福建省南平市2013届高三毕业班质量检查数学文试题 Word版含答案

福建省南平市2013年普通高中毕业班质量检查 文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据1x ，2x ， …，nx 的标准差：s =其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：Sh V =， 其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：ShV 31=， 其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R =π，343V R=π，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为A ．(2，0)B ．(1高☆考♂资♀源€网，0)C ．(0，－4)D ．(－2，0)2．命题“021R >⎪⎭⎫⎝⎛∈∀xx ，”的否定是 A ．021R <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃xx ， B ．xx ⎪⎭⎫⎝⎛∈∀21R ，≤0 C ．021R <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀xx ， D ．xx ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃21R ，≤0 3．已知直线012:1=++y ax l 与直线0)3(:2=+--a y x a l ，若1l ⊥2l ，则a 的值为 A ．1B ．2C ．6D ．1或24．复数i 1i3++等于A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+5．下列函数中，是奇函数且在区间（0,1）内单调递减的是A ．12log y x=B ．1y x =C ．3y x = D ．x y tan =6．方程04ln =-+x x 实根所在的区间为 A. （1，2）B. （2，3）C. （3，4）D. （4，5）7．已知向量a, b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则ba 3-等于A ．2B ．13C ．7D ．38．右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是 矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于 A ．16＋12π B ．24π C ．16+4π D ．12π9．已知函数⎩⎨⎧>--=，，0),2(0),4(log )(5x x f x x x f 则)2013(f 的值为A ．－1B ．－2C ．1D ．210．将函数)2π2cos(-=x y 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是正视图侧视图≤A ．x y 2cos 2= B ．x y 2sin 2= C ．)4π2cos(1-+=x y D ．x y 2cos =11．函数()f x 的导函数)(x f '的图象如右图所示，则()f x 的图象可能是12．已知平面区域(){}22,4M x y x y =+≤≤){}22,4M x y x y =+≤，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧++=42),(22y x m mx y y x N ，，在区域M 上随机取一点A ,点A 落在区域N 内的概率为P(N)，若P(N)∈132(),24p N ππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围为A ．[]0,1 B．⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,1- D ．[]1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知集合{}11M x x =+≤≤}11M x x =+≤，{}1,0,1N =-，那么M N = ．14．执行右边的程序框图，输出的S = ．15．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的 最大值为4，最小值m），（310∈，则a ＝ ．≤ ≥-1-1-1DABCEC '16．已知数列{n a }满足1a ＝l ，n a ＋1n a ＋＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛41（n ∈*N ），记n T ＝1a ＋2a ·4＋3a ·24＋…＋n a ·14-n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得 5nT －4nna ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 为调查民营企业的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法从A 、B 、C 三个城市中，（Ⅰ）求x 、y 的值；（Ⅱ）若从城市A 与C 抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调研，求这2个都来自城市C 的概率. 18．（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的边长为2，△BCD 为正三角形，现将△BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC '=CC '．（Ⅰ）若E 为CC '的中点，证明：//AC '平面BDE ； （Ⅱ）求三棱锥C ABD '-的体积． 19．（本小题满分12分）已知函数x x f sin )(=2()sin (12sin cos sin (0)2f x x x x θθθπ=⋅-+<<=在π)在=x π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C的对边，已知1,()2a b f A ==求角C ．20.（本小题满分12分） 已知等差数列{n a }的各项都不相等，前3项和为18，且1a 、3a 、7a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{na }的通项公式；高☆考♂资♀源€网（Ⅱ）若数列{n b }满足)N (1*+∈=-n a b b n n n ，且12b =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分）已知函数6)(sin )(3x mx x g x x f -==，（m 为实数）． （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4π4πf P ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x g 的单调减区间；（Ⅲ）若1=m ，证明：当0>x 时，)()(x g x f x >>．22.（本小题满分14分）如图，设椭圆C:12222=+b y a x （0a b >>）的离心率2e =，顶点M 、NO 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点. （ⅰ）试判断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由； （ⅱ）求AB的最小值.DC 'ABCEO 2013年南平市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1. B ；2. D ；3. D ；4.C ；5. B ；6. B ；7. C ；8. A ；9. C ； 10. A ； 11. B ； 12. D. 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．{}1,0-； 14．26； 15．41； 16．n.