插值法与最小二乘法的区别
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
插值法与最小二乘法
( 5
18
(
4
)(5
18 3
)( )
)
sin(
6
)
6 46 3
( 5
18
(
6
)(5
18 3
)( )
)
sin( 4
)
( 5
18
(
6
)(5
18 4
)( )
)
sin( 3
)
4 64 3
3 63 4
拉格朗日插值多项式程序设计
计算公式(3-5)的程序为二重循环。由内循环（j循环）通
称上式为插值多项式 pn (x) 的插值余项。
设 f (x)在区间 [a, b上] 有直到 n 1阶导数，
x0
,
x1,
, xn 为
项[式a。, b那]上么n对于1任个何互，异有的节点，pn (x) 为满足条件的 n次插值多
Rn (x)
n
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
其中 n1(x) (x xi ), (a,b) 且依赖于
pn (x) a0 a1x a2x2 anxn
满足
pn (xi ) yi (i 0,1, 2, , n)
其中 a0 , a1, , an 均为实数
（3-1） （3-2）
y f (x) 称为被插值函数；pn (x) 称插值多项式；
条件（3-2）为插值条件；x0, x1, , xn 为插值点。其
64
46
用x0 / 6, x1 / 4, x3 / 3为节点，有
sin( 5
18
)
L2
( 5
18
)
(x ( x0
第五章 插值与最小二乘法
第五章插值与最小二乘法5.1 插值问题与插值多项式实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使(5.1.1)就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间.通常，其中是一组在上线性无关的函数族，表示组成的函数空间表示为(5.1.2)这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当时，表示次数不超过n次的多项式集合，，此时(5.1.3)称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示.插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式.讲解：插值多项式就是根据给定n+1个点，求一个n次多项式：使即这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。
当节点互异时由于系数行列式所以解是存在唯一的。
但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。
所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。
5.2 Lagrange插值5.2.1 线性插值与二次插值最简单的插值问题是已知两点及，通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式(5.2.1)显然，满足插值条件，所以就是线性插值.若记则称为与的线性插值基函数.如图5-2所示.于是当n=2，已给三点,称为关于点的二次插值基函数，它满足(5.2.2)的图形见图5-3.它们是满足(5.2.2)的二次插值多项式.满足条件的二次插值多项式可表示为(5.2.3)的图形是通过三点的抛物线.5.2.2 Lagrange插值多项式将n=1及n=2的插值推广到一般情形，考虑通过(n+1)个点，的插值多项式,使(5.2.4)用插值基函数方法可得(5.2.5)其中(5.2.6)称为关于的n次插值基函数，它满足条件显然(5.2.5)得到的插值多项式满足条件(5.2.4)，则称为Lagrange(拉格朗日)插值多项式.引入记号(5.2.7)则于是由(5.2.6)得到的可改写为从而(5.2.4)中的可改为表达式(5.2.8)并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论.定理2.1满足条件(5.2.4)的插值多项式是存在唯一的.证明存在性已由(5.2.5)给出的证明，下面只需证明唯一性.用反证法，假定还有另一个使成立，于是有且，它表明n次多项式有n+1个根这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.5.2.3 插值余项与误差估计若插值区间为,在上有插值多项式，则称为插值余项.定理 2.2设(表示f(x)在上(n+1)阶导数连续)，且节点，则满足条件(5.2.4)的插值多项式对有(5.2.9)这里是(5.2.7)所定义的.证明由插值条件(5.2.4)可知，故对任何x∈有(5.2.10)其中K(x)是依赖于x的待定函数.将x∈看做区间上任一固定点，作函数，显然，且，它表明在上有n+2个零点及x，由Rolle定理可知在上至少有n+1个零点.反复应用Rolle定理，可得在上至少有一个零点ξ∈,使即代入(5.2.10)则得余项表达式(5.2.9).证毕.