概率论与数理统计学1至7章课后答案
概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计课后习题答案浙江大学第四版完整版.pdf
完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）nn n n o S1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一]2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A －(AB+AC )或A －(B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S －(A+B+C)或CB A（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：C A C B B A 。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：ABCC B A 或（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为：AB +BC +AC6.[三]设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7.问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P (A )=0.6，P (B )=0.7即知AB ≠φ，（否则AB =φ依互斥事件加法定理，P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为P (AB )=0.6+0.7－1=0.3。
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
《概率论与数理统计》第三版王松桂科学出版社课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P982100700112222=-=-≥εσ.5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1{02}P X λλλ-<<≥. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。
λσ==)(2X Var 故由切比雪夫不等式，得)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλλεσ111222-=-=-≥不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==1001i i X X 。
因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var 由中心极限定理知，101000-X 近似服从)1,0(N故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P1)10(2)10|101000(|-Φ≈<-=X P998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)i V i = ，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。
记201k k V V ==∑，求(105)P V >的近似值。
概率论与数理统计课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，通过学习这门课程，我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法，从而分析和解决实际问题。
本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。
2. 习题答案第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。
b.从一副有 52 张牌的扑克牌中，任意取一张牌，其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。
1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件，已知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，且P(A ∪ B) = 0.7，求P(A ∩ B)。
【解答】根据概率的加法定理可知，P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据，得到：0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。
所以，P(A ∩ B) = 【答案】0.2。
b.有两个相互独立的事件 A 和 B，且 P(A) = 0.3，P(A∪ B) = 0.5，求 P(B)。
【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的，所以根据概率的乘法定理可知，P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据，得到：0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。
所以，P(B) = 【答案】1.67。
第二章：随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量，其概率密度函数为：$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。
b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0，下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p p x X P xm x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）Xθcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX X θ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp 令mp =X， 解得mX p=ˆ3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数1211)()()(+-===∏θn θn n ni ix x x cθx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni iθn nni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix n θxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
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第五章作业题解
5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.
解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得
)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P
982100
700112
222=-=-≥εσ.
5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1
{02}P X λλλ
-<<≥
. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。
λσ==)(2
X Var
故由切比雪夫不等式，得
)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλ
λεσ1
11222-=-=-≥ 不等式得证.
5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.
解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==
100
1
i i
X
X 。
因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，
所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，
10
1000
-X 近似服从)1,0(N
故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P
1)10(2)10|10
1000
(|
-Φ≈<-=X P
998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=
5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,
,20)i V i = ，设它们是相互独立的随机变量，
并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。
记20
1
k
k V V
==∑，求(105)P V >的近似值。
解：()5,()10012(1,2,,20)k k E V D V k ===，由定理1，得
(105)P V >
P =>
)
387.020)1210(100
(
>-=V P
)
387.020
)1210
(100(
1≤--=V P
)387.0(1Φ-≈ 348.0=
即有 (105)P V >0.348≈
5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作. 求整个系统起作用的概率 解：设正常工作的部件数为X ，因为部件正常工作的概率为9.01.01=-=p ， 所以 )9.0,100(~B X ，有909.0100)(=⨯=X E ，91.090)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，3
90
-X 近似服从)1,0(N 故所求的概率为
)3
5
390(
1)85(1)85(-<--=<-=≥X P X P X P 9525.0)67.1()3
5
()35(1=Φ=Φ=-Φ-≈
5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了500 张, 每张债券 到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换? 解：设领取本息的人数为X ，则)4.0,500(~B X 。
有
2004.0500)(=⨯=X E ，1206.0200)(=⨯=X Var
由中心极限定理知，
120
200-X 近似服从)1,0(N
又设要准备现金x 元，则满足兑换的概率为
)1202001000/()1000()1000(-Φ≈≤
=≤x x X P x X P 依题意，要满足 )1.3(999.0)120
200
1000/(
Φ=≥-Φx ，即要
1.3120
200
1000/≥-x
解之得 80.2339581000)2001201.3(=⨯+≥x
故应准备234000元的现金。
第五章《大数定律和中心极限定理》定义、定理、公式小结及补充：
n X 相互独立，()i Var X (1,2,i =),则对于任意的正数ε，
)(111<-∑∑=εi n i i X E n X n n X 具有相，则上式成为
.1=⎪⎪⎭
⎫
<εμ
n X 是相,μ1,2,
i =，则对于任意的正数ε有.11=⎪⎪⎭
⎫<-∑=εμn i X 设随机变量2,,n X X X 相互独立，有相同的数学期望和方差：
(02=≠k σX
Y n
k n ∑==
1。