云南省中考数学压轴题及答案
云南省中考数学压轴题及答案
题目篇(2014年昆明) 23. （本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。
其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。
当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标。
（2013年昆明）23.（本小题9分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy 中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。
（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
（2012年昆明）（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点.求抛物线的解析式（关系式）；过点作交轴于点，求点的坐标；除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（2011年昆明）25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B 出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．（2010年昆明）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（云南省2010年）24.（本小题12分）如图，在平面直角示系中，A、B两点的坐标分别是A（-1,0）、B（4,0），点C在y轴的负半轴上，且∠ACB＝90°（1）求点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）直线l⊥x轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t（0≤t≤5）秒，运动过程中直线l在△ABC中所扫（云南省2013年）23．（9分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（云南省2014年）23.（9分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形ABCO的顶点分别为A（3,0）、B（3,4）、C（0,4），点D在y轴上，且点D的坐标为（0，-5），点P是直线AC上的一个动点。
2024年云南省中考数学参考试卷+答案解析
2024年云南省中考数学参考试卷一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零下记作，则零上可记作()A. B. C. D.2.能源产业已成为云南省第一大支柱产业，目前正在推进的3000000千瓦光伏项目，将带动光伏、储能绿色能源装备的发展用科学记数法可以表示为()A. B. C. D.3.如图，直线c与直线a，b都相交.若，，则()A. B. C. D.4.反比例函数的图象位于()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、四象限D.第二、三象限5.下列计算正确的是()A. B. C. D.6.如图，在中，D，E分别为AB，AC上的点.若，，则()A.B.C.D.7.下列图形是某几何体的三视图其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图，则这个几何体是()A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥8.以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第n个多项式是()A. B. C. D.9.某中学为丰富学生的校园体育锻炼，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用.因此学校数学兴趣小组随机抽取了该校100名同学就体育兴趣爱好情况进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列统计图：若该校共有学生1200人，则该校喜欢跳绳的学生大约有()A.280人B.240人C.170人D.120人10.如图，BC是的直径，A是上的点.若，则()A.B.C.D.11.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是()A. B. C. D.12.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为()A. B. C. D.13.如图，计划在一块等边三角形的空地上种植花卉，以美化环境.若米，则这个等边三角形的面积为()A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米14.函数中，自变量x的取值范围是()A. B. C. D.15.估计的运算结果应在()A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
【中考真题】2024年云南省中考数学试卷(附答案)
2024年云南省中考数学试题学校：姓名：班级：考号：一、单选题1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（）A. 100米B. -100米C. 200米D. -200米2. 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A. 5.78x104B. 57.8x103C. 578x1023. 下列计算正确的是（）A. x3+5x3=6x4B. x6+x3=x5C. a丁=a74.式子心在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）A. x>OB. x�OC. x<OD. 5780xl0 D. (ab)3 = a3 b3 D. x:::::::。
5. 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）ID主视图左视图俯视图A. 正方体B. 圆柱6. 一个七边形的内角和等千（）A. 540°B. 900°C. 圆锥D. 长方体C. 980° D. 1080°7.甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数了（单位：环）和方差s2如下表所示：甲乙丙丁X 9.9 9.5 8.2 8.5s 20.09 0.65 0.16 2.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8. 已知AF是等腰A BC 底边B C 上的高，若点F到直线A B的距离为3,则点F到直线AC 的距离为（）3l2 ． A B. 2 C.3 7-2 D 9. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ,根据题意，下列方程正确的是（）A. so 1—x 2)=60 C. 80(1—x ) =60 B. 80(1-xf = 60 D. 80(1-2x ) =60 10. 按一定规律排列的代数式：2x , 3x 2 , 4x 3 , 5x 4 ,6x', L , 第n 个代数式是() A. 2x" B. (n -l)x n C. nx n+ID. (n +l )x n 11. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A. 爱B. 国C. 敬D. 业12. 在RtDA BC 中，?B 90?, 已知AB =3,B C =4, 则t an A 的值为（） 4 3 4 3 A. 一 B. - C. — D. -5 5 3 413. 如图，C D是0的直径，点A、B 在0上．若A C=BC ,乙4.0C=36, 则LD =( ）A . 9B . 18 C. 36° D. 4514. 分解因式：a 3—9a= ( )A. a (a —3)(a +3)B. a(a 2+9)C. (a —3)(a +3)D. a 2a —9)15. 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A. 700兀平方厘米C. 1200兀平方厘米 B. 900n平方厘米D. 1600rc平方厘米二、填空题16. 若关千x 的一元二次方程x 2-2x+c=O 无实数根，则c 的取值范围是10 17. 已知点P (2,n)在反比例函数y =—的图象上，则n =.X 18. 如图，A B与C D交千点O,且AC II BD. 若OA +OC +AC 1 A C ＝－，则——=O B +OD +B D 2 BDDB 19. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：｀I I I--•-------------r II '·l n注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．三、解答题20. 计算：70 +(勹-I 十—丿位）2—sin 306 221. 如图，在A B C 和A从少中，A B=心；，4汃E =乙CAD ,AC=AD.求证：L::::,.AB C竺L::::,.AE D./:22. 某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．23. 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活＂．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆叭植物园扒科技馆C三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a'选择植物园b为b,选择科技馆C为C'记七年级年级组的选择为x,八年级年级组的选择为Y.(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P.24.如图，在四边形A B CD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且A B II CD, A D I I B C, 四边形E FGH是矩形．H DB F(1)求证：四边形A BCD是菱形；(2)若矩形E FGH的周长为22,四边形A B CD的面积为10,求A B的长．25. A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元／个）销售价格（单位：元／个）A型号35 a三42 b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求0、b的值；(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的4数量x(单位：个）不少千B种型号吉祥物数量的—，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设3该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为Y元，求Y的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等千每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．326. 已知抛物线y= x2 +b x-I的对称轴是直线x=—．设m是抛物线y= x2 +b x-I与X轴交2点的横坐标，记M=矿-33109(1)求b的值；汇(2)比较M与——的大小．227. 如图，A B是0的直径，点D、F是0上异千A、B的点点C在0外，CA=CD,延长BF与C A的延长线交千点M,点N在B A的延长线上，乙AMN=乙A B M,A M-B M=A B·MN. 点H在直径A B上，LAHD=90,点E是线段DH的中点．(1)求乙吓B的度数；(2)求证：直线CM与0相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段C E、线段EB、线段C B有关的三个结论：CE+EB<CB, CE+EB=CB, CE+EB>C B, 你认为哪个正确？请说明理由．参考答案：1. B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键【详解】解：若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作—100米，故选：B.2. A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为axio n的形式，其中1 ::::; l a l< 10, n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为axIo n的形式，其中1::::; a < 10, n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值习10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．【详解】解：57800=5.78x l04,故选：A.3.D【分析】本题考查了合并同类项、幕的乘方、积的乘方、同底数幕的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幕的乘方运算法则、同底数幕的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A、x3+5x3 = 6x3, 选项计算错误，不符合题意；B、x6--;-X3 = x3'选项计算错误，不符合题意；C、(a丁=a6'选项计算错误，不符合题意；D、(ab)3= a3扩，选项计算正确，符合题意；故选：D.4. B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：？式子心飞E实数范围内有意义，: •X的取值范围是x习0.故选：B5. D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D.6. B【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和为(n—2)180°求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等千(7-2)x180°=900°,故选：B.7. A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，．．．中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A.8. C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形”三线合一“得到AF平分乙B A C,再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，ABl门\CF·: AF是等腰A BC底边B C上的高，: • AF平分乙B AC,:．点F到直线A B,AC的距离相等，点F到直线AB的距离为3,:．点F到直线AC的距离为3.故选： C.9. B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x,利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产l千克甲种药品的成本年x(l—平均下降率）2' 即可得出关千的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意可得80(1—x)2=60,故选： B.10. D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：？按一定规律排列的代数式：2x , 3x2 , 4x3 , 5x4 , 6x', L ,:．第n个代数式是(n+l)x n,故选： D.11. D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；B、图形不是轴对称图形，不符合题意；C、图形不是轴对称图形，不符合题意；D、图形是轴对称图形，符合题意；故选： D.12. C【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：..? B 90?, A B=3, B C=4,B C 4:t an A=—=-,AB 3故选： C.【点睛】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两条边的比．13. B【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接O B,由AC=B C可得乙BOC=LAOC =36°, 进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．【详解】解：连接OB,·:A C=B C,:乙BOC=乙AOC=36°,1:乙D=—乙BOC=l8°,2故选：B.夕.·,..（＇14. A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将a3—9a先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：a3-9a=a忨-9)=a(a+3)(a-3),故选：A.15. C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．【详解】解：圆锥的底面圆周长为2兀x30=6伽厘米，1:．圆锥的侧面积为—x60兀x40= 120伽平方厘米，2故选：c.16. c >l ll<c【分析】利用判别式的意义得到L1=(-2) 2-4c<O , 然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得L1=(-2) 2-4c<O ,解得c >l.