研究生塑性力学课程复习要点
塑性力学复习ti
（4）卸载时材料服从弹性规律，重新加载后屈服应力等于卸载前的应力，重新加载后应力-应变曲线是卸载前的应力-应变曲线的延长线；
（5）任何状态下的总应变可分解为弹性和塑形两部分，且材料的弹性性质不因塑形变形而改变；
（6）塑形变形时，体积不变（不可压缩），静水压力只产生体积的弹性应变，不产生塑形应变。
（1）荷载（包括体力）按比例增长，如有位移边界条件应为零。
（2）材料是不可压缩的。
（3）等效应力和等效应变之间幂指数关系，即
7、简述理想弹塑性材料和形变强化材料的加、卸载判别准则。
（1）理想塑性材料的加载和卸载准则
理论塑性材料是无硬化的，屈服条件与加载历史无关，初始屈服面和后继屈服面是重合的，即：
弹性状态；
当反向加载应力达到一定值后会发生反向屈服，其反向屈服应力会比正向屈服应力小，该现象称为包辛格效应。
3、为研究塑性力学的需要，在对固体材料的连续性假设、均匀性和各向同性假设的基础上，关于金属材料又提出了那几条补充假设？
（1）材料的塑形行为与时间、温度无关；
（2）材料具有足够的延性，即材料可进行足够大地变形而不出现断裂；
5、何谓屈服条件？试简述Tresca屈服条件和Mises屈服条件的基本观点和表达式，它们在主应力空间和π平面上的几何形态是什么？
物体内一点进入屈服时，其应力状态所满足的条件称为屈服条件。
Tresca屈服条件：最大剪应力屈服假设，当最大剪应力达到某个极限值时材料发生屈服。
如不规定的大小顺序，则屈服条件为：
二、计算题
1、给定单向拉伸曲线如图所示，εs、E、E′均为已知，当知道B点的应变为ε时，试求该点的塑性应变。
解：由该材料的σ—ε曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：εB=ε=εe+εp
清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法
弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。
图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。
C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。
由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。
由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。
对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。
如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。
即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。
在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。
如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。
图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。
这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。
记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。
在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。
这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。
图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。
研究生塑性力学课程复习要点
研究生塑性力学课程复习1. 名词解释：塑性变形：指物体在除去外力后所残留下来的永久变形在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变。
韧性与脆性：如果变形很久就破坏，便称是脆性的；如果经受了很大的变形才破坏，便称材料具有较好的韧性。
应变强化：材料在超过弹性极限以后，在任一点卸载后再重新加载，则新得到的屈服应力将大于初始屈服应力，即材料经过塑性变形后得到了强化，这种现象称为应变强化。
等向强化：拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）始终是相等的，称为等向强化。
随动强化：考虑到包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变的，称为随动强化。
