八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案
八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1) 2236642821193x xy y x y ++--+(2) 22254251515403x y z xy yz xz ---+- (3) 22163812141115x xy y x y -+--- (4) 2227256491157x y z xy yz xz ++--+(5) 22218530192544x y z xy yz xz +-+-- (6) 26397a ab a b -+- (7) 222151015313130x y z xy yz xz +++-- (8) 222362130555774a b c ab bc ac +++-- (9) 227544265x xy x y +-+-(10) 2292310402816x xy y x y -++-+(11) 2471076p pq p q --++(12) 2272193273m mn n m n ----(13) 22221682782x y z xy yz xz +----(14) 223682867457m mn n m n +-+-+(15) 2221132431214x xy y x y -+-+-(16) 2264178132a ab b a b +---+(17) 2225155102824a b c ab bc ac ---++ (18) 2228324471715x xy y x y -++-+ (19) 227233019233x xy y x y +----(20) 221433182824x xy y x y ++--(21) 222181469821x y z xy yz xz -++-- (22) 2276123735m mn n m n -+-++ (23) 2262016312x xy y x y +--- (24) 2228354333331x y z xy yz xz ---++(25) 22254358723x y z xy yz xz +---+(26) 2235262m mn n m n --++(27) 22826649156x xy y x y -+-++(28) 22429672m mn n m n --++(29) 2262377152m mn n m n +++++(30) 2236121512268x xy y x y +-++-(31) 22214428614022a b c ab bc ac +++++(32) 22215612191727x y z xy yz xz ++--+(33) 22232155282228a b c ab bc ac -+-+-(34) 2228105181514x y z xy yz xz +++++(35) 223669301986x xy y x y ++--- (36) 22254645715x y z xy yz xz ++--+ (37) 224123827x xy x y -++- (38) 2227278713050x y z xy yz xz ++--+ (39) 2226653531x y z xy yz xz -+--+ (40) 2256282853512x xy y x y +-+++ (41) 223764104m mn n m n -----(42) 2272512214028x xy y x y --++- (43) 24030126x xy x y -+--(44) 22253416812x y z xy yz xz +++++(45) 222015529245x xy y x y +-+++(46) 2222875531239x y z xy yz xz +++++(47) 222721628511x y z xy yz xz +---+(48) 21052428x xy x y --++(49) 224131227618x xy y x y +-+-+(50) 22283525239x y z xy yz xz +--+-(51) 2212281532285x xy y x y ++--+(52) 222405235321x y z xy yz xz -++++(53) 2227216442023x y z xy yz xz --+-- (54) 229333035x xy y x y -++- (55) 222664152310x y z xy yz xz +---+ (56) 224233524320x xy y x y +-+++ (57) 22261825334525x y z xy yz xz --++- (58) 2279211220x xy x y -+-- (59) 22212355443216x y z xy yz xz ++-+- (60) 22316217156p pq q p q ++--- (61) 2283512453525a ab b a b -++-+(62) 222561012193434x y z xy yz xz --+++(63) 2235223201215p pq q p q -++--(64) 2224571544162x y z xy yz xz +---+(65) 221522523296p pq q p q +-+++(66) 22456624553810x xy y x y +++++(67) 22817212993828x xy y x y ++--+(68) 2223231820360x y z xy yz xz -+-+-(69) 2235622427618x xy y x y -++--(70) 22216153341214x y z xy yz xz -+--+(71) 222152045184x y z xy yz xz --++- (72) 22401030411310x xy y x y +-+++ (73) 22228202516x y z xy yz xz +--+- (74) 22242943931x y z xy yz xz -+--+ (75) 223362u uv u v -+--(76) 22813646314m mn n m n ++++ (77) 22263366124247x y z xy yz xz ----- (78) 22449161415p q p q ---+(79) 22728x xy y x y ---+(80) 2228330142134x y z xy yz xz +++++(81) 22754353234x xy y x y -+---(82) 2223542371526x y z xy yz xz -+-++(83) 221456543036x xy y x y ---++(84) 2224078273022x y z xy yz xz ---+-(85) 226349144320a ab b a b -----(86) 2254366752525x xy y x y -+-++(87) 222153550128a b c ab bc ac +++--(88) 2272751820328x xy y x y ++-+-(89) 22409947312x xy y x y +-+-+(90) 225228101415p pq q p q -+++- (91) 222116310624x xy y x y -+-+- (92) 222821522822a b c ab bc ac -+++-(93) 227633410x xy x y +--+(94) 222212812371048x y z xy yz xz -+-++ (95) 22218206462921a b c ab bc ac +++--(96) 222910820x xy y x y ++--(97) 222351412214632x y z xy yz xz --+--(98) 2224633038328x xy y x y +++++(99) 227302512204a ab b a b --++-(100) 2223144231513x y z xy yz xz ++--+八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(441)(973)x y x y+-+-(2)(653)(955)x y z x y z-++-(3)(835)(243)x y x y-+--(4)(956)(8)x y z x