故答案为：c>l .【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程a x 2+b x+c =O (ai-0)的根与L1=b 2-4ac 有如下关系：当L1>0时，方程有两个不相等的实数根；当L1=0时，方程有两个相等的实数根；当L1<0时，方程无实数根．17. 510 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点P(2,n)代入y =—求值，即可解X题．【详解】解：10 10 点P(2,n)在反比例函数y =—的图象上，X :. n =—=5, 2故答案为：5.1 18. —/0.5 2【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明DACQc.nD.BDO, 根据相似三角形周长之比等千相似比，即可解题．【详解】解：AC II BD, :. ACCJ_n BDO ,. AC OA +OC +AC 1 ＝＝－ ．． BD O B +OD +BD 2' 故答案为：—2·19. 120【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用1000乘以12%即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有1000x12%= 120人，故答案为：120.20. 2【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幕，负整指数幕，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．【详解】解：70 +尸）+ _ _!_ -(匐-sin30,6 21 1=1+6+——5——=2.2 221. 见解析，【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用"S AS"证明6.ABC竺6.AED,即可解决问题．【详解】证明:LBAE=八CAD,:. LBAE+LEAC=乙CAD+LEAC,即LBAC=LEAD,在A BC和6AED中，』�!;:�乙EAD,AC=A D:. A BC竺AED(S AS).22. D型车的平均速度为l OOkm/h【分析】本题考查分式方程的应用，设D型车的平均速度为xkm/h,则C型车的平均速度是3xkm/h,根据＇乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．【详解】解：设D型车的平均速度为xkm/h,则C型车的平均速度是3xkm/h,根据题意可俨300 300如——-——=2,X 3x整理得，6x=600,解得x=lOO,经检验x=lOO是该方程的解，答：D型车的平均速度为lOOkm/h.23. (1)见解析2-3 ）2 （ 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在千根据题意列表或画树状图．(1)根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题；(2)根据概率＝所求情况数与总情况数之比．山表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种，再由概率公式求解即可．【详解】(1)解：由题意可列表如下：ab a (a,a )(b ,a ) b (a ,b) (b ,b ) C(a,c) (b ,c) 由表格可知，(x ,y)所有可能出现的结果总数为以上6种；(2)解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种，:. p (七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）＝—＝—.4 2 6 324. (1)见解析(2)吓【分析】(1)连接BD ,AC, 证明四边形AB CD 是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到G FI I BD , HG /I AC, 利用矩形的性质得到BD ..l AC,即可证明四边形A BCD 是菱形；11 (2)利用三角形中位线定理和菱形性质得到—BD+—AC=O A +O B=ll ,利用lx 面积公式2 2 得到20A-O B=10,再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到A B .【详解】(1)解：连接BD,AC,HBA B I I CD, A D I I B C, F．．．四边形A B CD是平行四边形，四边形AB CD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，:.GF I I BD, HG/I AC,四边形EF GH是矩形，:.HG上GF,:. BD上AC,．．．四边形A B CD是菱形；(2)解：四边形A B CD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，1 1:.GF=EH=—BD, HG=EF=-AC,2 2矩形EFGH的周长为22,:. BD+AC=22,四边形A B CD是菱形，1 1即-BD+-AC=OA+OB=l l,2 2四边形A B CD的面积为10,1:. —BD-AC=lO, 即20A-OB=l0,2(OA+OB)2 = OA2 +20A-OB+OB2 =121,:. OA2 + OB2 = 121—10=111,:. AB=✓O矿+OB2=吓·【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．25. (l)t�40b=50(2)564【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．(1)根据＇购买8个A 种型号吉祥物和7个B 种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A 种型号吉祥物和5个B 种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题；4 (2)根据“且购买A 种型号吉祥物的数量X (单位：个）不少千B 种型号吉祥物数量的—,3360 又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．“建立不等式求解，得到—-:<:::;x :<:::;60,再根据总利润=A 种型号吉祥物利润+B 种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到Y的最大值．【详解】(I )解：由题知，｛8a +7b =670 4a +5b =410a =40 解得{b �so'(2)解：购买A 种型号吉祥物的数量X 个，则购买B 种型号吉祥物的数量(90-x)个，4 且购买A 种型号吉祥物的数量X(单位：个）不少千B 种型号吉祥物数量的－，34 .'. X 2—(90-x), 3解得X 2360 7 A 种型号吉祥物的数量又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．.'. X :s; 2(90—x ),解得x �60,即360 �x �60,由题知，y =(40-35)x+(50-42)(90-x ),整理得y =—3x +720,Y随X 的增大而减小，．＇．当x =52时，Y的最大值为y =—3x52+720 = 564.26. (l )b =-33+汇而(2)当M=时，M>; 当M=3—而2 2 2时，b【分析】(1)由对称轴为直线x=-—直接求解；2a M<而3+而扣(2)当M=时，M>当M=3-扣扣—；时，M<—·2 2 2 23 【详解】(1)解：？抛物线y= x2 +b x-l的对称轴是直线x=—,2． .. b 32x l 2:. b=-3;，(2)解：·:m是抛物线y= x2 +bx-l与X轴交点的横坐标，• 2..m -3m-I=O,• 2..m—I=3m,• 4 2 2• • m -2m +I=9m ,• 4 2• • m =l lm -I,而矿=3m+l代入得：m4 =11(3m+l)-1=2=33m+10,：．戒=m-m4 = (33m+ I O)m=33m2 + lOm= 33(3m+ 1)+ lOm= 109m+33, :. M = 旷-33109m+33-33= =m,109 109·: m2-3m-1= 0,解得：m=3士J百2'当M=m=3+扣2时，:. M > ；2当M=m=3-而2时，:. M < 扣2M-=而3+而扣3-=—>0M-2 2 2 2扣3-扣扣3-2而= -= <0,2 2 2 2【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对旷进行降次处理．27. (1)90°(2)见解析(3)CE+EB=CB, 理由见解析【分析】(1)直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果；(2)证明A BM(/)AMN, 得到4从N=L ll从B,根据平角的定义，得到LMAN = L MAB = 90°, 即可得证；(3)连接O A,O D,BD,连接oc交A D千点G,易得O D, 圆周角定理得到LA DB=90°,推出O G II BD, 进而得到LAOC=LABD,根据三角函数推出LH B E=LABC,得到B,E,C 三点共线，即可得出结果．【详解】(1)解：·:AB是0的直径，点F是0上异千A、B的点，:. 虚B=90°;(2)证明：·;A M·BM=A B·MN,. AM M N．．A B B M又？乙AMN=乙A B M,:. AB M(/) AMN,:. 乙A M B=乙N,LMAN=L.A, 衄·.·LMAN+LMAB=l80°,.·.LMAN = L MA B = 90°,:.O A.l_C A,·: O A是半径，:．直线C M与0相切；(3)我认为：CE+EB=C B正确，理由如下：连接O A,O D,BD,连接oc交A D千点G,如图，则：OA=O D,:. 点0在线段AD的中垂线上，·: CA= CD,:．点C在线段AD的中垂线上，:. OC .l_AD,:. LOG A=90°,·: AB是0的直径，.·. LADB=90°,：．乙OGA=乙ADB,:. OG II BD,:. 乙AOC=组v,• : 乙AHD=90°,:. 乙DHB=90°,DH EH: .tan乙HBD=, tan乙HBE=BH BH'·: E为DH的中点，EH I DH I: .tan乙HBE=—=—·—=—tan乙HBD,BH 2 BH 2AC AC I·; tan乙AOC=—,tan乙ABC=—且AO=—AB,AO AB' 2I AC I:. tan乙ABC=—·—=—tan LAOC，2 OA 2• : 乙AOC=缰V,: • tan乙HBE=tan乙ABC,：．乙HBE=乙ABC,:. B,E,C三点共线，:. C E+E B=C B.【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．。
2024届云南省昆明市西山区重点达标名校中考数学考前最后一卷含解析
2024届云南省昆明市西山区重点达标名校中考数学考前最后一卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象，则关于x的不等式kx+b＞2x的解集为A．x＞1 B．﹣2＜x＜1C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣22．如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）A．4B．23C．12D．433．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（）A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE4．1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）A．810 年B．1620 年C．3240 年D．4860 年5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确7．将不等式组2(23)3532x x x x -≤-⎧⎨+⎩＞的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( ) A ． B ． C ． D ．8．已知3x +y ＝6，则xy 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=3：2，则△ABD 与△ACD 的面积之比为（ ）A ．3：2B ．9：4C ．2：3D ．4：9 10．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AD ，AC ，BD ，则DAB ∠与C ∠的数量关系为（ ）A ．DABC ∠=∠B ．2DABC ∠=∠ C ．90DAB C ∠+∠=︒D ．180DAB C ∠+∠=︒11．天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为( )A ．4200.5x +-420x=20 B ．420x -4200.5x +=20 C ．4200.5x --420x =20 D ．420420200.5x x -=- 12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 和CE 是高，∠ACE=45°，点F 是AC 的中点，AD 与FE ，CE 分别交于点G 、H ，∠BCE=∠CAD ，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE ≌△CBE ；③2AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的个数有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是___________（写出一个即可）．14．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．15．圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积等于_____cm1．16．如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．17．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是．18．若关于x的分式方程2233x mx x-=--有增根，则m的值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=1．求抛物线的函数表达式．当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．20．（6分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：调查了________名学生；补全条形统计图；在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学(,,)A B C 和2位女同学(,)D E ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.21．（6分）如图，在三角形ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）求tan ∠E 的值．22．（8分）已知关于x ，y 的二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，求a 、b 的值． 23．（8分）在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，E 为边AC 上一点，连接BE ．(1)如图1，若∠ABE=15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO=1，求BC 的长；(2)如图2，D 为AB 上一点，且满足AE=AD ，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ，过点F 作FG ⊥CD 交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M ，求证：BG=AF+FG ．24．（10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OA ，OC 上.(1)给出以下条件；①OB ＝OD ，②∠1＝∠2，③OE ＝OF ，请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO ；(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（10分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数ayx=的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，连接OA，且OA＝OB．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）过点P（k，0）作平行于y轴的直线，交一次函数y＝2x＋n于点M，交反比例函数ayx=的图象于点N，若NM＝NP，求n的值．26．（12分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？27．（12分）问题情境：课堂上，同学们研究几何变量之间的函数关系问题：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=1．