广义函数和Sobolev空间的一些性质综述
sobolev嵌入定理_概述及解释说明
sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。
具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。
通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。
1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。
首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。
随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。
接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。
然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。
最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。
通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。
同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。
2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。
具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。
(完整版)Sobolev空间的建立
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
广义函数论与函数空间
广义函数论与函数空间摘要：一、广义函数论的定义与背景1.广义函数论的概念2.广义函数论的发展背景二、广义函数论的重要概念与性质1.广义函数的定义与性质2.广义函数的分类三、函数空间的概念与性质1.函数空间的概念2.函数空间的性质四、广义函数论在数学领域的应用1.微分方程中的应用2.偏微分方程中的应用五、广义函数论的发展趋势与前景1.广义函数论与其他领域的交叉研究2.广义函数论的未来发展正文：广义函数论与函数空间是现代数学中的重要研究领域，涉及到许多基础数学理论和应用。
广义函数论是在经典函数论的基础上，对函数的概念进行推广和拓展，从而形成的新的数学理论体系。
广义函数论的概念最早可以追溯到20 世纪初，由法国数学家拉普拉斯和德国数学家赫尔德等人提出。
随着科学技术的发展，广义函数论在物理学、工程学等领域得到了广泛应用，逐渐发展成为现代数学的一个重要分支。
在广义函数论中，广义函数是一种特殊的数学对象，它具有连续性、可积性等性质。
广义函数可以分为四类：核函数、基本广义函数、广义函数和逆广义函数。
这些函数具有不同的性质和应用，为数学研究提供了丰富的理论体系。
函数空间是广义函数论中的另一个重要概念，它是一种特殊的集合，包含了许多具有特定性质的函数。
函数空间的性质包括完备性、稠密性、嵌入性等，这些性质对函数空间的构造和应用具有重要意义。
广义函数论在数学领域具有广泛的应用，特别是在微分方程和偏微分方程的研究中发挥着重要作用。
通过引入广义函数，可以更方便地研究这些方程的性质和解的结构，为数学理论的发展提供了有力支持。
近年来，随着计算机技术的进步，广义函数论与其他领域的交叉研究取得了丰硕成果。
例如，在图像处理、信号处理等领域，广义函数论的方法得到了广泛应用。
这些研究成果为广义函数论的未来发展奠定了坚实基础。
总之，广义函数论与函数空间是现代数学中的重要研究领域，具有广泛的应用前景。
Sobolev空间的建立
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B pm j C W.(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
广义函数与Sobolev空间
§3.1基本解
§3.2椭圆方程
第四章整数阶Sobolev空间（10学时）
§4.1连续函数空间与 空间
§4.2整数阶Sobolev空间的定义与基本性质
§4.3对偶空间与负整数阶Sobolev空间
§4.4用光滑函数逼近 中的元素
§4.5延拓定理、导数的内插定理
第五章嵌入定理（8学时）
学分：4
先修课程要求：实变函数，泛函分析
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
张显文
教授
应用数学
49
非线性偏微分方程
段志文
副教授
应用数学
47
非线性偏微分方程
魏金波
讲师
应用数学
33
非线性偏微分方程
课程教学目标：
本课程是为基础数学，应用数学，计算数学和概率论等专业相关研究方向的研究生开设的基础课.其目的是让研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本知识,为以后学习非线性发展方程、反应扩散方程、无穷维动力系统等偏微分方程课程以及进行相关方向的科学研究奠定坚实的理论基础。
§5.1Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式
§5.2Morrey不等式
§5.3一般的Sobolev嵌入定理
§5.4Rellich-Kondrachov紧嵌入定理
§5.5迹嵌入定理
第六章实数阶Sobolev空间 （10学时）
§6.1空间 的基本性质
§6.2 的嵌入定理、内插定理与等价范数
[3]L.Hörmander.《The Analysis of Linear Partial Differential Operator》I.distribution theory and fourier analysis,Berlin：Springer, 2003.