屈服面：Mises 屈服条件：Tresca 屈服条件：双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件：加载面：Drucker 公设（33式子）：正交流动法则：加载准则：全量理论：亦称为形变理论，它是研究用应变全量表示弹塑性应力应变关系的理论。
这个理论的数学表达式简单，但不能反应复杂的加载历史。
增量理论：亦称为塑性流动理论，它是用应变增量表示弹塑性本构关系的理论。
简单加载、简单加载定理、静力场与机动场、上限定理与下限定理。
2. 基本概念：1）弹塑性材料在简单拉压时的应力应变响应曲线；2)轴向拉伸时的塑性失稳；3)理想弹塑性材料简单桁架的弹性极限、塑性极限、卸载后的残余应力与残余变形、加载路径的影响；4)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；5)等效应力、等效剪应力、等效应变、等效剪应变定义公式；6)主应力空间中应力状态在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；8)薄壁圆管试件在拉－扭载荷或内压－轴向拉伸载荷下的屈服条件；9)Tresca 屈服条件与Mises 屈服条件；10) Drucker 公设、加载面的外凸性、塑性流动的正交性及加载准则；11)与Mises 屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系；12)简单加载的概念；13)全量理论与增量理论。
塑性力学期末复习总结.doc
塑性力学期末复习总结塑性力学—期末复习,,第一章绪论,弹性与弹性变形,塑性与塑性变形,塑性力学的基本假设,弹性区与塑性区,塑性变形的特点,塑性力学的主要研究内容,重点：基本概念简化模型,比例极限,弹性极限,屈服极限,虎克定律,强化阶段,塑性阶段,后继屈服极限,简单拉伸实验,压缩试验,包辛格效应,静水压力试验,简化模型,（1）理想塑性材料①理想弹塑性②理想刚塑性,（2）强化材料①线性强化弹塑性②线性强化刚塑性③幂强化,,第二章应力状态理论,一点的应力状态剪应力互等定理主应力应力张量不变量八面体应力,重点：一点的应力状态、平面应力状态和空间应力状态的基本公式,主应力与主平面,斜截面上的正应力和剪应力：,主应力方程：,应力张量不变量：,由主应力方程可求得三个主应力将求得的任一个主应力代入：,方向余弦满足条件：,即,联立得到,求出主应力所在平面方位,平均应力,应力球张量——不引起塑性变形,应力偏张量——引起塑性变形,,,,应力偏张量不变量,,八面体面（或等倾面）,正应力和剪应力,,,,,=,等效应力（或应力强度）,,,等效剪应力（或剪应力强度）,最大最小剪应力：,,斜面Ⅲ上的剪应力,莫尔应力圆,表示应力状态的Lode参数：,,应力Lode参数的物理意义：,1、与平均应力无关,2、其值确定了应力圆的三个直径之比,3、如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同,Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。
它可以表征偏应力张量的形式。
,例2.1已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即＝＝＝＝＝＝1,应力单位为MPa。
试求该点的主应力值。
,解:,解得主应力为:,代入,例2.2已知结构内某点的应力张量如式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。
,解:,等效应力:,主应力:,也可由主应力求等效应力,,第三章应变状态理论,小变形情况下，应变分量与位移分量的关系,(几何方程/柯西几何关系),,,,张量形式,重点：应变分量、主应变及应变不变量的定义,应变张量不变量,,,平均线应变,,应变球张量及偏张量,,,如体积不变,,应变偏张量不变量,,,,还可以写成：,,,八面体面上的正应变：,,剪应变：,,,等效应变（应变强度）,,等效剪应变（剪应变强度）,,Γ=,最大剪应变,,表示应变状态的Lode参数,,几何意义：应变莫尔圆上Q2A与Q1A之比,应变协调方程（判断某点应变场成立）,保证物体在变形后不会出现‘撕裂’，‘套叠’的现象,,第四章屈服条件和塑性本构关系,重点：屈服条件、加载规律和塑性流动法则,屈服函数,应力空间,等倾线,π平面,屈服曲面和屈服轨迹,应变空间,π平面上的点所代表的应力状态是偏张量，其球张量为零,等倾线上的点所代表的应力状态是球张量，其偏张量为零,Tresca屈服条件,认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:,Tresca屈服条件的完整表达式,Tresca屈服条件常用在主应力大小顺序为已知的问题上,p平面上的屈服曲线(正六边形),主应力空间内的屈服条件(正六边形柱面),平面应力状态的屈服条件（s3=0）,常数k值由简单拉伸实验或纯剪实验确定,ss=2ts,Mises 屈服条件,用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形，即：,,,常数C值由简单拉伸实验或纯剪实验确定,在主应力空间中，Mises屈服面将是圆柱面，在的平面应力情形,Mises屈服条件可写成:,两种屈服条件的关系,若规定简单拉伸时两种屈服条件重合，则Tresca六边形内接于Mises圆，且,若规定纯剪时两种屈服条件重合，则Tresca六边形外接于Mises圆，且,加载条件和加载曲面,初始屈服曲面,加载曲面（后继屈服面）,强化现象,加载函数,加载准则,对强化材料,对理想塑性材料,当采用Mises屈服条件时,当采用Mises屈服条件时,注意：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。