点P是AC上的一个动点，过点P作MN⊥AC，垂足为点P（点M在边AD、DC上，点N在边AB、BC上）．设AP的长为x（0≤x≤4），△AMN的面积为y．建立模型：（1）y与x的函数关系式为：_(02)_(24)xyx--≤≤⎧=⎨--<≤⎩，解决问题：（1）为进一步研究y随x变化的规律，小明想画出此函数的图象．请你补充列表，并在如图的坐标系中画出此函数的图象：x 0 121321523724y 0 189815878（3）观察所画的图象，写出该函数的两条性质：．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答．【题目详解】观察图象，两函数图象的交点坐标为（1，2），（-2，-1），kx+b＞2x的解就是一次函数y=kx+b图象在反比例函数y=2x的图象的上方的时候x的取值范围，由图象可得：-2＜x＜0或x＞1，故选C．【题目点拨】本题考查的是反比例涵数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系．一般这种类型的题不要计算反比计算表达式，解不等式，直接从从图象上直接解答．2、D【解题分析】分析：由图1、图2结合题意可知，当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=3，这样如图3，过点P作PD⊥AB 于点P，连接AD，结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.详解：由题意可知：当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=3，如图3，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，∵△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，∴∠ABC=60°，AD⊥BC，∵DP⊥AB于点P，此时DP=3，∴BD=332 sin602PD=÷=，∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin∠B=4×sin60°=23，∴S△ABC=12AD·BC=1234432⨯⨯=.故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短3是解答本题的关键.3、C【解题分析】利用旋转的性质得BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB，∠BAD=60°，则根据平行线的性质可判断AD∥BC，从而得到∠DAC=∠C，于是可判断∠DAC=∠E，接着利用AD=AB，BE=BC可判断AD+BC=AE，利用∠CBE=60°，由于∠E的度数不确定，所以不能判定BC⊥DE．【题目详解】∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，∴△ABD为等边三角形，∴AD=AB，∠BAD=60°，∵∠BAD=∠EBC，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∴∠DAC=∠E，∵AE=AB+BE，而AD=AB，BE=BC，∴AD+BC=AE，∵∠CBE=60°，∴只有当∠E=30°时，BC⊥DE．故选C．【题目点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．4、B【解题分析】根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案．【题目详解】由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，故镭的半衰期为1620年，故选B．【题目点拨】本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键．5、C【解题分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【题目详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【题目点拨】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.6、A【解题分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【题目详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【题目点拨】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．【解题分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．解：不等式可化为：11x x ≤⎧⎨>-⎩，即11x -<≤． ∴在数轴上可表示为．故选B ． “点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8、B【解题分析】根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x 2+6x ，利用配方法求该式的最值．【题目详解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x 2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy 的最大值为1．故选B ．【题目点拨】考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy 的最大值．9、A【解题分析】试题解析：过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .∵AD 为∠BAC 的平分线，∴DE =DF ，又AB :AC =3:2， 11:():():3:222ABD ACD S S AB DE AC DF AB AC ∴=⋅⋅==，点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.10、C【解题分析】首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.【题目详解】解：∵AB是O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.∵∠B=∠C，∴∠DAB+∠C=90°.故选C.【题目点拨】本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.11、C【解题分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1．【题目详解】原价买可买420x瓶，经过还价，可买4200.5x-瓶．方程可表示为：4200.5x-﹣420x=1．故选C．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程．列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化．12、C【解题分析】①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；②根据ASA证明即可，结论正确；③利用面积法证明即可，结论正确；④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.【题目详解】∵CE ⊥AB ，∠ACE=45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∵AF=CF ，∴EF=AF=CF ，∴△AEF ，△EFC 都是等腰直角三角形，∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC ，∴∠EAH=∠BCE ，∵AE=EC ，∠AEH=∠CEB=90°，∴△AHE ≌△CBE ，故②正确，∵S △ABC =12BC•AD=12AB•CE ，AE ，AE=CE ，∴CE 2，故③正确，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ，∴S △ABC =2S △ADC ，∵AF=FC ，∴S △ADC =2S △ADF ，∴S △ABC =4S △ADF ．故选C ．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、AB=AD （答案不唯一）.【解题分析】已知OA=OC ，OB=OD ，可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．所以添加条件AB=AD 或BC=CD 或AC ⊥BD ，本题答案不唯一，符合条件即可.14、45. 【解题分析】试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为4 5 .【题目点拨】本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.15、10π【解题分析】解：根据圆锥的侧面积公式可得这个圆锥的侧面积=12•1π•4•5=10π（cm1）．故答案为：10π【题目点拨】本题考查圆锥的计算．16、1:4【解题分析】∵两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4，∴这两个相似三角形的相似比是1：4∵相似三角形的周长比等于相似比，∴它们的周长比1：4，故答案为：1：4.【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比. 17、．【解题分析】试题分析：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．故答案为．考点：列表法与树状图法．18、±3【解题分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【题目详解】方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m 2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得．【题目点拨】解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）21542y x x =-+；（2）当t=1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；（3）抛物线向右平移的距离是1个单位．【解题分析】（1）由点E 的坐标设抛物线的交点式，再把点D 的坐标（2，1）代入计算可得；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t ，据此知AB=10-2t ，再由x=t 时AD=21542t t -+，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由t=2得出点A 、B 、C 、D 及对角线交点P 的坐标，由直线GH 平分矩形的面积知直线GH 必过点P ，根据AB ∥CD知线段OD 平移后得到的线段是GH ，由线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P 知PQ 是△OBD 中位线，据此可得．【题目详解】（1）设抛物线解析式为()10y ax x =-，当2t =时，4AD =， ∴点D 的坐标为()2,4，∴将点D 坐标代入解析式得164a -=， 解得：14a =-，抛物线的函数表达式为21542y x x =-+； （2）由抛物线的对称性得BE OA t ==，102AB t ∴=-，当x t =时，21542AD t t =-+， ∴矩形ABCD 的周长()2AB AD =+()215210242t t t ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 21202t t =-++， ()2141122t =--+， 102-<， ∴当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412； （3）如图，当2t =时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为()2,0、()8,0、()8,4、()2,4，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为()5,2，直线GH 平分矩形的面积，∴点P 是GH 和BD 的中点，DP PB ∴=，由平移知，//PQ OBPQ ∴是ODB ∆的中位线，142PQ OB ∴==， 所以抛物线向右平移的距离是1个单位．【题目点拨】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．20、50 见解析（3）115.2° (4)3 5【解题分析】试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整; （3）根据圆心角的度数=360 º×它所占的百分比计算;（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）故答案为50；（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，故答案为115.2°；（4）画树状图如图．由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）==．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.21、（1）证明见解析；（2）tan∠CBG=7 24．【解题分析】（1）连接OD，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．【题目详解】解：（1）证明：连接OD，CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC；（2）解：如图，连接BG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，∵S△ABC=11··22AB CD AC BG=，即6×4=5BG，∴BG=245，由勾股定理得：75 =，∴tan ∠CBG=tan ∠E=77524245CG BG ==.【题目点拨】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG 的长是解决本题的难点．22、12a b =-⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩ 【解题分析】把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩得到关于a ，b 的方程组，经过整理，得到关于b 的一元二次方程，解之即可得到b 的值，把b 的值代入一个关于a ，b 的二元一次方程，求出a 的值，即可得到答案．【题目详解】把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩得： 2213a b a b ab ①②-=⎧⎨+=+⎩， 由①得：a=1+b ，把a=1+b 代入②，整理得：b 2+b-2=0，解得：b= -2或b=1，把b= -2代入①得：a+2=1，解得：a= -1，把b=1代入①得：a-1=1，解得：a=2，即12ab=-⎧⎨=-⎩或21ab=⎧⎨=⎩．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键．23、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【题目详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；（2）根据△BEO≌△DFO可得EO＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．试题解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中12BO DOEOB FOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO＝FO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形．点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．25、20（1）y＝2x－5, y=12x；（2）n＝－4或n＝1【解题分析】（1）由点A坐标知OA=OB=5，可得点B的坐标，由A点坐标可得反比例函数解析式，由A、B两点坐标可得直线AB的解析式；（2）由k=2知N（2，6），根据NP=NM得点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得答案．【题目详解】解：（1）∵点A的坐标为（4，3），∴OA=5，∵OA=OB，∴OB=5，∵点B在y轴的负半轴上，∴点B的坐标为（0，-5），将点A（4，3）代入反比例函数解析式y=ax中，∴反比例函数解析式为y=12x，将点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，得：k=2、b=-5，∴一次函数解析式为y=2x-5；（2）由（1）知k=2，则点N的坐标为（2，6），∵NP=NM，∴点M坐标为（2，0）或（2，12），分别代入y=2x-n可得：n=-4或n=1．【题目点拨】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想的运用．26、（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．【解题分析】试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；当x＞100时，y 2=（50﹣1005x -）x ﹣1100 =﹣15x 2+70x ﹣1100 =﹣15（x ﹣175）2+5025， 当x=175时，y 2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．考点：二次函数的应用．27、 (1) ①y=212x ;②221(02)212(24)2x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩;(1)见解析；（3）见解析 【解题分析】（1）根据线段相似的关系得出函数关系式（1）代入①中函数表达式即可填表（3）画图像，分析即可.【题目详解】（1）设AP=x①当0≤x≤1时∵MN ∥BD∴△APM ∽△AOD ∴AP AO 2PM DO== ∴MP=12x ∵AC 垂直平分MN∴PN=PM=12x ∴MN=x∴y=12AP•MN=212x ②当1＜x≤4时，P 在线段OC 上，∴CP=4﹣x∴△CPM ∽△COD ∴CP CO 2PII DO==∴PM=1(4)2x - ∴MN=1PM=4﹣x∴y=11AP MN x(4x)22⋅=-=﹣2122x x + ∴y=221(02)212(24)2x x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩ （1）由（1）当x=1时，y=12当x=1时，y=1 当x=3时，y=32（3）根据（1）画出函数图象示意图可知 1、当0≤x≤1时，y 随x 的增大而增大 1、当1＜x≤4时，y 随x 的增大而减小【题目点拨】本题考查函数，解题的关键是数形结合思想.。