ch53 Sobolev空间与广义解
sup pf = {x | x ∈ (a, b)且f ( x) ≠ 0}的闭包
显然， 是一个闭集， 显然，s sup f 是一个闭集， 称它为函数 f (x) 的 支集。 支集 。 如果 sup p ⊂ (a, b) ， 则称 f (x) 在 (a, b) 内有 支集． 支集．又记
虽然如此， 上面的要求中还出现了u x , u y 在Ω 上平方 虽然如此， 可积” 必须要求存在导数。 可积” 必须要求存在导数。如果把导数的概念再推 ， 不按经典微积分理论中的意义来理解， 广，不按经典微积分理论中的意义来理解，那么这 的就更为广泛了． 时所求得的变分问题的解 u ( x, y) 的就更为广泛了．
0, x ∈ (−1,0) f ( x) = 1, x ∈ [0,1]
∫
1
−1
g ( x)v( x)dx = − ∫−1 f ( x)v ( x) dx
' 1 '
−1
= − ∫0v ( x)dx = −v( x) |1 = v(0) ∀ v ∈ C0∞ (−1,1) 0
不等式， 再由 Schwarz 不等式，有
例如， 例如，取 (−1,1) 上的阶梯函数
0, x ∈ (−1,0) f ( x) = 1, x ∈ [0,1]
显 然 f ∈ L2 (−1,1) ， 但 它 没 有 广 义 导 数 f ' ( x) ∈ L2 ( −1,1) 。 事实上 ， 如果 f 有广义导数 事实上， g ∈ L2 (−1,1) ，则
| v(0) |=| ∫−1 g ( x)v( x) dx |≤|| g || . || v ||, ∀ v ∈ C0∞ (−1,1) (3.6)
sobolev空间范数
sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。
本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。
我们来定义Sobolev空间范数。
给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。
其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。
对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。
Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。
这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。
Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。
也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。
这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。
除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。
嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。
这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。
Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。
例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。
通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。
索伯列夫空间的性质
龙源期刊网 索伯列夫空间的性质作者：周建锋王宇来源：《科学导报·学术》2019年第44期摘要：介绍了广义函数的导数，引入了索伯列夫空间的有关概念，讨论了索伯列夫空间的一些性质，应用泛函分析方法，给出了这些性质的证明。
關键词：广义函数;弱导数;索伯列夫空间;完备性;可分性;自反性中图分类号：O175.2;文献标志码：A1 引言前苏联著名数学家索伯列夫在研究偏微分方程理论中系统地应用了泛函分析方法，引进的一类泛函空间被称为索伯列夫空间，已成为研究非线性偏微分方程的有力工具，在微分方程、理学、计算数学、物理学等近代理论研究中被广泛的应用。
本文我们将介绍索伯列夫空间的有关概念，讨论索伯列夫空间的一些性质，并给出这些性质的证明.设是中的开集，是一非负整数，向量如果它的每一个分量都是非负整数，就称是一重指数（指标），并记称为重指数的长度.记用，表示阶微分算子， .于是 . 表示由定义在上所有连续且具有阶连续偏导数的函数组成的集合，简记为，令 = ，中的函数本身或某些阶的偏导数可以在上无界. 表示由且它和它的偏导数在上有界的全体函数组成的集合，若是中的有界区域，则空间是Banach空间.为了使泛函分析方法能够应用于偏微分方程，就必须扩充导数的概念，索伯列夫建立的广义函数理论把每个函数都看成广义函数，每个广义函数都是无穷次可导的，广义函数实质上是定义在一类性质很好的函数组成单位基本空间上的线性泛函。
在）中定义收敛性就能以它为定义域定义线性泛函，而且可以使它成为完备的空间。
2 广义函数及其导数定义1.1; Ω）（或; 称在（或）中收敛于，如果满足下列条件：（1）存在K; Ω（或），使得与都包含在中，即; ; ;，…对于任意重指数，函数序列在K上一致收敛，对于任意重指数，有;.在给定上述收敛后，就称（或（）为基本函数空间（或简称为基本空间） .上述收敛记为（在（或在）中）.由此可见，基本空间（或（）与（或）所含有元素相同，并且定义有上述收敛性. （或）中的元素成为基本函数或试验函数.设（或），（，由公式可知，成立等式如果是一重指数，（或），重复使用次公式推出因此把广义函数的阶广义导数用以下方式来定义定义1.2 广义函数的阶广义导数（或）.易证泛函具有可加性和连续性且具有一致收敛性，故是（或D（R ）上的线性泛函。
