3定轴转动定律 转动惯量
合集下载
最全的转动惯量的计算ppt课件
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
定轴转动和转动定律
刚体是一种理想模型，其形状和大小始终保持不变。刚体的运动可分为平动和转动，而定轴转动是刚体上所有点绕同一轴线做瞬时圆周运动。在定轴转动中，各质点的角位移、角速度、角加速度相同，并可通过一系列公式来描述其运动状态。力矩是力对转轴的转动效果，它的大小等于力与力臂的乘积，方向由右手法则确定。转动定律指出，刚体绕定轴转动时，其角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它等于各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量的大小受刚体的总质量、质量的分布以及转轴位置的影响。通过计算转动惯量，可以进一步了解刚体的转动特性。此外的理解和应用。
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
定轴转动和转动定律
应用场景：定轴转动、 行星运动、弹簧振子 等。
实例分析：单摆运动 中，摆球在摆动过程 中机械能守恒，可以 求出摆球摆动的最大 高度等。
结论：机械能守恒定 律是物理学中一个非 常重要的基本规律， 在许多实际问题中有 广泛的应用。
实例分析
实例名称：单摆
实例分析：根据定轴转动的机械能 守恒定律，单摆的摆动周期与振幅 无关，只与摆长有关。
定轴转动和转动定律
汇报人：XX
定轴转动的定义 转动定律 转动惯量 定轴转动的动能和势能
定轴转动的机械能守恒定律
定轴转动的定义
定义
定轴转动是指刚体 绕某一固定轴线转 动的运动。
定轴转动时，刚体 的角速度矢量与转 动轴线重合。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的速度大小不 变。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的加速度大小 不变。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
实例描述：单摆在摆动过程中，由 于只有重力做功，所以机械能守恒。
实例结论：通过实例分析，验证了 定轴转动的机械能守恒定律的正确 性。
THANK YOU
汇报人：XX
公式：Iω=M，其中I是转动惯量，ω是角速度，M是外力矩矢量。
意义：定轴转动定律描述了质点系在转动过程中动量矩矢量的变化规律， 是经典力学的基本定律之一。
应用：在工程、物理、天文等领域中，定轴转动定律被广泛应用于分析旋 转运动系统的动力学特性和运动规律。
转动定律的应用
描述定轴转动的 物体在转动过程 中受到的力矩和 角速度的变化关 系。
转动惯量的大小 与质量、转动半 径有关
转动惯量具有方 向性，与转轴的 选取有关
转动惯量是刚体 转动时动量矩的 量度
52--定轴转动定律
dt
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
16定轴转动刚体的角动量转动惯量和定轴转动定律
m
I = I C + md
2
刚体绕质心轴的 转动惯量最小。 转动惯量最小。
12
例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 ： 的转动惯量如何计算？ 棒长为 棒长为L、圆半径为R） 的转动惯量如何计算？(棒长为 、圆半径为 ）
1 2 I L1 = m L L 3 1 I o = mo R 2
1 1 2 I = m LL + moR 3 2
7
.转动惯量的计算 2 .转动惯量的计算
Δm 2 分立质点系 I = ∑( iri ) = ∑ Ii
质量连续分布的刚体
I = ∫ r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 质量为面分布
dm = λ dl
dm = σ ds 质量为体分布 dm = ρ dV
Fiτ ri + ∑ f iτ r i = ∑ ∆mi ai ri = ∑ ∆mi ri 2 β ∑
∑ F τ r + ∑ f τ r = ∑ ∆m a r = ∑ ∆m r
i i i
2
⇓ 合外力矩
⇓
i
i i i
i i
β
内力矩之和
刚体定轴 转动定律！ 转动定律！
⇓ Iβ
合外力矩） 用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M = Iβ 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 某一固定转动轴 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 下所获得的角加速度的乘积。 下所获得的角加速度的乘积。 注意几点: 注意几点: 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、I、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 4. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。 5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当
定轴转动定律转动惯量
采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin i F内i sini miait miri
Firi sini F内i ri sini miri2
对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Firi sini F内i ri sini (miri2 )
i
i
i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
经过多少时间才停止转动？
解： 把 圆 盘 分 成 许 多 环 形
质元，每个质元的质量
dm=reddr ， e 是 盘 的 厚
度，质元所受到的阻力矩
d r R
dr
eHale Waihona Puke 为 rdmg 。圆盘所受阻力矩为
Mr rμdmg μg rρredθdr
Mr rμdmg μg rρredθdr
μgρe
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
d dm A C dx
x
mxC 0
正交轴定理
薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的
转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
IZ IX IY
例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环： dm
(2) 圆盘：
O r dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
刚体的回转半径 rG ：
I miri2 mrG2
i
rG
I m
例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。
解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章 刚体力学基础
一、 定轴转动定律
M z J
刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外 力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. M 的符号：使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正 说明
(1) 与 M 方向相同． (2)
M、J、 对同一轴
(3) 为瞬时关系． (4) 转动中 M J 与 平动中 F ma 地位相同．
第3章 刚体力学基础
（mB> mA） 例3.1 一质量分别为mA,mB的两个物体
通过定滑轮由不可伸长的细绳相连接，定滑轮半径为 r， 转动惯量为J，细绳与滑轮间无相对滑动，求绳中的张 力TA， TB，及两物体的加速度a?