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．5．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．7．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．8．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．14．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．15． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．16．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积．17．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．18．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝3．（1）求弦AC的长；（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜103），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE⊥于点F，过点C作CN DF⊥于点N，延长CN交AD于点M．（1）求证：AM MD=（2）连接CF，并延长CF交AB于G①若2AB=，求CF的长度；②探究当ABAD为何值时，点G恰好为AB的中点．20．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．21．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE＝45，求y的值．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝ ．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．F解析：（1）∠FAB=90°；（2）22d h =；（3）直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【解析】【分析】（1）通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标，可知AOB 是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒；（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt △CRP 中，利用sin ∠CPR 22CR CP ==，推出2CP CR =，继而得出22BQ CR =，得出答案； （3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ，证明△AHC ≌△CEP ，设AH CE n ==，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G ，从而有EG=EA=n+4，在Rt △AHE 中，通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6，从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ，再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4，求交点即可．【详解】解：（1）如下图，y = -x + m ，当x=0时，y=m∴A （0，m ），OA=m当y=0时，0=-x+m ，x=m ，∴B （m ，0），OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°（2）如下图 ，∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ，12AC QB =， ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP ）=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ，∴∠CRP=90°，在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =， ∴22BQ CR =即22d h =（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ，∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2，AH=CE ，∴GH=CH=2，AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-（90°-β）-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中，AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-（舍）∴AH=OE=6，EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8，∴A （0，8）∴OA=OF=8 ， ∴F （-8，0）∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°，∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ，SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2∴S(2，2)∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ，y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．2．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）6215t -= 【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22xy=-⎧⎨=⎩，∴()2,2E-，易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，∴AN=DM ，HN=GM，∴AH DG=，由直线CE的解析式112y x=-+，可求点D（0，1）∴DG=1—t，∴1d t=-+；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，由（2）问可知1tAH GD==-，则6tHC=-∴6tBG MT==-，∴MN MT=，∵90KNM LTM∠=∠=︒，∴ENH≌EMG，∴LNKM∠=∠，设KMNα∠=，则KMB KMNα∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得t =（不合题意舍去）或t =故，65t -=． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1，∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+，∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM =，3OD =， ∴tan ∠DMO=2， 如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ）， 解得：1112018m -=，或2112018m +=（不合题意，舍去）， ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．D解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中：()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．5．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+，16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．6．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力． 7．A解析：（1）详见解析；（2）2448x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====， 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴)24804x x y x x-+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴2421482x xxPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．B解析：（1）12；（2）3）【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，4AB =222232BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-， 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．A。
云南省昆明市西山区重点达标名校2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析
云南省昆明市西山区重点达标名校2024年中考考前最后一卷数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知直线y=ax+b(a≠0)经过第一，二，四象限，那么直线y=bx-a 一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B ．x≥0 C ．x≠0 D ．x≥0且x≠13．将抛物线y ＝x 2﹣x +1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2+3x +6 B ．y ＝x 2+3x C ．y ＝x 2﹣5x +10 D ．y ＝x 2﹣5x +44．化简16的结果是（ ）A ．±4B ．4C ．2D ．±25．如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC ，交 AD 于点 E ，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2-4πB ．324π-C ．2-8πD ．324π- 6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．﹣2b a=1 C ．a+b+c ＜0D ．关于x 的方程ax 2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根7．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．1m C ．1m D ．1m < 8．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB=30°，⊙O 的半径为6，则AB 的长等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （2，0），B （0，2），⊙C 的圆心为点C （﹣1，0），半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．10．下列说法中，正确的是（ ）A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为12C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______．12．如图是一本折扇，其中平面图是一个扇形，扇面ABDC 的宽度AC 是管柄长OA 的一半，已知OA=30cm ，∠AOB=120°，则扇面ABDC 的周长为_____cm13．若式子x1x有意义，则x的取值范围是．14．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)．15．如图，函数y=kx（x<0）的图像与直线y=-33x交于A点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°，交函数y=kx（x<0）的图像于B点，得到线段OB，若线段AB=32-6，则k= _______________________.16．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于__________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．(1)求证：OP=OQ；(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．18．（8分）如图， 二次函数23y ax bx =++的图象与 x 轴交于()30A -,和()10B ,两点，与 y 轴交于点 C ，一次函数的图象过点 A 、C ．（1）求二次函数的表达式（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．19．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次统计共抽查了_____名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是____°；(2)将条形统计图补充完整；(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ 进行沟通的学生有多少名？(4)甲、乙两名同学从微信，QQ ，电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．20．（8分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k 为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a ），B （3，b ）两点．求反比例函数的表达式在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标求△PAB 的面积．21．（8分）近年来，新能源汽车以其舒适环保、节能经济的优势受到热捧，随之而来的就是新能汽车销量的急速增加，当前市场上新能漂汽车从动力上分纯电动和混合动力两种，从用途上又分为乘用式和商用式两种，据中国汽车工业协会提供的信息，2017年全年新能源乘用车的累计销量为57.9万辆，其中，纯电动乘用车销量为46.8万辆，混合动力乘用车销量为11.1万辆； 2017年全年新能源商用车的累计销量为19.8万辆，其中，纯电动商用车销量为18.4万辆，混合动力商用车销量为1.4万辆，请根据以上材料解答下列问题：（1）请用统计表表示我国2017年新能源汽车各类车型销量情况；（2）小颖根据上述信息，计算出2017年我国新能源各类车型总销量为77.7万辆，并绘制了“2017年我国新能源汽车四类车型销量比例”的扇形统计图，如图1，请你将该图补充完整（其中的百分数精确到0.1%）；（3）2017年我国新能源乘用车销量最高的十个城市排名情况如图2，请根据图2中信息写出这些城市新能源乘用车销售情况的特点（写出一条即可）；（4）数据显示，2018年1～3月的新能源乘用车总销量排行榜上位居前四的厂家是比亚迪、北汽、上汽、江准，参加社会实践的大学生小王想对其中两个厂家进行深入调研，他将四个完全相同的乒乓球进行编号（用“1，2，3，4”依次对应上述四个厂家），并将乒乓球放入不透明的袋子中搅匀，从中一次拿出两个乒乓球，根据乒乓球上的编号决定要调研的厂家．求小王恰好调研“比亚迪”和“江淮”这两个厂家的概率．22．（10分）在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .求证.DF AB =若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .23．（12分）在等边△ABC 外侧作直线AM ，点C 关于AM 的对称点为D ，连接BD 交AM 于点E ，连接CE ，CD ，AD .（1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数；（2）如图2，当∠MAC＝30°时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明；（3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数.24．如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和BD相交于P 点．如图（2）①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】根据直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，可以判断a、b的正负，从而可以判断直线y=bx-a经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．【题目详解】∵直线y=ax+b（a≠0）经过第一，二，四象限，∴a＜0，b＞0，∴直线y=bx-a经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D．【题目点拨】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．2、D【解题分析】试题分析：∵代数式11xx+-有意义，∴10 {xx-≠≥，解得x≥0且x≠1．故选D．考点：二次根式，分式有意义的条件．3、A【解题分析】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.【题目详解】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．【题目点拨】本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；4、B【解题分析】根据算术平方根的意义求解即可．【题目详解】16=4，故选：B ．【题目点拨】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，正数a 有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.5、B【解题分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE ，BE 的长以及∠EBF 的度数，进而利用图中阴影部分的面积=S ABCD 矩形-S ABE -S EBF 扇形，求出答案．【题目详解】∵矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBF=45°,AD ∥BC ，∴∠AEB=∠CBE=45°，∴ ，∵点E 是AD 的中点，∴AE=ED=1，∴图中阴影部分的面积=S ABCD 矩形 −S ABE −S EBF 扇形 =1×2−123-24π 故选B.【题目点拨】此题考查矩形的性质，扇形面积的计算，解题关键在于掌握运算公式6、D【解题分析】试题分析：根据图像可得：a ＜0，b ＞0，c ＜0，则A 错误；12b a->，则B 错误；当x=1时，y=0，即a+b+c=0，则C 错误；当y=－1时有两个交点，即2ax bx c 1++=-有两个不相等的实数根，则正确，故选D ．7、D【解题分析】由抛物线与x 轴有两个交点可得出△=b 2-4ac ＞0，进而可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【题目详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×m ＞0，即4-4m ＞0，解得：m＜1．故选D．【题目点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．8、B【解题分析】根据圆周角得出∠AOB＝60°，进而利用弧长公式解答即可．【题目详解】解：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴AB的长＝606180π⨯＝2π，故选B．【题目点拨】此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB＝60°．9、C【解题分析】当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，连接CD，则∠CDA=90°，∵A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，∴CD=1，AC=2+1=3，∴AD==2，∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，∴△AOE∽△ADC，∴即，∴OE=，∴BE=OB+OE=2+∴S△ABE=BE?OA=×（2+）×2=2+故答案为Ｃ．10、A【解题分析】试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A 正确；随机事件发生的概率为在0到1之间，故B 错误；概率很小的事件也可能发生，故C 错误；投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D 错误；故选A ．考点：随机事件．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、y=x ﹣1 (答案不唯一)【解题分析】一次函数图象经过第一、三、四象限，则可知y=kx+b 中k>0，b<0，由此可得如：y=x ﹣1(答案不唯一). 12、1π+1．【解题分析】分析：根据题意求出OC ，根据弧长公式分别求出AB 、CD 的弧长，根据扇形周长公式计算． 详解：由题意得，OC=AC=12OA=15，AB 的长=12038001π⨯=20π，CD 的长=12015180π⨯=10π，∴扇面ABDC 的周长=20π+10π+15+15=1π+1（cm ），故答案为1π+1．点睛：本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式: 180n rL π=是解题的关键．13、x 1≥-且x 0≠【解题分析】∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0.故答案为x≥-1且x≠0.14、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2【解题分析】完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.【题目详解】解：,a b 从整体来看，大正方形的边长是+()2,a b ∴+大正方形的面积为 2从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上个矩形的面积和,222a ab b 该图形面积为，∴++ ,同一图形()2222.a b a ab b ∴+=++()2222.a b a ab b +=++故答案是【题目点拨】此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.15、【解题分析】作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AE ⊥BD 于E 点，设A 点坐标为（3a ，），则OC=-3a ，，利用勾股定理计算出a ，得到∠AOC=30°，再根据旋转的性质得到OA=OB ，∠BOD=60°，易证得Rt △OAC ≌Rt △BOD ，，BD=OC=-3a ，于是有a ，，即AE=BE ，则△ABE 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到（a ），求出a=1，确定A 点坐标为（3，，然后把A （3，y=k x即可得到k 的值． 【题目详解】作AC ⊥x 轴与C ，BD ⊥x 轴于D ，AE ⊥BD 于E 点，如图，点A在直线3上，可设A点坐标为（3a，3），在Rt△OAC中，OC=-3a，3，∴22AC OC3，∴∠AOC=30°，∵直线OA绕O点顺时针旋转30°得到OB，∴OA=OB，∠BOD=60°，∴∠OBD=30°，∴Rt△OAC≌Rt△BOD，∴3，BD=OC=-3a，∵四边形ACDE为矩形，∴3，3，∴AE=BE，∴△ABE为等腰直角三角形，∴2AE，即262（3），解得a=1，∴A点坐标为（3，3，而点A在函数y=kx的图象上，∴k=3×（33故答案为3【题目点拨】本题是反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用勾股定理、旋转的性质以及等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算．16、224πcm 【解题分析】解：它的侧面展开图的面积=12•1π•4×6=14π（cm1）．故答案为14πcm1．点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；（2）根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．试题解析：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠PDO=∠QBO，又因为O为BD的中点，所以OB=OD，在△POD与△QOB中，∠PDO=∠QBO，OB=OD，∠POD=∠QOB，所以△POD≌△QOB，所以OP=OQ．（2）解：PD=8-t，因为四边形PBQD是菱形，所以PD=BP=8-t，因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：，即，解得：t=， 即运动时间为秒时，四边形PBQD 是菱形．考点：矩形的性质；菱形的性质；全等三角形的判断和性质勾股定理．18、（1）223y x x =--+；（2）30x -<<．【解题分析】 （1）将()30A -,和()10B ,两点代入函数解析式即可； （2）结合二次函数图象即可．【题目详解】解：(1)∵二次函数23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点， 933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴二次函数的表达式为223y x x =--+．(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围是30x -<<．【题目点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．19、 (1)120，54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)13. 【解题分析】(1)用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360°乘以样本中电话人数所占比例；(2)先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ 进行沟通的学生所占的百分比即可；(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：(1)这次统计共抽查学生24÷20%＝120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360°×18120＝54°， 故答案为120、54；(2)喜欢使用短信的人数为120﹣18﹣24﹣66﹣2＝10(人)，条形统计图为：(3)1200×66120＝660，所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名；(4)画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率13．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．20、（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0），(3)S△PAB= 1.1．【解题分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=kx，得k=3，∴反比例函数的表达式y=3x，（2）把B（3，b）代入y=3x得，b=1∴点B坐标（3，1）；作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，331m nm n+=⎧⎨+=-⎩，解得m=﹣2，n=1，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，令y=0，得x=52，∴点P坐标（52，0），(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=12×2×2﹣12×2×12=2﹣12=1.1．点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫. 21、（1）统计表见解析；（2）补全图形见解析；（3）总销量越高，其个人购买量越大；（4）1 6 .【解题分析】（1）认真读题，找到题目中的相关信息量，列表统计即可；（2）分别求出“混动乘用”和“纯电动商用”的圆心角的度数，然后补扇形图即可；（3）根据图表信息写出一个符合条件的信息即可；（4）利用树状图确定求解概率.【题目详解】（1）统计表如下：2017年新能源汽车各类型车型销量情况（单位：万辆）类型纯电动混合动力总计新能源乘用车46.8 11.1 57.9新能源商用车18.4 1.4 19.8 （2）混动乘用：×100%≈14.3%，14.3%×360°≈51.5°，纯电动商用：×100%≈23.7%，23.7%×360°≈85.3°，补全图形如下：（3）总销量越高，其个人购买量越大．（4）画树状图如下：∵一共有12种等可能的情况数，其中抽中1、4的情况有2种，∴小王恰好调研“比亚迪”和“江淮”这两个厂家的概率为=．【题目点拨】此题主要考查了数据的分析，利用统计表和扇形统计图表示数据的关系，以及用列表法或树状图法求概率，难度一般，注意认真阅读题目信息是关键.22、（1）证明见解析；（2）1【解题分析】分析：（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=1．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．23、（1）补全图形如图1所示，见解析，∠BEC＝60°；（2）BE＝2DE，见解析；（3）∠MAC＝90°.【解题分析】（1）根据轴对称作出图形，先判断出∠ABD＝∠ADB＝y，再利用三角形的内角和得出x+y即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出四边形ABCD是菱形，进而得出∠CBD＝30°，进而得出∠BCD＝90°，即可得出结论；（3）先作出EF＝2BE，进而判断出EF＝CE，再判断出∠CBE＝90°，进而得出∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出结论.【题目详解】（1）补全图形如图1所示，根据轴对称得，AD＝AC，∠DAE＝∠CAE＝x，∠DEM＝∠CEM.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB＝y.在△ABD中，2x+2y+60°＝180°，∴x+y＝60°.∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°.∴∠BEC＝60°；（2）BE＝2DE，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，由对称知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，由（1）知，∠BEC＝60°，∴∠ECB＝90°.∴BE＝2CE.∵CE＝DE，∴BE＝2DE.（3）如图3，（本身点C，A，D在同一条直线上，为了说明∠CBD＝90°，画图时，没画在一条直线上）延长EB至F使BE＝BF，∴EF＝2BE，由轴对称得，DE＝CE，∵DE＝2BE，∴CE＝2BE，∴EF＝CE，连接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°，∴△CEF是等边三角形，∵BE＝BF，∴∠CBE＝90°，∴∠BCE＝30°，∴∠ACE＝30°，∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°，∴∠AEC＝60°，∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°.【题目点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，作出图形是解本题的关键.24、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；【解题分析】试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PA•PC=12，∴PB=2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．考点：相似形综合题。
2024届云南省昆明市重点达标名校中考考前最后一卷数学试卷含解析
