⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数62
33
2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D.
2、A
3、C
4、A
5、A
6、B
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]
=[1768,391] ------------(4分) = 17391
1768⨯
=104⨯391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程144219=+y x .（8分）
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）
化简得4873=+y x ； -------------------（1分）
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）
所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）
因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
-------------------（2分）
3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）
解 因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）
即定理4.1中的100=x . ------（1分）
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , ---------（1分）
)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , -----------------（1分）
)45(mod 40)45(mod 345210≡⨯
+≡x .---------（1分）
4、求⎪⎭⎫ ⎝
⎛563429,其中563是素数. （8分） 解 把⎪⎭⎫ ⎝
⎛563429看成Jacobi 符号,我们有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---42967)1(429674292429134429563429563)1(56342981
42921563.214292---------------（3分）
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=----27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167----------------------（2分） 11311327)1(27132113.2127=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数62
33
2n n n ++是整数. (10分) 证明 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,-----（3分） 即623
3
2n n n ++是整数. -----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
证明 因为133)1(2
33++=-+n n n n , -------------（3分）
所以只需证明1332++n n T )5(mod . 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332++n n 分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 1332++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
所以1332++n n T )5(mod ---------（7分） 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
--------（1分）
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分） 如果
22y x n +=, ---------（1分）
则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,
所以22,y x 只能与0,1同余,
所以
)4(m od 2,1,022≡+y x , ---------（4分）
而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分）。