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广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。
随着研究的深入，广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示，到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题，再到后来用线性拓扑空间理论作为基础，得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。
与此同时，sobolev空间的研究也取得了实质性的发展，其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。
本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。
这是一篇读书报告，主要取材于[1]-[3].关键词：广义函数，sobolev空间，lax-milgram定理广义函数和Sobolev空间的一些性质综述第一章引言广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。
本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述，介绍一些基本性质及其应用。
1.1关于广义函数目前，在各个不同的数学分支的发展中，广义函数均得到日益广泛的传播，而以不严密形式来表示的广义函数，实际上早已为物理学家所采用。
J.Hadamant由于研究波动方程的基本解，曾经探讨发散的积分。
他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。
1936年，索伯列夫首先引入广义函数，以一种明确而又是目前广泛采用的形式，说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。
另一方面，有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系，例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。
这些傅里叶变换实际上也是广义函数。
在C.Bochner的理论中，这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。
在1950至1951年间，随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版，广义函数理论更加系统化。
在这本书中，L.Schwartz把以前的种种方法统一起来，进而用线性拓扑空间理论作为基础，从中得到一系列重要而且具有深远意义的结果。
分布函数理论问世之后，迅速地，广义函数得到极其广泛的普及。
这只要指出下面的事实就能说明：涉及δ-函数的文章在短时间内数量增加了很多。
1.2 关于sobolev空间尽管在1930年前，sobolev空间的原型就已经存在了，但是苏联数学家S.l.Sobolev在1930年末做出了关于此空间发展的主要贡献，因而这些空间总是和他的名字联系在一起。
Sobolev空间是讨论偏微分方程弱解比较合适的空间，换而言之，就是无穷次可微函数关于某个sobolev范数的完备化空间，或者等价的说，即其所有小于等于m阶广义导数都属于L p的子空间。
数学上，一个Sobolev空间是一个由函数组成的赋范线性空间，对于某个给定的p ≥ 1，它对一个函数f和它的直到某个k阶导数加上有限L p范数的这个条件具有弱导数的多变量可积函数组成的一类巴拿赫空间。
30年代起，许多人研究了这类函数空间，伴随着变分法的发展以及偏微分方程定解问题的解的存在性与正则性的研究的需要。
索伯列夫空间以及其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为研究偏微分方程理论必不可少的工具。
第二章广义函数综述及其性质与应用2.1广义函数综述广义函数在工程技术、理论物理科学中已应用广泛，越来越多的科技研究人员、工程技术人员迫切需要熟悉和深入了解广义函数的基础理论，进而掌握这一数学工具的基本方法。
2.1.1广义函数的概念及其产生的历史背景在上世纪三十年代初期，由于美国物理学家P.A.M.Dirac在量子力学中引进δ-函数来处理脉冲问题，在当时引起不小的争议。
由于δ-函数无法简单的用古典函数的概念来理解，故而受到当时许多数学家的非难。
然而，它确实一定程度上反映了现实世界的某一种量的关系，而且给物理学中遇到的复杂的连续量提供了一定意义上方便的描述，并且能够解决许多实际的问题。
所以有了促使人们去深入研究这种函数，可以建立起它的科学基础理论，使其广泛的应用于实际的动力，这正是广义函数论起源的历史背景。
到上世纪四十年代末期，在前苏联数学家索伯列夫引进广义函数概念的基础上，法国数学家L.Schwartz 系统地建立和发展了广义函数的科学基础理论，从而完成了这一光辉卓著的工作。
在物理学中既会遇到连续分布的量：分布在空间曲面上的质量、电荷等，还会经常遇到一些集中分布的量：质点、点电荷等。
当然，这两种量之间不会是绝对的不同，当连续分布的质量或者电荷集中在特别小的体积时，则就可以近似的看成集中在一点，理想化为质点、点电荷。
像这种抽象化模型实际并不存在，然而它们仍有原来连续分布量共有的一些性质。
因此两种量可以统一起来处理，虽然它们在数学表示形式有很大区别。