2024届云南省昆明市重点达标名校中考考前最后一卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．等式组26058x x x +⎧⎨≤+⎩＞的解集在下列数轴上表示正确的是（ ）． A ．B ．C ．D ． 2．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ︒∠===,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转,使点C 落在线段AB 上的点E 处,点B落在点D 处，则,B D 两点间的距离为（ ）A ．10B ．22C ．3D ．53．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有n （n >1）个点.当n ＝2018时，这个图形总的点数S 为（ ）A ．8064B ．8067C ．8068D ．80724．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（ ）A ．280×103B ．28×104C ．2.8×105D ．0.28×1065．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α的余角等于（ ）A．19°B．38°C．42°D．52°6．估计112的值在（）A．0到l之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间7．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方图．根据图中信息，下列说法：①这栋居民楼共有居民140人②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多③有15的人每周使用手机支付的次数在35～42次④每周使用手机支付不超过21次的有15人其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．④9．一组数据是4，x，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（）A ．4B ．5C ．10D ．11 10．若分式14a -有意义，则a 的取值范围为( ) A ．a≠4 B ．a ＞4 C ．a ＜4 D ．a ＝4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC ＝_____．12．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）=_____．13．因式分解：9x ﹣x 2=_____．14．计算：21m m ++112m m++=______． 15．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是_____________．16．6-的相反数是_____，倒数是_____，绝对值是_____17．如图，将△AOB 以O 为位似中心，扩大得到△COD ，其中B （3，0），D （4，0），则△AOB 与△COD 的相似比为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）在□ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.求证：四边形BFDE 是矩形；若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．19．（5分）如图，己知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结.(1)求证：.(2)若，求的长.20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是AD上的一点，∠DBC=∠BED．求证：BC是⊙O的切线；已知AD=3，CD=2，求BC的长．21．（10分）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=kx交于点A、B，与x轴交于点C．（1）若A（﹣3，m）、B（1，n）．直接写出不等式﹣2x+b＞kx的解．（2）求sin∠OCB的值．（3）若CB﹣CA=5，求直线AB的解析式．22．（10分）29的910除以20与18的差，商是多少？23．（12分）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（﹣12，2），B（n，﹣1）．求直线与双曲线的解析式．点P 在x 轴上，如果S △ABP =3，求点P 的坐标．24．（14分）已知，抛物线2:23L y x bx =--（b 为常数）．（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含b 的代数式表示）；（2）若抛物线L 经过点()2,1M --且与k y x =图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L 的简图，并求k y x=的函数表达式；（3）如图2，规矩ABCD 的四条边分别平行于坐标轴，1AD =，若抛物线L 经过,A C 两点，且矩形ABCD 在其对称轴的左侧，则对角线AC 的最小值是 ．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后在数轴上表示出每个不等式的解集，对比即可得.【题目详解】26058xx x+>⎧⎨≤+⎩①②，解不等式①得，x>-3，解不等式②得，x≤2，在数轴上表示①、②的解集如图所示，故选B.【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.2、A【解题分析】先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；【题目详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△DBE中，223110+=故选A.【题目点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3、C【解题分析】分析：本题重点注意各个顶点同时在两条边上，计算点的个数时，不要把顶点重复计算了．详解：此题中要计算点的个数，可以类似周长的计算方法进行，但应注意各个顶点重复了一次．如当n=2时，共有S2=4×2﹣4=4；当n=3时，共有S3=4×3﹣4，…，依此类推，即S n=4n﹣4，当n=2018时，S2018=4×2018﹣4=1．故选C．点睛：本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．4、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】将280000用科学记数法表示为2.8×1．故选C．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5、D【解题分析】试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．考点：平行线的性质；余角和补角．6、B【解题分析】∵9<11<16,∴3114<<,∴11122<<故选B.7、D【解题分析】解：连接OD∵∠AOD=60°，∴ACD=30°.∵∠CEB是△ACE的外角，∴△CEB＝∠ACD+∠CAO=30°+45°=75°故选：D8、B【解题分析】根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.【题目详解】解：①这栋居民楼共有居民3＋10＋15＋22＋30＋25＋20＝125人，此结论错误；②每周使用手机支付次数为28～35次的人数最多，此结论正确；③每周使用手机支付的次数在35～42次所占比例为2511255，此结论正确；④每周使用手机支付不超过21次的有3＋10＋15＝28人，此结论错误；故选：B．【题目点拨】此题考查直方图的意义，解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据9、B【解题分析】试题分析：（4+x+3+30+33）÷3=7，解得：x=3，根据众数的定义可得这组数据的众数是3．考点：3．众数；3．算术平均数．10、A【解题分析】分式有意义时，分母a-4≠0【题目详解】依题意得：a−4≠0，解得a≠4.故选：A【题目点拨】此题考查分式有意义的条件，难度不大二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、132°【解题分析】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，∴∠BAC =360°－108°－120°=132°．故答案为132°．12、 (x-3)(x+1)；【解题分析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）.故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可.13、x （9﹣x ）【解题分析】试题解析：()299x x x x -=-． 故答案为()9x x -．点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.【解题分析】利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.【题目详解】解：原式=12112121m m m m m +++==++. 【题目点拨】本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键． 15、52或45或1【解题分析】如图所示：①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP 是等腰直角三角形，∴底边PE=2AE=52； ②当PE=AE=1时，∵BE=AB ﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB=22PE BE -=4，∴底边AP=22AB PB +=2284+=45；③当PA=PE 时，底边AE=1；综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或1； 故答案为52或45或1．166 ,6-6【解题分析】 ∵只有符号不同的两个数是互为相反数，∴6-6；∵乘积为1的两个数互为倒数，∴6-的倒数是6∵负数得绝对值是它的相反数，∴故答案为(1). (2). (3).17、3：1．【解题分析】∵△AOB与△COD关于点O成位似图形，∴△AOB∽△COD，则△AOB与△COD的相似比为OB：OD=3：1，故答案为3：1 (或34 )．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）见解析（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．19、（1）证明见解析；（2）【解题分析】（1）由题意推出再结合，可得△BHE～△BCO.（2）结合△BHE～△BCO ，推出带入数值即可.【题目详解】（1）证明：∵为圆的半径，是的中点，∴,,∵,∴，∴,∴,∵,∴,∴,又∵,∴∽．（2）∵∽，∴,∵，,∴得，解得，∴.【题目点拨】本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形.20、(1)证明见解析(2)BC=【解题分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则BC CDCA BC=，即可得出10．【题目详解】（1）∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC CDCA BC=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴10．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.21、（1）x＜﹣3或0＜x＜1；（225（3）y=﹣2x﹣5【解题分析】（1）不等式的解即为函数y=﹣2x+b的图象在函数y=kx上方的x的取值范围．可由图象直接得到．（2）用b表示出OC和OF的长度，求出CF的长，进而求出sin∠OCB．（3）求直线AB的解析式关键是求出b的值．【题目详解】解：（1）如图：由图象得：不等式﹣2x +b ＞k x的解是x ＜﹣3或0＜x ＜1； （2）设直线AB 和y 轴的交点为F ．当y =0时，x =2b ，即OC =﹣2b ； 当x =0时，y =b ，即OF =﹣b ，∴CF 2222()()2b OC OF b +=-+-5，∴sin ∠OCB =sin ∠OCF =5OF CF b =-525． （3）过A 作AD ⊥x 轴，过B 作BE ⊥x 轴，则AC =52AD =52A y ，BC =5522B BE y =-，∴AC ﹣BC =52（y A +y B ）=5-（x A +x B ）5b =﹣5，又﹣2x +b =k x ，所以﹣2x 2+bx ﹣k =0，∴2A B b x x +=，∴5-×52b +=﹣5，∴b =5-∴y =﹣2x ﹣5【题目点拨】 这道题主要考查反比例函数的图象与一次函数的交点问题，借助图象分析之间的关系，体现数形结合思想的重要性． 22、110【解题分析】 根据题意可用29乘910的积除以20与18的差，所得的商就是所求的数，列式解答即可． 【题目详解】 解：29×910÷（20﹣18）11112.55210=÷=⨯= 【题目点拨】考查有理数的混合运算，列出式子是解题的关键.23、（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣32，0）或（52，0）．【解题分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出122x-=，解之即可得出结论．【题目详解】（1）∵双曲线y=mx（m≠0）经过点A（﹣12，2），∴m=﹣1．∴双曲线的表达式为y=﹣1x．∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣1x上，∴点B的坐标为（1，﹣1）．∵直线y=kx+b经过点A（﹣12，2），B（1，﹣1），∴1k b=22k b=1⎧-+⎪⎨⎪+-⎩，解得k=2b=1-⎧⎨⎩∴直线的表达式为y=﹣2x+1；（2）当y=﹣2x+1=0时，x=12，∴点C（12，0）．设点P的坐标为（x，0），∵S△ABP=3，A（﹣12，2），B（1，﹣1），∴12×3|x﹣12|=3，即|x﹣12|=2，解得：x1=﹣32，x2=52．∴点P的坐标为（﹣32，0）或（52，0）．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S △ABP =3，得出122x -=． 24、（1）2,3b b --；（2）图象见解析，6y x =或9y x =-；（3）2 【解题分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线经过点M ，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式；（3）设出A 的坐标，表示出C,D 的坐标，得到CD 的长度，根据题意找到CD 的最小值，因为AD 的长度不变，所以当CD 最小时，对角线AC 最小，则答案可求．【题目详解】解：（1）()2222222323()3y x bx x bx b b x b b =--=-+--=--+， ∴抛物线的顶点的坐标为2(,3)b b --．故答案为：2(,3)b b --（2）将(2,1)M --代入抛物线的解析式得：4431b +-=-解得：12b =-， ∴抛物线的解析式为23y x x =+-．抛物线L 的大致图象如图所示：将3y =代入23y x x =+-得： 233x x +-=，解得：2x =或3x =-∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为(2,3)或()3,3-．将(2,3)代入k y x=得：6k =， 6y x∴=． 将()3,3-代入k y x=得：9k =-， 9y x=-∴． 综上所述，反比例函数的表达式为6y x =或9y x=-． （3）设点A 的坐标为()2,23x x bx --，则点D 的坐标为()21,23x x bx +--， C 的坐标为21,(22)2)2(x x b x b ++---．()2223(22)22221DC x bx x b x b x b ⎡⎤∴=---+---=-+-⎣⎦ DC ∴的长随x 的增大而减小．矩形ABCD 在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x b =，1x b ∴+≤1x b ∴≤-∴当1x b =-时，DC 的长有最小值，DC 的最小值2(1)211b b =--+-=． AD 的长度不变，∴当DC 最小时，AC 有最小值．AC ∴的最小值==．【题目点拨】本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键．。
2024年云南省中考数学试卷及答案