y z-+-+ (5)(955)(26)x y z x y z+++-(6)(91)(7)a a b+-(7)(353)(525)x y z x y z+-+-(8)(436)(975)a b c a b c+-+-(9)(91)(365)x x y++-(10)(954)(24)x y x y-+-+ (11)(476)(1)p q p---(12)(833)(9)m n m n--+(13)(724)(332)x y z x y z-+--(14)(447)(971)m n m n++-+ (15)(722)(37)x y x y-+--(16)(62)(71)a b a b--+-(17)(55)(35)a b c a b c+--+ (18)(73)(445)x y x y-+-+ (19)(961)(853)x y x y++--(20)(234)(76)x y x y+-+(21)(673)(322)x y z x y z+---(22)(67)(5)m n m n----(23)(4)(643)x y x y+--(24)(54)(87)x y z x y z-++-(25)(65)(97)x y z x y z-+--(26)(3)(22)m n m n+-+(27)(36)(821)x y x y----(28)(72)(631)m n m n+-+ (29)(32)(271)m n m n++++ (30)(634)(652)x y x y-++-(31)(764)(272)a b c a b c++++ (32)(534)(323)x y z x y z-+-+(33)(835)(45)a b c a b c+---(34)(455)(22)x y z x y z++++ (35)(453)(962)x y x y+-++ (36)(96)(6)x y z x y z-+-+ (37)(427)(61)x y x-+-(38)(872)(94)x y z x y z-+-+ (39)(6)(65)x y z x y z++-+ (40)(774)(843)x y x y++-+(41)(32)(322)m n m n--++ (42)(44)(737)x y x y-++-(43)(52)(863)x x y+--(44)(32)(52)x y z x y z++++ (45)(551)(45)x y x y++-+ (46)(475)(7)x y z x y z++++ (47)(32)(773)x y z x y z-+--(48)(24)(52)x y x---(49)(46)(433)x y x y++-+ (50)(8)(35)x y z x y z-+--(51)(235)(651)x y x y+-+-(52)(8)(552)x y z x y z-+++ (53)(84)(944)x y z x y z++--(54)(35)(361)x y x y--+ (55)(36)(24)x y z x y z---+ (56)(75)(454)x y x y++-+ (57)(65)(635)x y z x y z+--+ (58)(935)(34)x y x--+ (59)(675)(25)x y z x y z----(60)(372)(33)p q p q+++-(61)(45)(835)a b a b-+-+(62)(852)(726)x y z x y z+--+ (63)(55)(733)p q p q-+--(64)(53)(975)x y z x y z-+--(65)(56)(351)p q p q-+++ (66)(962)(545)x y x y++++ (67)(967)(924)x y x y+-+-(68)(436)(83)x y z x y z--+-(69)(743)(566)x y x y---+ (70)(833)(25)x y z x y z++-+ (71)(552)(342)x y z x y z-++-(72)(865)(552)x y x y-+++ (73)(45)(742)x y z x y z-+--(74)(734)(63)x y z x y z++-+ (75)(231)(2)u v u--+(76)(92)(927)m n m n+++ (77)(96)(766)x y z x y z++--(78)(273)(275)p q p q+---(79)(8)(91)x y x y-+-(80)(236)(45)x y z x y z++++ (81)(71)(754)x y x y---+ (82)(563)(77)x y z x y z-+++(83)(26)(766)x y x y+---(84)(872)(54)x y z x y z-++-(85)(925)(774)a b a b++--(86)(625)(935)x y x y----(87)(37)(55)a b c a b c+-+-(88)(834)(967)x y x y+++-(89)(833)(534)x y x y-+++ (90)(525)(43)p q p q---+ (91)(34)(736)x y x y---+(92)(43)(275)a b c a b c--+-(93)(32)(925)x x y-+-(94)(376)(742)x y z x y z-+++(95)(24)(956)a b c a b c+-+-(96)(24)(25)x y x y+-+(97)(772)(526)x y z x y z++--(98)(852)(364)x y x y++++(99)(52)(752)a b a b-++-(100)(32)(74)x y z x y z-+-+。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法摘要：一、引言二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法2.十字相乘法的符号表示三、十字相乘法的应用1.分解单项式2.分解多项式四、十字相乘法的优势与局限1.优势2.局限五、结论正文：一、引言十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。
本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。
二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。
具体操作步骤如下：首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。
```c da |b | a b|-------|-------| c d | c d```然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。
最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
2.十字相乘法的符号表示我们可以用如下符号表示十字相乘法：```(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd```其中，a、b、c、d为常数，x为变量。
三、十字相乘法的应用1.分解单项式假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。
我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。
然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项式的因式分解式。
2.分解多项式十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。
我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。
然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
四、十字相乘法的优势与局限1.优势十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。
它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。
