最小二乘法拟合插值法

最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。

因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。

原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。

求近似曲线)(x ϕ。

并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。

近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。

x 必须是单调的。

矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

插值法与最小二乘法

取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1
xn
x3 n1
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念

数值计算插值法与拟合实验

plot(xx,yy,'+')
dy0=-10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;dyn=10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);
plot(xx,m,'ok')
2、
程序：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]';
plot(xx,m,'ok')
第二个方程
程序
x=-5:0.2:5;
y=atan(x);
plot(x,y,'r');
hold on
x1=-5:1:5;
y1=atan(x1);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
dy0=1./(1+25);dyn=1./(1+25);
实验报告三
一、实验目的
通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。
二、实验题目
1、插值效果比较
实验题目：将区间 10等份，对下列函数分别计算插值节点的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与的图形进行比较：
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]';
plot(x,y,'or');hold on
%三.2:1.5;
y1=p1(1)*x1.^3+p1(2)*x1.^2+p1(3)*x1+p1(4);

曲线拟合的最小二乘法

a11(xm ) a22 (xm ) ann (xm ) bm
简写为
(xi ) bi , i 1, 2,..., m
一般计算步骤
(1)计算 A [ j (xi )]mn，其中 i 1, 2, , m, j 1, 2, , n (2)计算ATA, ATb ，形成法方程组ATAx = ATb
30
则法方程组为
3
3
49
x1
x2
33
9
求得法方程组的解为
x1 x2
2.979 1.2259
这也就是超定方程组的最小二乘解。
3.5.3 可线性化模型的最小二乘拟合
例已知观测数据(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6) ，试用最小二乘法求
形如(x) ax b 的经验公式。
xi c3
x
2 i
c3
xi2 xi3
yi xi yi
c1
xi2 c2
xi3 c3
xi4
xi2 yi
3 一般情形
( x) c11( x) c2 2 ( x) cm m ( x),(m n) 1( x) 1 ,2( x) x , 3( x) x2 , ,m ( x) xm1
AT
y
1 x1
1 x2
... ...
1 xn
y2
yn
yi
xi yi
记号指对i从1到n 取和
法方程组
c1n c2 xi yi
c1 xi c2
xi2
xi yi
2 二次拟合、抛物拟合
( x) c1 c2 x c3 x2
作超定方程组
c1
c2 x1
c3
求得法方程组的解为

函数逼近的几种算法及其应用汇总

函数逼近的几种算法及其应用汇总
一、函数逼近的几种算法
1、最小二乘法
最小二乘法是一种基于线性模型的函数逼近算法，它的基本假设是拟合函数的形状可以用线性模型表示，且被拟合数据存在一定的噪声存在，最小二乘法的核心思想就是最小化残差（拟合数据与模型之间的偏差）的平方和来寻找最佳拟合参数。

2、Kriging
Kriging（克里金插值）是一种基于空间相关数据的空间插值算法，它会根据空间相关性分析，通过构建模型，拟合、估计和预测空间数据之间的关系，从而实现函数逼近。

3、K近邻算法
K近邻（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种基于实例学习的分类算法，它通过计算测试实例与训练实例之间的距离，来决定其所属的类别。

K近邻算法也可以用于函数逼近，这种方法无需训练阶段，可以快速的拟合不同的函数，而且拟合函数的过程中也不需要优化参数。

4、神经网络
神经网络是一类用于函数逼近的算法，它通过模拟人脑神经网络的连接模式，在一系列训练数据的基础上，得到一些函数的参数，从而实现函数的拟合和预测。

二、函数逼近算法的应用
1、多元线性回归
多元线性回归利用最小二乘法，可以对多元关系进行拟合。

插值与拟合算法分析

插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。

插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。

本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。

一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。

常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。

这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。

1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。

它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。

拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。

2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。

它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。

相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。

3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。

它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。

样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。

二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。

常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。

这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。

1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。

它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。

最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。

2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。

python b样条曲线最小二乘法

python b样条曲线最小二乘法
b样条曲线是一种常用的曲线插值方法，可以通过给定的离散点集来拟合一条平滑的曲线。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，目标是使拟合曲线与离散点之间的残差平方和最小。