弹塑性力学复习思考题(1)
研究生弹塑性力学复习思考题1. 简答题：（1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？（2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？（5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何与物理意义是什么？（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？（9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有和联系和区别？(10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？二、计算题1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions andfind the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)/n =311102120ij σ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be214140401ij σ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。
Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.3、 利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？，（1）εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数222(),,2x y xy k x y ky kxy εεγ=+== k 为常数（2）222225ij x y xz yz z xz z ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦4、The displacements in an elastic material are given by22222(1)(1)(1),(),0224M M M l u xy v y x w EI EI EI νννν-+-=-=+-=where M ，E ， I , and l are constant parameters 。
弹塑性力学复习大纲
研究生《弹塑性力学》教学大纲陈明祥一、应力分析二、应力矢量与应力张量的概念, 斜面应力公式, 平衡微分方程与力边界条件；应力分量的坐标变换；主应力、应力张量不变量和最大剪切应力；Mohr应力圆；应力张量的分解、偏应力张量及其不变量；八面体上的应力和等效应力；主应力空间与(平面三、应变变形和应变的概念；应变张量和几何方程；刚体转动与转动张量；体积应变；应变张量的性质；应变率和应变增量；变形协调方程。
四、弹性本构方程应力－应变关系的一般表达；各向异性线弹性体的本构方程；各向同性线弹性体的本构方程；弹性应变能与弹性应变余能。
五、弹性力学基本方程与求解方法弹性力学的基本方程；求解方法；解的基本性质；圣维南原理；空间问题求解实例。
六、平面问题平面问题分类；平面问题的基本方程；平面问题的应力解法与实例分析；极坐标表示的基本方程；使用极坐标求解的几个问题。
七、薄板弯曲板的基本概念与薄板的基本假定；应力应变与挠度的关系；薄板弯曲微分方程；薄板横截面上的内力及内力表示的平衡微分方程；薄板的边界条件；薄板的广义力、广义变形和应变能；考虑横向剪切的Mindlin板理论。
八、温度应力问题热传导基本概念；热弹性基本方程；求解方法与举例。
九、能量原理与变分方法可能功原理；虚位移原理与最小势能原理；使用位移变分原理近似求解；虚应弹塑性力学目录力原理、最小余能原理及其近似求解；卡氏定理；有限元方法的基本概念。
九、塑性力学的基本概念塑性力学的主要内容；有关塑性本构关系的基本试验资料；应力路径与加载历史的基本概念；塑性本构关系的主要研究内容和研究方法；塑性变形的物理机制。
十、屈服条件屈服条件的概念与假设, 屈服面在主应力空间中的一般形状；Tresca屈服条件；Mises屈服条件；Tresca屈服条件和Mises屈服条件的比较及实验验证；后继屈服面与内变量；一致性条件；硬化模型。