最新人教版初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)（4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
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-2)]( x + 1 )
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公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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例2. 人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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部编数学八年级上册专题31十字相乘法因式分解(解析版)含答案
专题31 十字相乘法因式分解1．下列式子中，因式分解正确的是( )A ．2815(3)(5)x x x x -+=--B ．2815(3)(5)x x x x -+=-+C ．2815(3)(5)x x x x -+=++D ．2815(3)(5)x x x x -+=+-【答案】A【分析】根据十字相乘法即可分解因式．【详解】解：2815(3)(5)x x x x -+=--．故选：A ．【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．2．将多项式x 2－2x －8分解因式，正确的是（ ）A ．（x ＋2）（x －4）B ．（x －2）（x －4）C ．（x ＋2）（x ＋4）D ．（x －2）（x ＋4）【答案】A【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：()()2－2－8=24x x x x +-，故选：A ．【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．3．分解因式x 2-5x -14，正确的结果是（ ）A ．（x －5）（x －14）B ．（x －2）（x －7）C ．（x －2）（x ＋7）D ．（x ＋2）（x －7）【答案】D【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．【详解】解：x 2-5x -14=（x -7）（x +2），故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．4．把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --【答案】D【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．5．如果x 2+kx ﹣10＝（x ﹣5）（x +2），则k 应为（ ）A ．﹣3B ．3C ．7D ．﹣7【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．【详解】解：（x -5）（x +2）=x 2-3x -10，则k =-3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．6．如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B 、253x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x -+=--，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．7．因式分解22212x x --=_________【答案】()()223x x +-【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；【详解】解：()()22212=232x x x x ---+；故答案为：()()223x x +-．【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．分解因式：2246a a --=______．【答案】()()231a a -+##()()213a a +-【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()2223231a a a a --=-+；故答案为：()()231a a -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．9．因式分解：289x x --=______________．【答案】()()19x x +-【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解289x x --，289x x \--()()19x x =+-，故答案为：()()19x x +-．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的关键．10．因式分解：2412x x --=_______．【答案】(6)(2)x x -+【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为1262,624-=-´-+=-，且4-是x 的一次项的系数，所以2412(6)(2)--=-+x x x x ，故答案为：(6)(2)x x -+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．11．观察下列因式分解中的规律：①()()23212x x x x ++=++；②()()271025x x x x ++=++；③()()25623x x x x -+=--；④()()28422x x x x -=+--；利用上述系数特点分解因式26x x +-=__________．【答案】()()32x x +-【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()2632x x x x +-=+-，故答案为：()()32x x +-．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：()()2()x a b x ab x a x b +++=++．12．分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．【答案】()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题13．阅读材料：由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x ²+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x ²+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x ²+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）． 请用上述方法分解因式：(1)x 2-3x -4；(2)x 2-7x +12．【答案】(1)()()14x x +-(2)()()34x x --【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．（1）解：x 2−3x −4=x 2+(1-4)x +1×(−4)=(x +1)(x −4)；（2）解：x 2−7x +12=x 2+(−3−4)x +(−3)×(−4)=(x −3)(x −4)．【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．14．阅读理解题：由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x éùéùëû--=++-+´-=+û+ë．