在b样条曲线拟合中，我们首先选择一个合适的节点向量，通常是均匀的或者基于离散点分布的。

然后，我们要求拟合曲线在每个节点上都满足一定的条件，通常是连续性和光滑性。

这样，我们得到了一个线性方程组，可以用最小二乘法求解。

最小二乘法通过最小化残差平方和来确定拟合曲线的参数。

我们定义一个误差函数，将所有离散点到曲线的距离平方求和。

然后，我们将这个误差函数对参数进行求导，得到一组线性方程。

通过求解这个线性方程组，我们可以获得最小化误差函数的参数。

使用最小二乘法拟合b样条曲线时，我们可以通过迭代的方式逐步优化曲线的拟合效果。

每次迭代，我们根据当前的参数估计来计算残差，然后更新参数以减小残差。

重复这个过程，直到达到预定的收敛准则。

最小二乘法拟合b样条曲线在众多应用中都有广泛的应用，如数据拟合、图像处理和计算机辅助设计等。

它可以有效地平滑和插值离散点数据，同时保持曲线的柔顺和连续性。

三维数据插值拟合方法

三维数据插值拟合方法引言：在实际数据处理和分析过程中，经常会遇到缺失或稀疏的数据点，而这些数据点往往对于后续的分析和预测任务是至关重要的。

为了填补这些缺失的数据点，我们可以使用插值拟合方法。

插值拟合方法是通过已知数据点之间的关系来推断未知数据点的值。

本文将重点介绍三维数据插值拟合方法。

一、三维数据插值的基本原理三维数据插值是对三维空间中的数据进行拟合和插值的一种方法。

其基本原理是通过已知数据点之间的关系来推断未知数据点的值。

在三维空间中，数据点通常是通过测量、模拟或其他方式获得的。

为了进行插值拟合，我们需要确定插值函数的形式和参数。

二、常用的三维数据插值方法1. 三维线性插值三维线性插值是最简单和最常用的插值方法之一。

它假设数据点之间的关系是线性的，并利用线性插值公式来计算未知数据点的值。

具体而言，三维线性插值可以通过计算已知数据点之间的直线方程来推断未知数据点的值。

2. 三维多项式插值三维多项式插值是一种更高阶的插值方法，它假设数据点之间的关系可以用多项式函数来描述。

通过拟合多项式函数的系数，我们可以推断未知数据点的值。

常用的三维多项式插值方法包括最小二乘法插值和拉格朗日插值。

3. 三维样条插值三维样条插值是一种基于样条函数的插值方法，它假设数据点之间的关系可以用一组平滑的曲线来描述。

通过拟合样条函数的参数，我们可以推断未知数据点的值。

常用的三维样条插值方法包括自然样条插值和张力样条插值。

三、三维数据插值的应用领域1. 地质勘探在地质勘探中，三维数据插值可以用于推断地下地质结构的分布和性质。

通过对已知数据点的插值拟合，可以得到整个勘探区域的地质模型，从而帮助地质学家进行资源评估和地质灾害预测。

2. 气象预测在气象预测中，三维数据插值可以用于推断大气参数的分布和变化。

通过对已知观测站点的插值拟合，可以得到整个预测区域的气象模型，从而帮助气象学家进行天气预报和灾害预警。

3. 计算机图形学在计算机图形学中，三维数据插值可以用于生成真实感图像和动画。

带插值条件的最小二乘法曲线拟合在油罐计量系统中的应用研究

ＡｂｓｒｃＴｈｔｍａｉａｄｌｏｉｔｎｎｉｅｄｎａｃｍｅｓｒｎｙｔｍｓｅｔｂｓｅａｅｔａｔ：ｅｍａｈｅｔｃｌｍｏｅｆｏｌａｋｏｌｎｙｍｉａｕｉｇｓｓｅｉｓａｉｈｄｂｓｄｏｈｅｓｑａｅｔｏｔｎｅｐｌｔｏｏｄｉｏｎｔｅｌａｔｓｕｒｓｍｅｈｄｗｉｉｔｒｏａｉｎｃｎｔｎ．Ｔｈｏｈａｘｍｐｅｔｅｉｙｔｅａｃｌｔｎｈｉｒｕｇｎｅａｌｏｖｒｆｈｃｌｕａｉｏｒｓｌｓｏｈｓｍｅｈｄｈａｉｈａｃｒｃ．ｅｕｔｆｔｉｔｏｓｈｇｃｕａｙＫｅｒｓ：ｉａｋｍｅｓｒｎｙｗｏｄｏｌｔｎａｕｉｇ；ｌａｔｓａｅｍｅｈｄ；ｉｔｒｏａｉｎｃｎｉｉｎｅｓｑｕｒｔｏｎｅｌｔｏｏｄｔｏｐ
储油量
一
鲁
＿１）
图３带插值条件的最／－１－乘拟合效果（￣３次多项式）
÷× ．４１． × ．０ × ０５＋．）３１×４２０８（．４７２３３５
６５３（）８．２ｔ
（下转第７页）
２１年第６期０１
工业仪表与自动化装置
关系到企业的经济利益。但是由于储油罐容量较大（每个约２００ｍ）计量的精度要求又特别高，０。，所
以储油罐的油量精确计量一直是工业过程测量领域
的一个难题。同一原油的密度与温度呈线性关系：

带插值条件的拟线性最小二乘估计

数学理论与应用
为此，１７文［－］采取各种数学模型进行拟合，本文采取以下的数学模型
Ｙ＝（＋＋）（Ｘ）ａｂＨ — Ｋ＋∑ｌｘＹ，ｘｉｉ）（Ｋ
１１ Байду номын сангаас ｌ＝
这里，确定的是口，是随量，从分（，）（）要参数和６机变服正态布Ⅳ０，＝ｎ
（，１，２） … ，，。ｌＹ）（，，（Ｙ）
．
北京市教育委员会科技发展计划面上项目（Ｍ０９０１０５；Ｋ２０１０２０）北京服装学院大学生训练计划（Ｄ一１００）北京Ｈ０８７；服装学院教育教学改革立项（ＤＧ一９７资助ＺＪ００）收稿日期：１年６２２００月６日
ｐｅｓｏｓｏａｔｑａｅｓｍａｅｗｉｎｅｐｌｔｎｃｎｉｏｓｇｉｅ．Ａｎｅｕｂａｅｒｐｒｆｈａａｔｒｒｓｉｎｆｌｓｕｒｓｅｔｔｔｉｔｒｏａｏｏｄｔｎｉａｎｄｅｓｉｈｉｉｄｔｎｉｓｄｐｏｅｔｏｅｐｒｍｅｅｓｈｙｔｉｐｏｅ．ｓｒｖｄ
Ｊ＝ｌ
ｊ＃ｉ
ｉ＝１，，，。２ … ｓ
这种模型，以理解为在一定意义下，可寻求一条曲线最好地吻合于观测结果（，。，，Ｙ）（ｙ） … ，，，２，（））同时还要求必须经过ｓ点：，Ｋ，，个（，ｊｉ＝１２ … ，，么就不能采取通常意，），，ｓ那义下的最小二乘拟合，此，给出下面的定义。为先