mB> mA
r
TA
m m A
TB
mB
第3章 刚体力学基础
例3.2 电动机的转子初始角速度为 0 ，当仅受
4m
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
思考：A点移至质量为2m的杆中心处 J=?
第3章 刚体力学基础
例3.3 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. (1) 轴过中点
L
2
o x
dm
L 2
x
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
x
L
第3章 刚体力学基础
需要掌握的几种刚体的转动惯量：
到一恒定的未知摩擦阻力矩Mf的作用时，经t1秒
后停止；如果这个过程中再加上另一恒定阻力矩 M，则经过t2秒停止。求电动机转子的转动惯量J 和摩擦阻力矩Mf？
第3章 刚体力学基础
二. 转动惯量(moment of inertia) 1 定义
J ri mi
2
3转动惯量与 转轴位置有关 质量有关 质量分布有关
单位:
kg m
i
2
2 物理意义 描述物体转动惯性的大小.
第3章 刚体力学基础
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第3章 刚体力学基础
4 计算
J
m r （分立） r d m （连续）
2 i i
2
第3章 刚体力学基础
例1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点 系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.
r
l 细棒转轴通过端 点与棒垂直
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
ml J 3
2
ml J 12
2
1 2 J mr 2
一、 定轴转动定律
M z J
刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外 力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. M 的符号：使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正 说明
(1) 与 M 方向相同． (2)
M、J、 对同一轴
(3) 为瞬时关系． (4) 转动中 M J 与 平动中 F ma 地位相同．
第3章 刚体力学基础
（mB> mA） 例3.1 一质量分别为mA,mB的两个物体
通过定滑轮由不可伸长的细绳相连接，定滑轮半径为 r， 转动惯量为J，细绳与滑轮间无相对滑动，求绳中的张 力TA， TB，及两物体的加速度a?
mB> mA
r
TA
m m A
TB
mB
第3章 刚体力学基础
例3.2 电动机的转子初始角速度为 0 ，当仅受
4m
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
思考：A点移至质量为2m的杆中心处 J=?
第3章 刚体力学基础
例3.3 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. (1) 轴过中点
L
2
o x
dm
L 2
x
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
x
L
第3章 刚体力学基础
需要掌握的几种刚体的转动惯量：
到一恒定的未知摩擦阻力矩Mf的作用时，经t1秒
后停止；如果这个过程中再加上另一恒定阻力矩 M，则经过t2秒停止。求电动机转子的转动惯量J 和摩擦阻力矩Mf？
第3章 刚体力学基础
二. 转动惯量(moment of inertia) 1 定义
J ri mi
2
3转动惯量与 转轴位置有关 质量有关 质量分布有关
单位:
kg m
i
2
2 物理意义 描述物体转动惯性的大小.
第3章 刚体力学基础
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第3章 刚体力学基础
4 计算
J
m r （分立） r d m （连续）
2 i i
2
第3章 刚体力学基础
例1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点 系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.
r
l 细棒转轴通过端 点与棒垂直
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
ml J 3
2
ml J 12
2
1 2 J mr 2