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(1)尝试：分解因式：()()268____________x x x x ++=++；(2)应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【答案】(1)2，4(2)()()23x x --，()()16+-x x 【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；(1)268x x ++()22424x x =+++´()()24x x =++；故答案为：2，4(2)解：256x x -+()()()()22323x x éùéùëû=+-+-+-´-ëû()()23x x =--；256x x --()()21616x x éùéùëû=++-+-ë´û()()16x x =+-【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=´，常数项3(1)3-=-´，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)2710x x ++=__________；(2)223x x --=__________；(3)2712y y -+=__________；(4)2718x x +-=__________．【答案】(1)()()25x x ++(2)()()31x x -+(3)()()34y y --(4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可；（4）仿照题意求解即可．(1)解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++(2)解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+(3)解：根据题意可知()()271234y y y y =---+(4)解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x -+=--．把这个多项式的二次项系数1分解为11´，常数项10分解为(2)(5)-´-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++= ；(2)2273x x -+= ；(3)()222x m x m +--= ．【答案】(1)（x +2）（x +3）(2)（2x -1）（x -3）(3)（x +2）（x -m ）【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．（1）解：由上图可知：x 2+5x +6=（x +2）（x +3），故答案为：（x +2）（x +3）；（2）解：由上图可知：2x 2-7x +3=（2x -1）（x -3），故答案为：（2x -1）（x -3）；（3）解：由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），故答案为：（x+2）（x-m）．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，所以x2+8x+15不是完全平方公式，故答案为：不能；（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），故答案为：3，5，3，5，3，5；（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x 2+（a +b ）x +ab =（x +a ）（x +b ）的结构特征是正确应用的前提．18．由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）尝试：分解因式：x 2+6x +8＝（x +____）（x +____）；（2）应用：请用上述方法解方程：①x 2﹣3x ﹣4＝0；②x 2﹣7x +12＝0．【答案】（1）2，4；（2）①1x =-或4x =；②3x =或4x =【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为()()41x x -´+后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解()()43x x -´-后求解可得．【详解】解：（1）2268(24)24(2)(4)x x x x x x ++=+++´=++，故答案为：2，4；（2）①2340x x Q --=，2(41)(4)10x x +-++-´=，(4)(1)0x x \-+=，则10x +=或40x -=，解得：1x =-或4x =，②27120x x -+=Q ，2(34)(3)(4)0x x +--+-´-=，(3)(4)0x x \--=，则30x -=或40x -=，解得：3x =或4x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法．19．阅读材料：解方程22350x x +-=我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-，①竖分二次项与常数项：2x x x =×，()()3557-=-´+．②交叉相乘，验一次项：57x x -+752x x x Þ-=．③横向写出两因式：()()223557x x x x +-=-+．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =，则方程22350x x +-=可以这样求解22350x x +-=方程左边因式分解得()()570x x -+=所以原方程的解为15=x ，27x =-．试用上述方法和原理解下列方程：（1）2560x x ++=；（2）2670x x --=．【答案】（1）12x =-，23x =-；（2）11x =-，27x =【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．【详解】解：（1）2560x x ++=，()()230x x ++=，20,30x x +=+=，12x =-，23x =-．（2）2670x x --=，()()170x x +-=，10,70x x +=-=，11x =-，27x =．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．20．阅读下列材料：材料1：将一个形如x 2＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n ，则可以把x 2＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（＋n ）的形式，如x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1解：将“x ＋y ”看成一个整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A 2＋2A ＋1＝（A ＋1）2，再将“A ”还原，得原式＝（x ＋y ＋1）2上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2﹣6x ＋8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3【答案】（1）()()42x x --；（2）()()31x y x y -+-+【分析】（1）根据材料1的方法，满足()()()()842,642=-´--=-+-，进而进行因式分解即可；（2）根据材料1的方法，满足313,413=´=+，根据材料2将“x y -” 看成一个整体，进而因式分解即可【详解】（1）()()()()842,642=-´--=-+-Q \x 2﹣6x ＋8()()42x x =--（2）令x y A -=,313,413=´=+Q 则（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3(3)(1)A A =++\（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3=()()31x y x y -+-+【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．。
如何利用十字相乘法分解因式
数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
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