2024年云南省中考数学试卷及答案一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（）A．100米B．﹣100米C．200米D．﹣200米【分析】正和负具有相对性，向北运动用“+”表示，那么向南运动就用“﹣”表示，据此求解即可．【解答】解：∵向北运动100米记作+100米，∴向南运动100米可记作﹣100米，故选：B．2．（2分）某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A．5.78×104B．57.8×103C．578×102D．5780×10【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：57800用科学记数法可以表示为5.78×104，故选：A．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）下列计算正确的是（）A．x3+5x3＝6x4B．x6÷x3＝x5C．（a2）3＝a7D．（ab）3＝a3b3【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x3+5x3＝6x3，故A选项错误；B、x6÷x3＝x3，故B选项错误；C、（a2）3＝a6，故C选项错误；D、（ab）3＝a3b3，故D选项正确；故选：D．【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（）A．x≥0B．x≤0C．x＞0D．x＜0【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可求得答案．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x≥0，故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．5．（2分）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．长方体【分析】根据题中所给几何体的三视图进行求解即可．【解答】解：∵主视图、俯视图、左视图都是矩形，∴这个几何体是长方体．故选：D．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．6．（2分）一个七边形的内角和等于（）A．540°B．900°C．980°D．1080°【分析】根据n边形内角和公式为（n﹣2）×180°，可以计算出七边形内角和的度数．【解答】解：一个七边形的内角和为：（7﹣2）×180°＝5×180°＝900°，故选：B．【点评】本题考查多边形内角和，解答本题的关键是明确n边形内角和公式为（n﹣2）×180°．7．（2分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差s2如下表所示：甲乙丙丁9.99.58.28.5s20.090.650.16 2.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A．8．（2分）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（）A．B．2C．3D．【答案】C．9．（2分）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．80（1﹣x2）＝60B．80（1﹣x）2＝60C．80（1﹣x）＝60D．80（1﹣2x）＝60【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2分）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（）A．2xn B．（n﹣1）xn C．nxn+1D．（n+1）xn【分析】根据题目给出的式子的特点，可以发现第n的代数式的系数应该是n+1，而x的次数为n，然后即可写出第n个代数式．【解答】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，∴第n个代数式为（n+1）xn，故选：D．【点评】本题考查数字的变换类、单项式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出第n个代数式．11．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：A、B、C中，图形不是轴对称图形，不符合题意；D中，图形是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．12．（2分）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（）A．B．C．D．【分析】根据正切的定义即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tanA＝＝，故选：C．【点评】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．13．（2分）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝（）A．9°B．18°C．36°D．45°【分析】先连接AD，根据在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等证明∠ADC＝∠BDC，最后根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：连接AD，∵，∴∠ADC＝∠BDC＝，故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题关键是识别图形，利用圆周角定理找出角与角之间的关系．14．（2分）分解因式：a3﹣9a＝（）A．a（a﹣3）（a+3）B．a（a2+9）C．（a﹣3）（a+3）D．a2（a﹣9）【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3），故选：A．【点评】本题考查提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．15．（2分）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A．700π平方厘米B．900π平方厘米C．1200π平方厘米D．1600π平方厘米【分析】根据“圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2”得出结论即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×30×40＝1200π（平方厘米）．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16．（2分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为c＞1．【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，∴c＞1，故答案为：c＞1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．（2分）已知点P（2，n）在反比例函数y＝的图象上，则n＝5．【分析】把点P代入反比例函数解析式，即可求出n．【解答】解：将点P（2，n）代入y＝，∴，∴n＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点，只需要将点的坐标代入到函数解析中即可．18．（2分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝．【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值．【解答】解：∵AC∥BD．∴△AOC∽△BOD，∴＝，∵＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确相似三角形的相似比等于周长之比．19．（2分）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有120人．【分析】用总人数乘以喜欢跳绳的学生所占的百分比即可得出答案．【解答】解：根据题意得：1000×12%＝120（人），答：该校喜欢跳绳的学生大约有120人．故答案为：120．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共62分）20．（7分）计算：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°．【分析】先化简零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式、三角函数，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°＝1+6+﹣5﹣＝2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．21．（6分）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED．【分析】先根据题意得出∠BAC＝∠EAD，再由SAS定理即可得出结论．【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠EAD，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．22．（7分）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．【分析】设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝100，经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意．答：D型车的平均速度是100千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（6分）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y．（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；（2）根据概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意列表如下：a b ca（a，a）（a，b）（a，c）b（b，a）（b，b）（b，c）共有6种等可能的情况数；（2）∵共有6种等可能的情况数，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有4种，∴该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P＝＝．【点评】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC⊥BD，从而得出四边形ABCD是菱形；（2）根据矩形EFGH的周长和四边形ABCD的面积求出AC2+BD2＝444，从而得出AO2+BO2＝111，由此得出AB的长．【解答】（1）证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°，∵H、G分别是AD、DC的中点，∴HG∥AC，HG＝AC，∴∠HGF＝∠GNC，∴∠GNC＝90°，∵G，F分别是DC、BC的中点，∴GF∥BD，GF＝BD，∴∠GNC＝∠MOC＝90°，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵矩形EFGH的周长为22，∴HG+FG＝11，∴AC+BD＝22，∵，∴AC×BD＝20，∵（AC+BD）2＝AC2+2×AC×BD+BD2，∴AC2+BD2＝444，∴，∴AO2+BO2＝111，∴AB2＝AO2+BO2＝111，∴AB＝．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质等，掌握性质和判定方法是解题的关键．25．（8分）A 、B 两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A 、B 两种型号的吉祥物，有关信息见如表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A 型号35a B 型号42b若顾客在该超市购买8个A 种型号吉祥物和7个B 种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A 种型号吉祥物和5个B 种型号吉祥物，则一共需要410元．（1）求a 、b 的值；（2）若某公司计划从该超市购买A 、B 两种型号的吉祥物共90个，且购买A 种型号吉祥物的数量x （单位：个）不少于B 种型号吉祥物数量的，又不超过B 种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y 元，求y 的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．【分析】（1）根据题意列关于a 、b 的二元一次方程组并求解即可；（2）购买B 种型号吉祥物的数量为（90﹣x ）个，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集；根据“总利润＝每个A 种型号吉祥物的利润×购买A 种型号吉祥物的数量+每个B 种型号吉祥物的利润×购买B 种型号吉祥物的数量”写出y 关于x 的函数关系式，根据该关系式的增减性和x 的取值范围，求出y 的最大值即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴a的值是40，b的值是50．（2）购买B种型号吉祥物的数量为（90﹣x）个．根据题意，得，解得≤x≤60；y＝（40﹣35）x+（50﹣42）（90﹣x）＝﹣3x+720，∵﹣3＜0，∴y随x的减小而增大，∵≤x≤60且x为整数，∴当x＝52时，y的值最大，y最大＝﹣3×52+720＝564，∴y的最大值是564．【点评】本题考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键．26．（8分）已知抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝．设m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，记M＝．（1）求b的值；（2）比较M与的大小．【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝，可知﹣＝．然后即可求得b的值；（2）方法一：将（1）中b的值代入抛物线，求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后分类讨论M与的大小即可．方法二：根据m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，可以得到0＝m2﹣3m﹣1，然后即可得到m2＝3m+1，然后先化简m5，再计算M，最后计算M与的大小．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝．∴﹣＝．解得b＝﹣3；（2）由（1）知：b＝﹣3，∴抛物线y＝x2﹣3x﹣1，当y＝0时，0＝x2﹣3x﹣1，解得x＝，∵m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，∴m＝，方法一：直接计算化简，当m＝时，M＝＝＝，∴﹣＝＞0，即M＞；当m＝时，M＝＝＜0，∴M＜；由上可得，当m＝时，M＞；当m＝时，M＜．方法二：∵m是抛物线y＝x2﹣3x﹣1与x轴交点的横坐标，∴0＝m2﹣3m﹣1，∴m2＝3m+1，∴m5＝（m2）2•m＝（3m+1）2•m＝（9m2+6m+1）•m＝[9（3m+1）+6m+1]•m＝（27m+9+6m+1）•m＝（33m+10）•m＝33m2+10m＝33（3m+1）+10m＝99m+33+10m＝109m+33，∴M＝＝＝m，由0＝m2﹣3m﹣1，可得m＝，当m＝时，M﹣＝m﹣＝﹣＝＞0，此时M＞；当m＝时，M﹣＝m﹣＝﹣＝＜0，此时M＜．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、实数的大小，解答本题的关键是明确题意，求出b和m的值．27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点．（1）求∠AFB的度数；（2）求证：直线CM与⊙O相切；（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB ＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由．【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角的性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质得到∠NAM＝∠MAB＝90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可；（3）连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理得到CK为⊙O的切线，利用切线长定理得到DK＝BK，利用平行线的判定定理得到AC∥DH∥BK，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到GH＝GD，则点G是线段DH的中点，所以点G与点E重合，则结论可得．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°；（2）证明：∵AM•BM＝AB•MN，∴，∵∠AMN＝∠ABM，∴△AMN∽△ABM，∴∠NAM＝∠MAB．∵∠NAM+∠MAB＝180°，∴∠NAM＝∠MAB＝90°，∴OA⊥CM．∵OA为⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切；（3）解：正确的结论为：CE+EB＝CB，理由：连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图，在△OAC和△ODC中，，∴△OAC≌△ODC（SSS），∴∠OAC＝∠ODC．由（2）知：OA⊥CM，∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∴OD⊥CD．∵OD为⊙O的半径，∴CK为⊙O的切线．∵BK为⊙O的切线，∴DK＝BK，BK⊥AB．∵DH⊥AB，CA⊥AB，∴AC∥DH∥BK，∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，．∴，，∴，，∴．∵CA＝CD，∴GH＝GD，∴点G是线段DH的中点，∵点E是线段DH的中点，∴点G与点E重合．∴线段BC经过点E，∴CE+EB＝CB．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．。
