材料力学题目及答案

习题3-1图

(a)

习题3-2图

(a)

习题3-3图 习题3-4图

第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析

3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。 解：图（a ）中，5

4

cos =θ （1）

截面法受力图（a ）

0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN

0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN

∴ 1505.002.010153

=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==A

F

DE DE σMPa

3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D

处作用有集中呼F P = 20 kN 。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。试求：

1．A 、B 、E 截面上的正应力；

2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN

（1）200100.2104043

N =⨯⨯==-A F A A

σMPa 100N ==A F

B B σMPa

150N ==A

F

E E σMPa

（2）200max ==A σσMPa （A 截面）

3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；

2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：

a a Na c c Nc A E F

A E F = （1） P Na Nc F F F =+

（2）

∴ ⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

-+=

=-⋅+⋅=+==4)(π4π)

(4

π4π22a 2c P a a Na a 22a 2

c P a a c c P c c Nc c

d D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ

2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542

29293

9c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa

6.55105

70

5.83c a c a =⨯

==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：

1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；

2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。

解：变形谐调：

a a Na s s Ns A E F

A E F = （1）

P Na Ns F F F =+

（2）

习题3-5图 习题3-6图

习题3-7图

习题3-8图 (a)

1． a

1s 0P

s 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ 2． 175107005.002.021020005.003.0103850200993

9s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=

σMPa （压）

25.61200

70

175175s a a -=-=-=

E E σMPa （压） 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与b 的比值：

1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。

解：1．)

(66

222b d b M bh M W M z

z z z -=

==σ ∴

2=b

h

（正应力尽可能小） 2．

z

z z EI M =ρ1

0d d =h I z ，得2243

d h = ∴ 3=b

h

（曲率半径尽可能大）

3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求：

1．k 值与h 值之间的关系；

2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。 解：3400

h I zh =，3

300h W z = )34()

3

4(3)34(3023

00230023

0max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ （1） 0)338(0=-h h h ，h = 0（舍去），098

h h =

代入（1）：9492.0)812(643

81)3

84()98(1)9834()98(2002

030=-⨯⨯=-=⨯-=h h h h k

3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量，I z = 11.3×106mm 4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。

解：⎰

⎰⎰-+-==21 2

N d d d A z z A z z A x x A y I M

A y I M A F σ 143101433-=⨯-=kN

即上半部分布力系合力大小为143 kN （压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。

3－8 图示矩形截面（b ·h ）直梁，在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出)(y y y σσ=的表达式； 2．证明：max max 4x y h

σρ

σ-

≈，ρ为中性面的曲率半径。 解：1．先求)(y y σ表达式：

⎰

⎰

--

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

∑y

h x y y y y F 2

2

2

0d 12

sin

2

cos d 1θ

σϕϕρσθ

θ

即 0d 2

sin 2

2

sin

22

=-+⎰

-y y I M y

h z z y y θ

θ

ρσ，

（y I M z z x -=σ）