十一、塑性本构关系塑性应变增量的概念；加卸载判别准则；Drucker公设和Ilyushin公设；加载面外凸形和正交流动法则；塑性势理论；理想塑性材料的增量本构关系；硬化材料的增量本构关系；增量本构关系的一般表达；关于增量理论的讨论；全量理论及适用范围；十二、简单弹塑性边值问题增量和全量理论的边值问题；梁的弹塑性弯曲；理想塑性材料的厚壁圆筒受内压作用。
塑性力学复习题
塑性力学复习题塑性力学复习题塑性力学是力学中的一个重要分支，研究材料在超过其弹性限度时的变形和破坏行为。
它在工程领域中有着广泛的应用，特别是在金属材料的设计和加工中。
本文将通过一些典型的复习题来回顾和巩固塑性力学的知识。
1. 弹性和塑性的区别是什么？请举例说明。
弹性和塑性是材料在外力作用下的两种不同的变形行为。
弹性变形是指材料在受力后能够恢复原状的能力，而塑性变形则是指材料在受力后会发生永久性的形变。
举个例子来说明，当我们用手指轻轻地压在弹簧上时，弹簧会发生弹性变形，但当我们用更大的力量压在弹簧上时，弹簧就会发生塑性变形，无法完全恢复原状。
2. 什么是屈服点和屈服强度？屈服点是指材料在受力后开始发生塑性变形的临界点。
在应力-应变曲线上，屈服点是曲线开始出现明显的非线性变化的位置。
屈服强度是指材料在屈服点处的应力值。
它是材料能够承受的最大应力，超过这个应力值后，材料就会发生塑性变形。
3. 什么是硬化现象？如何应对材料的硬化？硬化是指材料在经历一次塑性变形后，下一次变形所需的应力会增加的现象。
这是因为材料的晶体结构在塑性变形过程中发生了改变，使得材料变得更加坚硬。
为了应对材料的硬化，可以采取以下措施：- 热处理：通过加热和冷却的方式改变材料的晶体结构，以降低硬化程度。
- 冷加工：通过冷加工的方式，如冷拔、冷轧等，可以增加材料的塑性，减少硬化现象。
- 添加合金元素：某些合金元素可以改变材料的晶体结构，降低硬化程度。
4. 什么是断裂韧性？如何评价材料的断裂韧性？断裂韧性是指材料在受到外力作用下抵抗破坏的能力。
它是材料的断裂强度和塑性变形能力的综合体现。
评价材料的断裂韧性常用的方法有：- 断口形貌观察：通过观察材料的断口形貌，可以了解材料的断裂方式和韧性。
- 断裂韧性试验：常用的试验方法有冲击试验和拉伸试验，通过测量断裂前的应力和断裂后的断面积，计算出材料的断裂韧性。
5. 什么是应力集中？如何减小应力集中的影响？应力集中是指材料中存在的一些几何形状或缺陷引起的应力集中现象。
弹 塑 性 力 学 课 程《 各章学习的基本要求和复习思考题 》
★ 复习题
何谓应力? 何谓一点的应力状态? (1) 何谓应力? 何谓一点的应力状态? 进一步深入理解一点的应力状态的概念 一点的应力状态的概念, (2) 进一步深入理解一点的应力状态的概念,并掌握采用单 元体去表征和研究一点的应力状态的方法。 元体去表征和研究一点的应力状态的方法。 去表征和研究一点的应力状态 为什么一点的应力状态可用二阶张量的形式来表示? (3) 为什么一点的应力状态可用二阶张量的形式来表示? 应力张量是一个二阶对称张量吗 ? (4) 弹塑性力学中应力分量的符号规则是什么? 同材料力 弹塑性力学中应力分量的符号规则是什么? 学应力符号规则有何不同? 学应力符号规则有何不同? 一点的应力状态通常参照笛卡尔直角坐标系oxyz oxyz可表 (5) 一点的应力状态通常参照笛卡尔直角坐标系oxyz可表 若再参照另一坐标 示为 σ ij (i,j = x,y,z) 。若再参照另一坐标 系 ox′y′z′ , 则该点应力状态还可表示为 σ i′j ′ , (i‘,j ,y’,z (i ,j’ = x‘,y ,z ) 。于是有： σ ij = σ i′j ′ ,j ,y ,z‘) 于是有： 正确吗? 正确吗? 这样表示
★ 复习题
试写出柯西(Augustir1 Cauchy)几何方程的缩 (1) 试写出柯西(Augustir1 · Louis Cauchy)几何方程的缩 写式 ? 何谓线应变和剪应变? (2) 何谓线应变和剪应变? 试从受力物体内某点处沿相互垂 直的xy方向, xy方向 直的xy方向, 取两条微线段 ∆x 和 ∆y , 然后根据线应变 和剪应变的定义推导出该点的线应变 ε x 和剪应变 γ xy . 何谓主应变、主应变方向? (3) 何谓主应变、主应变方向? 主应变方向与主应力方向是 否一定相吻合? 否一定相吻合? 为什么一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示? (4) 为什么一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示? 表 示同一点应变状态的二阶应变张量 ε ij (i,j=x,y,j) 和 ε i′j′ (i ,j =x ,y ,j )应如何转换? 应变张量 ε ij 如 (i‘,j =x‘,y ,j‘)应如何转换? ,j’=x ,y’,j 何分解成球张量和偏张量 ? 应变谐调方程(又称为变形协调方程或圣文南(Saint (Saint(5) 应变谐调方程(又称为变形协调方程或圣文南(SaintVenant)方程 的物理意义是什么? 方程) Venant)方程)的物理意义是什么?