例如质点或点电荷讲它的密度没有意义，但如果考察在一定区域内它们的总量，就与在区域内质量或电荷连续分布的情况一样，均有确定的值。
也就是说，质点或者点电荷具有一定的质量或者电量，而其体积为零，它的质量或者电量分布密度为无限大；但是密度的体积积分，也就是总质量（或总电量）却是确定的而且有限的值。
简而言之，以线密度分布为例，先给出它相应的数学表达式。
即假设在一直线上确定有一个单位质量集中在某一点（把它取作直线轴原点），而且其质量集中范围和直线长度相比可以忽略不计，可以看作一个质点置于原点位置。
通常如果线密度分布为()x ρ,那么12x x ⎡⎤⎣⎦，一段弦的总质量()21x M=x dx x ⎰ρ。
如果某段弦长△t ，则其相应的质量为△M ，那么该段弦的密度为△M △ρ=△t 。
要求点的密度就是lim M dM t dt→==△t 0△ρ△。
即对质点要保持原有物理学和数学上的质量以及密度这种观念，那么其分布密度显然表示为：()0010x x x ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭ρ； 而且整个轴的质量为：()1M x dx ∞-∞==⎰ρ。
现在不论表达式物理意义如何，均可作为数学表达式 作如下抽象的定义。
定义 若δ（x ）具有如下的性质：（1）00()10x x x ≠⎧⎫=⎨⎬=⎩⎭δ； （2）()1x dx ∞-∞=⎰δ。
则称这个函数为δ-函数。
按照通常函数给出的定义，那么δ-函数就不算一个常规函数，而是一种非常规而且更一般的新函数。
那么由δ-函数的定义，对于任意的正数ε＞0，都有 ()()()()()1x dx x dx x dx x dx x dx ∞∞-∞-∞==++=⎰⎰⎰⎰⎰-εεε-εε-εδδδδδ。
而且对于任何一个普通的连续函数()x ψ，简单的通过利用中值定理就有()()()()()()()()*1()x x dx x x dx x dx θθθθ∞-∞====-⎰⎰⎰εε-ε-εδψδψψδψψε＜＜ε当0→ε时，0θ→，即可以得()()()0x x dx ∞-∞=⎰δψψ。
而且此等式与δ-函数的基本定义是等价的，那么再变换式中的原点，便得到：()()()x a x dx a ∞-∞-=⎰δψψ。
也就是说，如果()x a -δ乘任意一个连续函数()x ψ后，再沿着(,)-∞∞积分，其积分的值为()a ψ，那么就可以称()x a -δ为δ-函数。
这种定义的方法正是L.Schwartz 为δ-函数的科学定义和推广函数来奠定数学科学理论基础的起点。
那么由此出发，用这种方法来推广和深化函数的定义，便使得定义的函数不仅包括了常规的函数，也包括了像δ-函数的那一类非常规的函数。
2.1.2 广义函数的思想方法简述1936年，前苏联的数学家sobolev 首先引出了广义函数的概念和基本的运算。
1950年前后，由法国数学家L.Schwartz 改进和系统发展了广义函数理论，为δ-函数建立出严格科学的数学理论基础。
而他的思想方法主要的一步就是重新来考虑函数的概念定义，通过改变在定义域内每一个点的坐标x 所对应的函数值ψ来认识f ，成为看函数f 对其他的函数ψ所起的作用来进一步认识函数。
通过假设f （x ）是一个可积的函数，对于某一函数类φ中连续函数()x ∈ψφ作用，就可以有一实数()f F ψ来和它对应，这种作用所对应关系由下面定积分规定：()()()(),bf a f x x dx x F =∈⎰ψψψφ， 就是说，函数f 可以唯一地规定出函数类φ上的一个泛函（也就是函数的函数）。
由定义，函数f 所规定的函数类φ上的泛函，显然是线性的。
那么假设12,∈φψψ，常数12,R C C ∈，则有()()()()()()112211*********()()1f b a b b a aff f x dxf x x dx f x x dxC C F C C C C F C F C +⎡⎤=+⎣⎦=+=+⎰⎰⎰ψψψψψψψψ， 因此，一个普通的可积函数f(x)就可以看作是函数类φ上的一个线性泛函。
但反过来，一个线性泛函却不一定与一个普通的可积函数对应起来。
例如下面的线性泛函()()()()ba x a x dx a F =-=⎰δψδψψ。
其所对应的函数()x a -δ就不再是一个普通的可积函数。
由此，若我们把函数看作函数类φ中的一个线性泛函，定义函数既包括了普通的可积函数，也包括了许多的非常规函数，因此它的含义就更广泛了，称为广义函数。
简单地说，即广义函数就是我们所说的函数空间φ上的线性泛函。
2.1.3 广义函数的基本概念和数学科学定义在上文，我们简要叙述了广义函数产生的历史背景以及它的数学思想方法的发展过程，本节就将给出其严格的定义定义（基本函数空间）若K 是E n （欧式空间）上的无限次可微而且是在某个有限区域以外为零的函数的全体集合，那么按照通常的加法和乘法，它就可以成为线性空间。
在K 中规定极限的概念如下：假设{},n K ⊂∈ψK ψ，若 （1） 存在一个与∈n N 无关的公共的区域A ，使所有nψ在A 以外的区域均为0；（2） 在E n 上，对于每一个非负的整数q ，使得{}q nψ能一致收敛于q ψ，则可以称{}n ψ在K 中收敛于ψ，记为K n →ψψ。
按照线性运算和极限运算的概念，就可以称空间K 为一个基本函数空间，其中函数ψ可以称作（K 中的）基本函数。
上述极限概念，不能以距离的极限表达。
显然在K 中，如果n nx →→ψ,ψx ，当α,β是常数时，就有n n→α+βαψ+βx ψx ，即线性运算总是连续的。
在K 中要进行各种分析运算，所以首先引进K 中泛函的连续概念。
定义（线性连续泛函）首先假设f 为空间K 上的线性泛函，K ∈ψ，如果对于一切的{},K n n K ⊂→ψψψ均有(),,Kf f n n f f T T =〈〉→=〈〉ψψψψ，则可以称f 为K 上线性连续泛函。