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由题意得23,1428x y ==所以1,42.x y ==………6分（Ⅱ）记从城市A 所抽取的民营企业分别为12,b b ，从城市C 抽取的民营企业分别为123,,c c c ，则从城市A 、C 抽取的5个中再随机选2个进行跟踪式调研的基本事件有()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c共10种. ………9分设选中的2个都来自城市C 的事件为X,则X 包含的基本事件有()()()121323,,,,,c c c c c c3种，因此103)(=X P .故这2个都来自城市C 的概率为310.………12分18.解：（Ⅰ）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE 、C O '， ∵ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点………2分又∵E 为CC '的中点，∴//OE AC '………4分又AC '⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ∴//AC '平面BDE .………6分 （Ⅱ）解法一：在菱形ABCD 中，BD CO ⊥，BD AO ⊥ ∵△BCD 沿BD 折起, ∴BD C O '⊥………7分 又AO C O O '⋂=,∴BD ⊥平面AC O '………8分∵CC OC OC ''===∴C OC '∠＝3π，C O S C AO '='∆211sin 2AOCS AC AO AOC '''=⨯⨯∠= ………10分∴13C ABD B AOC D AOC AOC V V V S DB ''''---=+=⨯ DB S C AO ⨯'∆31＝123＝………12分解法二：在△C CO '内，过C '作C H OC '⊥于H ， 在菱形ABCD 中，BD CO ⊥，又△BCD 沿BD 折起, ∴BD C O '⊥………7分∵CO C O O '⋂= ∴BD ⊥平面CC O ' ∴BD ⊥C H '………8分 又CO BD O ⋂=，∴C H '⊥平面BDC ………9分∵CC OC OC ''===32C H '=………10分∴13C ABD ABD V S C H '-'=⨯ H C S ABD'⨯∆31＝213232⨯＝………12分19.解：（Ⅰ）2()sin (12sin )cos sin sin cos cos sin 2f x x x x x θθθθ=-+=+＝sin(x+θ).………3分因为f(x)在x ＝π时取最小值，所以sin(π+θ)=－1，故sin θ=1. ………5分又0＜θ＜π，所以θ＝2π………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(x+2π)=cosx. ………7分因为f(A)=cosA=2，且A 为△ABC 的角，所以A ＝6π.………8分由正弦定理得 sinB ＝sin b A a=，所以π3B =或2π3B =………10分 当π3B =时，πππππ632C A B =--=--=； 当2π3B =时，π2ππππ.636C A B =--=--= 综上所述，26C C ππ==或………12分20. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()1211132318,262,a d a a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩………2分解得⎩⎨⎧==421a d 或⎩⎨⎧==601a d ………4分∵0d ≠ ∴⎩⎨⎧==421a d ∴22n a n =+．………5分（Ⅱ）由1n n nb b a +-=，∴11n n n b b a ---=()*2,n n ≥∈N………6分∴当n ≥2时，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ ………8分1211n n a a a b --=++++＝1222)1(22⨯+⨯++-+ n n＝)1(2)22(+=+n n n n ………10分又21=b 符合上式∴()111111n b n n n n ==-++………11分1111112231n T n n =-+-++-+ 111n =-+＝1nn +．………12分21. （Ⅰ）解：由题意得所求切线的斜率224cos )4(=='=ππf k ………2分 切点),22,4(πP 则切线方程为)4(2222π-=-x y 即04π12=-+-y x ………4分 （Ⅱ）解：=')(x g 221xm -（1）当m ≤0时，)(x g '≤0，则)(x g 的单调减区间是),(+∞-∞；………6分（2）当0>m 时，令)(x g '＜0，解得m x 2-<或m x 2>，则)(x g 的单调减区间是)2,(m --∞，).,2(+∞m ………8分（Ⅲ）证明：令),0[,sin )(+∞∈-=x x x x h ，0cos 1)(≥-='x x h ，则)(x h 是),0[+∞上的增函数，故当0>x 时，0)0()(=>h x h 所以0sin >-x x ，即)(x f x >………10分令),0[,6sin )(3+∞∈-+=x x x x x φ，12cos )(2-+='x x x φ，令)()(x x u φ'=，),0[+∞∈x ，0sin )(≥-='x x x u ，则)(x u 是),0[+∞上的增函数， 故当0≥x 时，0)0()(=≥u x u ，即0)(≥'x φ，因此)(x φ是),0[+∞上的增函数，则当0>x 时，0)0()(=>φφx ，即06sin 3>-+x x x ，)()(x g x f >综上若m ＝1时，得0>x 时，)()(x g x f x >>．……12分22. 解：（Ⅰ）由2e =得2c a =………1分由顶点M 、N225a b +=………2分又由222a b c =+，解得2,1a b ==所以椭圆C 的方程为2214xy +=………4分（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分 设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ；………6分② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214x y +=联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=………7分 122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+………8分 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++=即0)()1(221212=++++m x x km x x k ………10分 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+， 所以点O 到直线AB的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OBOA AB d ⋅=⋅又因为OBOA ⋅2≤222ABOB OA =+，所以2AB≥ABd ⋅2………13分所以AB≥2AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………14分解法二：（ⅰ）点O 到直线AB 的距离为定值………5分 设()00,y x A ,①当直线OA 的斜率为0时，2=OA ，1=OB ，此时552=⋅=ABOB OA d同理，当直线OA 的斜率不存在时，552=d ………6分②当直线OA 的斜率存在且不为0时，设直线OA 的方程为m kx y +=与椭圆C ：2214x y +=联立，解得144220+=k x ………7分14)1(4)1(222202++=+=k k k x OA ………8分 同理，4)1(4222++=k k OB ………9分 所以451122=+OB OA………10分所以552=⋅ABOBOA ，即552=d综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552………11分（ⅱ）4174)1(202422222+++=+=k k k OB OA AB ………12分 21942012942022242+++=+++=k k k k k ≥5164420=+………13分当且仅当221k k =，即1±=k 时，AB 的最小值是554………14分。