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题目篇(2014年昆明) 23. （本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C 。
（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动。
其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。
当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多面积是多少（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S PBQ CBK =△△：S ，求K 点坐标。
（2013年昆明）23.（本小题9点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 在BC 边上，且抛物线经过O 、A （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）若点M 在抛物线上，点N 在x （2012年昆明）23.（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点.⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；⑶除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB∆是直角三角形若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.（2011年昆明）25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BC M得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．（2010年昆明）25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，233-）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（云南省2010年）24.（本小题12分）如图，在平面直角示系中，A、B两点的坐标分别是A（-1,0）、B（4,0），点C在y轴的负半轴上，且∠ACB＝90°242FPED-4-2-1A BC4y xO（1）求点C 的坐标；（2）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）直线l⊥x 轴，若直线l 由点A 开始沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t （0≤t≤5）秒，运动过程中直线l 在△ABC 中所扫（云南省2013年）23．（9分）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，下底AB 在x 轴上，点D 在y 轴上，直线AC 与y 轴交于点E （0，1），点C 的坐标为（2，3）．（1）求A 、D 两点的坐标；（2）求经过A 、D 、C 三点的抛物线的函数关系式； （3）在y 轴上是否在点P ，使△ACP 是等腰三角形若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（云南省2014年）23.（9分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形ABCO 的顶点分别为A （3,0）、B （3,4）、C （0,4），点D 在y 轴上，且点D 的坐标为（0，-5），点P 是直线AC 上的一个动点。
（1）当点P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，过点D 、P 的直线与x 轴交于点M 。
问：在x 轴的正半轴上，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点M 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、R （R ＞0为半径长画圆，得到的圆称为动圆P 。
若设动圆P的半径长21AC ，过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E 、F 。
请探求在动圆P 中，是否存在面积最小的四边形DEPF若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由。
答案篇(2014年昆明) 23.（2013年昆明）2323．（9分）（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC 交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）2+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标；（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标．解答：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D 坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M 在x 轴上方时，如答图1所示： 四边形ADMN 为平行四边形，DM∥AN，DM=AN ， 由对称性得到M （3，），即DM=2，故AN=2，∴N 1（2，0），N 2（6，0）；②当点M 在x 轴下方时，如答图2所示：过点D 作DQ⊥x 轴于点Q ，过点M 作MP⊥x 轴于点P ，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M =﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x 2+3x ，解得：x M =2﹣或x M =2+， ∴x N =x M ﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N 有四个：N 1（2，0），N 2（6，0），N 3（﹣﹣1，0），N 4（﹣1，0）． 点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．（2012年昆明）23.[答案] ⑴213222y x x =-++；⑵2(,0)3C -； ⑶7(0,)9、或1165(,0)6-、或1165(,0)6+、或92(,0)27⑴如图，因为一次函数123y x =-+交y 轴于点A ，所以，0A x =，2A y ∴=，即(0,2)A .交x 轴于点P ，所以，0P y =，6P x ∴=，即(6,0)P .由(0,2)A 、(1,0)E -是抛物线212y x bx c =-++的图象上的点，所以，抛物线的解析式是：213222y x x =-++⑵ 如图，()AC AB P ⊥、OA OP ⊥∴ 在Rt CAP ∆中， ∴点C 的坐标：2(,0)3C -⑶设除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得MAB ∆是直角三角形Ⅰ.在Rt MAB ∆中，若AMB Rt ∠=∠，那么M 是以AB 为直径的圆与坐标轴的交点，ⅰ.若交点在y 上（如图），设(0,)M m ，则有，79m ∴=，此时7(0,)9Mⅱ.若交点在x 上（如图），设(,0)M n ，此时过B 作BD 垂直x 于点D ，则有AOM MDB ∆∆，于是：117()239n n ∴-=⨯， 1211651165,n n -+⇒==，此时， 1165(,0)M -或1165(,0)M + Ⅱ.在Rt MAB ∆中，若ABM Rt ∠=∠，如图，设(,0)M t ，同样过B 作BD 垂直x 于点D ，则在Rt PBM ∆中，有27111192()()(6)93327t t ∴=--⇒=，此时，92(,0)27M 综上所述，除点C 外，在坐标轴上还存在点M ，使得MAB ∆是直角三角形，满足条件的点M 的坐标是：7(0,)9、或1165(6-、或1165(,0)6+、或92(,0)27. （2011年昆明）25答案：解：（1）设AC=4x ，BC=3x ，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2， 即：（4x ）2+（3x ）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm ； （2）①当点Q 在边BC 上运动时，过点Q 作QH⊥AB 于H ， ∵AP=x，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB∽△ACB， ∴QH QB AC AB =，∴QH=85x ，y=12BP•QH=12（10﹣x ）•85x=﹣45x 2+8x （0＜x≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH′⊥AB 于H′， ∵AP=x，∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH′∽△ABC，∴'AQ QH AB BC =，即：'14106x QH -=，解得：QH′=35（14﹣x ）， ∴y=12PB•QH′=12（10﹣x ）•35（14﹣x ）=310x 2﹣365x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2248(03)533642(37)105x x x x x x ⎧-+<≤⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩；（3）∵AP=x，AQ=14﹣x ， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴AP AQ PQ AC AB BC ==，即：148106x x PQ-==，解得：x=569，PQ=143，∴PB=10﹣x=349，∴1421334179PQ BCPB AC ==≠， ∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为定点的三角形与△ABC 不相似； （4）存在．理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ 是△ABC 的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ 是AC 的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M 与P 重合时，△BCM 的周长最小，∴△BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM 的周长最小值为16．（2010年昆明）25．25．(12分) 解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠由题意得：0164093⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩c a b c a b c……………1分解得：,099a b c ==-= ………………2分∴抛物线的解析式为：299y x x =- ………………3分 （2）存在………………4分抛物线22383y x x =-的顶点坐标是83(2,)-，作抛物线和⊙M （如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M相切于点C连接MC ，过C 作CD⊥ x 轴于D∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, C M⊥BC∴∠BCM = 90° ，∠BM C = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴D M = 1, CD =22CM DM -=3 ∴ C (1, 3)设切线 l 的解析式为:(0)ykxb k，点B 、C 在 l 上，可得：320k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得： 323,33k b == ∴切线BC 的解析式为：32333y x =+ ∵点P 为抛物线与切线的交点由2238332333y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得：111232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 22683x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴点P 的坐标为：113(,)22P -， 283(6,)P ………………8分 ∵ 抛物线22383y x x =-的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M都与直线2=x 成轴对称图形l ′于是作切线l 关于直线2=x的对称直线l′(如图)得到B、C关于直线2=x的对称点B1、C1l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线2=x的对称点：393 (, 22P，483 (P-即为所求的点.∴这样的点P共有4个：113 (,22P-，283 (6,3P，393 (, 22P，483 (2,3P- (12)分（本题其它解法参照此标准给分）（云南省2010年）24.分析：（1）根据A、B的坐标，可求得OA、OB的长，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理即可求得OC的值，从而得到C点的坐标．（2）已知了抛物线上的三点坐标，可利用待定系数法求得抛物线的解析式．（3）此题应分段考虑：①当0≤t≤1时，直线l扫过△ABC的部分是个直角三角形，设直线l与AC、AB的交点为M、N，易证得△AMN∽△ACO，根据相似三角形所得比例线段即可求得MN的值，从而利用三角形的面积公式求得S、t的函数关系式；②当1＜t≤5时，直线l扫过△ABC的部分是个多边形，设直线l与BC、AB的交点为M、N，同①可求得MN的长，即可得到△BMN的面积表达式，那么△ACB、△BMN的面积差即为直线l扫过部分的面积，由此求得S、t的函数关系式．解答：解：（1）已知A（-1，0），B（4，0），则OA=1，OB=4；在Rt△ABC中，CO⊥AB，由射影定理得：OC2=OA•OB=4，即OC=2，故C（0，-2）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），依题意有：a（0+1）（0-4）=-2，a= ，故抛物线的解析式为：y= （x+1）（x-4）= x2- x-2．（3）①当0≤t≤1时，由题意知：AM=t；∵直线l∥OC，且OC=2OA，∴MN=2AM=2t；故S= t•2t=t2；②当1＜t≤5时，由于AM=t，AB=5，则BM=5-t；∵直线l∥OC，且OB=2OC，∴MN= BM= ，故S= ×5×2- × =- t2+ t- ；综上可知：S、t的函数关系式为：S= - t2+ t- ；点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识；（3）题中，一定要根据直线l的不同位置来分类讨论，以免漏解．（云南省2013年）23解答：解：（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得，∴y=x+1，当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），∴点D的坐标为（0，3）．（2）设过A（﹣1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得，∴抛物线的关系式为：y=x2﹣2x+3．（3）存在．①作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P1，交AC于点F．∵OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∠AEO=45°，∴∠FEP1=∠AEO=45°，∴△FEP1为等腰直角三角形．∵A（﹣1，0），C（2，3），点F为AC中点，∴F（，），∴等腰直角三角形△FEP1斜边上的高为，∴EP1=1，∴P1（0，2）；②以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P2，P3．可求得圆的半径长AP2=AC=3．连接AP2，则在Rt△AOP2中，OP2===，∴P2（0，）．∵点P3与点P2关于x轴对称，∴P3（0，﹣）；③以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P4，P5，则圆的半径长CP4=CA=3，在Rt△CDP4中，CP4=3，CD=2，∴DP4===，∴OP4=OD+DP4=3+，∴P4（0，3+）；同理，可求得：P5（0，3﹣）．综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P1（0，2），P2（0，），P3（0，﹣），P4（0，3+），P5（0，3﹣）．（云南省2014年）23.考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：综合题；存在型；分类讨论．分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF 的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．。