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研究生塑性力学课程复习
1. 名词解释：
塑性变形：指物体在除去外力后所残留下来的永久变形在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变。
韧性与脆性：如果变形很久就破坏，便称是脆性的；如果经受了很大的变形才破坏，便称材料具有较好的韧性。
应变强化：材料在超过弹性极限以后，在任一点卸载后再重新加载，则新得到的屈服应力将大于初始屈服应力，即材料经过塑性变形后得到了强化，这种现象称为应变强化。
等向强化：拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）始终是相等的，称为等向强化。
随动强化：考虑到包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变的，称为随动强化。
屈服面：
Mises 屈服条件：
Tresca 屈服条件：
双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件：
加载面：
Drucker 公设（33式子）：
正交流动法则：
加载准则：
全量理论：亦称为形变理论，它是研究用应变全量表示弹塑性应力应变关系的理论。
这个理论的数学表达式简单，但不能反应复杂的加载历史。
增量理论：亦称为塑性流动理论，它是用应变增量表示弹塑性本构关系的理论。
简单加载、简单加载定理、静力场与机动场、上限定理与下限定理。
2. 基本概念：
1）弹塑性材料在简单拉压时的应力应变响应曲线；2)轴向拉伸时的塑性失稳；3)理想弹塑性材料简单桁架的弹性极限、塑性极限、卸载后的残余应力与残余变形、加载路径的影响；4)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；5)等效应力、等效剪应力、等效应变、等效剪应变定义公式；6)主应力空间中应力状态在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；8)薄壁圆管试件在拉－扭载荷或内压－轴向拉伸载荷下的屈服条件；9)Tresca 屈服条件与Mises 屈服条件；10) Drucker 公设、加载面的外凸性、塑性流动的正交性及加载准则；11)与Mises 屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系；12)简单加载的概念；13)全量理论与增量理论。
3. 主应力空间中任意一点（321,,σσσ）可以用向量332211i i i σσσ++=来表达。
（1）试将该向量分解为主偏应力分量和静水分量ON ，写出其表达式；（2）证明与ON 正交；（3）简洁写出将OP 投影到π平面的方法。
4. 叙述双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件，试讨论两者之间的关系。
5. 若材料的真应力自然应变曲线为σ = C εn ，试求光滑拉伸试件的拉伸失稳应变。
6. 若Ｅ'=Ｅ/100，给定应力路径是：０→1.5σS →0 →- σS →0。
ａ）试按线性弹塑性随动强
化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应力应变曲线。
7. 若Ｅ′＝Ｅ/100，给定应变路径是：０→41εS →0 →-41εS →0。
ａ）试按线性弹塑性随
动强化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应
力应变曲线。
8. 受竖直载荷的对称桁架由理想弹塑性材料的三根等截面杆件构成（见附图）。
ａ）试讨
论求其弹性极限载荷和塑性极限载荷的主要步骤；ｂ）若施加的最大载荷大于弹性极限载荷而小于塑性极限载荷，试讨论当卸去载荷时各杆的残余应力和残余变形。
9. 10. 已知单轴拉伸应力应变曲线为
)(εσf =，讨论将该曲线用塑性应
变描述的)(1p f εσ=曲线和用塑性
功描述的)(2⎰=p d f εσσ曲线的方法。
11. ａ）各向同性材料在主应力空间的屈服曲面具有哪些主要性质；ｂ）若分
别用单轴拉伸实验和纯剪实验来测定σS 和τS ，试在π平面上分别考虑怎样针对不同实验的结果绘出Mises 圆和Tresca 正六边形的示意图，并在图中标明Mises 圆的半径大小。
12.