注意定理中ξ∈依赖于x及点，此定理只在理论上说明ξ存在，实际上仍依赖于x，即使x固定，ξ也无法确定.因此，余项表达式(5.2.9)的准确值是算不出的，只能利用(5.2.9)式做截断误差估计，由可得误差估计(5.2.11)当n=1时可得线性插值的误差估计(5.2.12)当n=2时有二次插值的误差估计(5.2.13)利用余项表达式(5.2.9)，当时，由于，于是有即 (5.2.14) 它表明当时，插值多项式就是它自身，(5.2.14)也给出了插值基函数的性质，特别当k=0时有例5.1已给，，，用线性插值及二次插值计算sin 0.336 7的近似值并估计误差.解由题意知被插函数为[，给定插值点为，，，，，.由(5.2.1)知线性插值函数为当x=0.336 7时其截断误差由(5.2.12)得其中.因f(x)=sin x,f″(x)=-sin x，故于是若用二次插值，在(5.2.3)中取n=2，则得这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样.其截断误差由(5.2.13)得其中于是例5.2 设，试证解由于的线性插值于是例5.3证明,其中是关于点5的插值基函数.解讲解：当n=1及n=2得到的是线性插值和抛物线插值，对于一般情形给定被插值函数的n+1个点，要求可通过n+1个点的插值基函数得到，其中就是由（5.2.6）给出的，它在点的初值为1，其余点上为0，于是有（5.2.5）它显然满足条件就是Legrange插值多项式。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的
差别
多项式插值和最小二乘法拟合是两种常见的数据拟合方法，它们在原理上有着一些差别。
多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数的方法，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的优点是可以精确地拟合数据，但是当数据点数量较多时，多项式插值的计算量会变得非常大，同时过度拟合的风险也会增加。
最小二乘法拟合是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
最小二乘法拟合的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的误差平方和最小。
最小二乘法拟合的优点是可以在一定程度上避免过度拟合的问题，同时计算量也相对较小。
但是最小二乘法拟合的缺点是无法精确地拟合数据，因为它只是通过最小化误差平方和来寻找一个最优解，而不是通过精确地拟合每个数据点来得到一个解。
因此，多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别主要在于它们的目标不同。
多项式插值的目标是精确地拟合每个数据点，而最小二乘法拟合的目标是通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体的数据特点和需求来选择合适的拟
合方法。
如果数据点数量较少且需要精确地拟合每个数据点，那么多项式插值可能是更好的选择；如果数据点数量较多或需要避免过度拟合的问题，那么最小二乘法拟合可能更适合。
计算机数值方法第三章 插值法与最小二乘法.ppt
(3―1)
使其在给定的n+1个互异的插值结点上满足
插值条件
Pn(xi)=yi （i=0,1,…,n） (3―2)
第三章
插值法与最小二乘法
这样的多项式是否存在并且唯一呢?
根据插值条件,代数多项式(3―1)中的各个系
数a0,a1,…,an应满足下列n+1阶线性方程组
2 n Pn ( x0 ) a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n Pn ( x1 ) a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 (3―3) P ( x ) a a x a x2 a xn y n n 0 1 n 2 n n n n
《 计 算 机 数 值 方 法 》
称 l (x)，l (x) 为线性插值基函数 k k＋1
第三章
插值法与最小二乘法
例1: 已知 100 10 ， 121 11 ，求 y 115
代入点斜式插值多项式
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
得 y=10.71428
第三章
插值法与最小二乘法
下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。
定理 设函数f(x)在区间［a,b］上具有n+1阶导数，
Pn(x)为次数不高于n的多项式,
且 Pn(xi)=yi （i=0,1,…,n）
则对插值区间上的任何x,都存在ξ∈(a,b),使得
《 计 算 机 数 值 方 法 》
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)! 其中，n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ( x xi )
第6章 插值与最小二乘法
( 2. 3 )
k = 0, 1 ,⋯, n .