13. 一圆形薄壁圆筒，平均半径为Ｒ，厚度为ｔ，两端受拉力Ｐ及扭矩M t 的作用，试求
Mises 屈服条件的表达式（设材料单轴拉伸屈服应力为σS ）。
14. 材料的泊松比5.0≠v ，服从Mises 屈服条件，且知其屈服应力s σ。
设其单元体在受力
状态下σσ=xx 、0=yy σ、0=zz ε。
求该单元体达到屈服时?=σ。
15. 若材料由单轴拉伸实验得到的单轴应力应变曲线为σ =Φ(ε)，设弹性时的泊松比ν＝ν0
≠0.5。
试求在单轴拉伸过程中ν＝ν（ε）的规律；如果Φ(ε)=E ε[1-ω(ε)]，请写出ν＝ν(ε)的表达式。
16. （1）请叙述Drucker 公设所给出不等式()
021)1(2
≥∆∆+∆-p ij ij p ij ij ij εσεσσ的含义；（2）写出由Drucker 公设导出的正交流动法则的公式表达；（3）若加载面由Mises 圆柱面
()
0=-=Φ⎰p d εψσ描述（式中σ是Mises 等效应力，εp 是等效塑性应变）
，请写出正交流动法则的具体公式。
17. （1）问下式的含义；（2）试叙述导出下式的步骤（或思路）。
⎪⎭⎪⎬⎫+=+=P ij kl ijkl ij P ij kl ijkl ij M L εσεσεσ 18.
19. 长封闭薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受内压ｐ的作用而产生塑性变形，忽略弹性应变，
设材料为各向同性理想塑性，求周向、轴向和径向应变的比例。
20.
21. 对矩形截面梁，设其由理想弹塑性材料做成，当其受弯矩作用而作纯弯曲变形时，问如
何求解下列问题：ａ）弹性极限弯矩M e 和塑性极限弯矩M s ；ｂ）塑性区域随施加弯矩增加的变化规律。
22. 理想弹塑性材料等截面圆杆，求其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩。
23.
24. 试证明求解塑性极限载荷的上、下限定理（不考虑分布载荷）。
25.
26. 已知薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受拉应力σσ=s
2的作用，若使用Mises 屈服条件，
试求施加多大的扭矩可使试件屈服。
若继续加载，求出此时塑性应变增量分量之间的比值。
27. 试证明简单加载情形下，Prandtl —Reuss 方程 de ds G s d d E
d ij ij ij kk kk =+=-212λενσ,与Hencky 方程
e s G s ij ij
ij =+2Φ, ενσkk kk E
=-12 等价。
28. 对线性随动强化材料，其加载条件可由下式给出：
Φ=32012
()()s c s c ij ij p ij ij p s --⎡⎣⎢⎤⎦⎥-=εεσ
若已通过试验得到简单拉伸应力应变曲线，且该曲线可用线性强化模型描述，问如何确
定上式中的常数c ？
29. 矩形截面纯弯曲梁弹性状态下所受弯矩与梁最大正应力的关系可由公式m ax m ax y I
M σ=描述（123bh I =），设梁由理想弹塑性材料做成，试证明23=E P M M （式中P M 和E M 分别为塑性极限弯矩和弹性极限弯矩）。