（L 再构造 插值多项式 n(x)是n+1个插值基函数的线性组合）
Ln ( x） f ( x k ) l k ( x )
k 0
n
定理2（Lagrange）插值多项式 设 y f ( x )函数表( xi , f ( x i ) ) ( i 0, 1, ..., n) ( xi xj , 当 i j ) , 则满足插值条件 n ( x i ) f ( xi )， 0,1...n)的插值多项式为 L (i
解决思路：根据 f (x)在已知点的值，求一个足够光滑又比较简
单的函数φ(x)作为 f (x)的近似表达式，然后计算φ(x)在[a,b] 上点
x 处的函数值作为原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。
插 值 法 代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
曲 线 拟 合
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近 似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这 些点上的总偏差量最小，这类方法称为曲线拟合 的最小二乘法。
(1) 设已知y f ( x )函数表( xi , f ( xi )), i 0, 1, ..., n), xi x j ,
当i j , xi [a , b], Ln( x )为满足插值条件的 次插值多项式。 n
一、线性插值与抛物线插值 1、线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数 值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)， 求线性插值 多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( x k ) y k , L1 ( x k 1 ) y k 1 . yk 1 yk L1 ( x ) yk ( ) xk 1 x k x xk
函数逼近中的插值与最小二乘法
函数逼近中的插值与最小二乘法函数逼近是数学中的一个重要概念，它指的是通过一组已知数据点，寻找一个能够较好地拟合这些数据的函数。
在实际应用中，插值和最小二乘法是常用的函数逼近技术。
本文将分析插值和最小二乘法的原理和应用，并比较它们的优缺点。
一、插值法的原理与应用插值法是一种通过已知数据点在给定区间内构造一个新的函数的方法。
具体来说，插值法通过连接已知数据点的折线段或曲线段来生成一个逼近函数。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过一个n次多项式函数来拟合已知的n+1个数据点。
具体来说，拉格朗日插值法首先构造n+1个基本多项式，然后将这些多项式乘以对应数据点的函数值，并进行求和得到插值函数。
拉格朗日插值法的优点在于简单易懂，并且能够精确逼近已知数据点。
但是，当数据点增多时，拉格朗日插值法的计算复杂度较高。
牛顿插值是另一种常用的插值方法。
它基于差商的概念，通过不断递推构造一个n次多项式函数。
具体来说，牛顿插值法首先计算数据点的差商表，然后利用差商表的特性构造插值函数。
与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算复杂度较低，特别适用于大规模数据点的插值问题。
分段线性插值是一种简单且有效的插值方法。
它将插值区间划分为若干小段，并在每个小段上使用线性函数进行插值。
分段线性插值法的优点在于计算简单、易于理解，并且能够较好地逼近所给数据。
然而，由于线性插值的特性，分段线性插值法在数据点密集的区间可能无法获得较高的精度。
二、最小二乘法的原理与应用最小二乘法是一种通过最小化误差函数来确定逼近函数的优化方法。
在函数逼近中，最小二乘法广泛应用于曲线拟合和数据回归。
最小二乘法的核心思想是找到一条曲线或者函数，使得该曲线与已知数据点之间的误差平方和最小。
最小二乘法的应用领域广泛，比如数据拟合、信号处理、图像处理等。
在数据拟合中，最小二乘法可以用于拟合曲线、平面或者高维空间中的数据。
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• 2.构造方法不同 构造插值函数时，要求插值函数过插值 节点a≤ x0 ≤ x1<…< xn ≤b 。 在用最小二乘法求拟合曲线时，不要求 曲线过给定的一组点 ( xi , yi ) 。
插值法与最小二乘法的区别
插值法定义
• 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知 在点a≤ x0 ≤ x1 <…< xn ≤b上的值 y0 , y1 , … yn ， 若存在一简单函数P(x)，使
P ( xi ) = yi (i = 0,1 ~, n)
成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，求插值 函数P(x)的方法成为插值法。 简而言之就是，依据f(x)的数据表插出我们 需要的值
最小二乘法定义
• 关于最小二乘法的一般提法是： 对于给定的一组数据 ( xi , yi ) (i=0,1,…， m)，要求在函数空间Φ=span {ϕ0 , ϕ1 ,⋅ ⋅ ⋅, ϕ n }中 y = S * ( x) ，使其误差平方和 找一个函数
δ
2 2
= ∑ δ = ∑ [ S ( xi ) − yi ] = min
i =0 2பைடு நூலகம்i * 2 i =0
m
m
S ( x )∈ϕ
[ S ( xi ) − yi ]2 ∑
i =0
m
这里 S ( x) = a0ϕ 0 ( x) + a1ϕ1 ( x) + ⋅ ⋅ ⋅ + anϕ n ( x) （n<m） 这就是一般最小二乘法逼近
区别
• 1.两者的前提不同 插值法是在不知道函数y=f(x)解析式，知 道函数在[a,b]区间上一系列点 xi 的函数值 （准确值）的前提下，构造插值函数P(x)来 代替f(x)，来求非插值节点的函数值。 最小二乘法是在知道一组实验数据 ( xi , yi ) （不准确值） 中寻找自变量x和因变量y之 间的函数关系y=F(x)，用拟合曲线S(x)去逼 近实验数据，来描述自变量x和因变量y之间 的函数关系