插值法与最小二乘法
高程测量中常见的数据处理和误差分析方法
高程测量中常见的数据处理和误差分析方法高程测量是地理测量中的一个重要组成部分，广泛应用于工程建设、地质勘探、测绘等领域。
在进行高程测量时，常常会涉及到数据处理和误差分析方法。
本文将介绍一些常见的数据处理方法和误差分析方法。
一、高程测量中的数据处理方法1. 平差法平差法是一种常用的数据处理方法，通过对测量结果进行数学处理，可以得到更精确且一致性较好的测量结果。
在高程测量中，常用的平差方法有最小二乘法、平差方程法等。
最小二乘法通过最小化误差的平方和来确定测量结果，能较好地消除测量误差的影响。
平差方程法则利用平差方程组来求解测量结果，适用于复杂的高程测量问题。
2. 插值法插值法是一种通过已知数据点推算未知位置数据的方法。
在高程测量中，常用的插值方法有反距离权重法、克里金插值法等。
反距离权重法假设与待估点距离越近的已知数据点权重越大，通过加权平均来得到待估点的高程值。
克里金插值法是一种基于统计空间变化模型的插值方法，通过确定半变异函数和克里金方差函数来进行数据插值。
3. 分形法分形法是一种用来描述并分析复杂几何图形的方法，也可以应用于高程数据的处理。
通过测量地理空间中的数据点密集程度和分层级别，可以确定地形的复杂程度和表达地形特征的细节。
分形法可以提供详细的地形信息，并能够准确地描述地形的多尺度变化特征。
二、高程测量中的误差分析方法1. 精度评定精度评定是对高程测量结果准确性的评估。
在进行高程测量前，可以根据仪器精度和样本数据进行精度评定，以确定测量结果的可靠性。
常用的精度评定方法有重复测量法、精度等级法等。
重复测量法通过对同一个目标的多次测量来评估测量结果的可靠性，可以得到多组数据进行对比和分析。
精度等级法通过设定一定的误差限度，对测量结果进行分级评定，以确定其可接受的误差范围。
2. 误差传递分析误差传递分析是用来评估高程测量中各个环节误差对最终结果的影响。
通过对各个环节的误差进行分析和计算，可以确定每个环节对最终测量结果的贡献程度，并进一步确定误差来源和改进措施。
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用
计算方法题目最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用学院机电工程学院专业控制工程姓名徐进学号 1504122120最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用一、应用背景概述在工程实践和科学研究中，常常需要对系统进行某些性能或现象的测试研究，来探求其中的某些内在规律。
一般而言，采用实验的方法获得实验数据，然后经过处理实验数据来表征出目标变量间的相互关系。
在实际的数据测试处理中，不仅需要利用数值计算方法来探求出最终的表征函数关系，而且对于测试过程中的粗大误差数据，可以通过分析观察被测数据与表征目标函数曲线的吻合情况，可以判断出测试过程中含有粗大误差的数据，并加以剔除，以免对后续系统的研究产生干扰和不必要的麻烦。
数据处理和分析中应用较多的是最小二乘法和拉格朗日插值法，这两种数值分析方法是运算简便且应用广泛的数据测试处理表示方法。
本次应用实践，充分考虑两种方法的优势，通过两种方法得到两种拟合曲线，然后通过对两种拟合曲线函数多项式系数相应进行平均值计算，得到整合后的新的多项式。
二、应用方法原理概述①粗大误差粗大误差又称疏忽误差或过失误差，它是由于技术不成熟，测量时不小心或外界的突然干扰（例如突然振动、仪器电源电压的突然变化）等原因造成的。
含有粗大误差的测量数据，常比正常数据相差较大（过大或过小）。
当对某一量值作多次独立的等精度重复测量，如其中个别或少数数据明显地偏大或偏小时，则可怀疑数据中含有粗大误差。
本次应用中，通过被测数据与拟合函数图形进行对比的方法，剔除偏离较大的粗大误差。
②最小二乘法和拉格朗日插值法综合应用原理关于最小二乘法和拉格朗日插值法各自的详细介绍，在这里就不再赘述。
本次应用，主要通过利用最小二乘法和拉格朗日插值法在数值分析中的优点，对其进行融合，得到一种改进的探求拟合目标函数的方法。
其应用原理如下：例如，利用最小二乘法拟合得到的目标函数的多项式为: y=a0+a1x+a2x2+…+a n x n利用拉格朗日插值法得到的目标函数多项式为Y=b0+b1x+b2x2+…+b n x n则结合方法得到的多项式为:简单来说，就是将最小二乘法得到的拟合多项式各自的系数和拉格朗日插值法得到的拟合多项式各自的系数分别相应进行算术平均值计算，得到的各项新系数，构成新的最终拟合目标函数多项式。
最小二乘法
L B L B[0.45 ( B 60)/900]
的大小比较成绩优劣的建议。
上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具 有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式 均满足在 B=75公斤时有 L’=L，则上述各公式化为：
（1）Austin公式：
（2）经典公式： （3）O’ Carroll公式：
九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举 52 109 141 和挺举。 表中给出了到1977年底为止九个 56 120.5 151 重量级的世界纪录。 60 130 161.5
显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重 67.5 141.5 180 成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的 75 157.5 195 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 82.5 170 207.5 因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模 90 180 221 型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录， 110 185 237.5 根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见， 我们不妨取表中的数据为例。 200 255 110以上
K k k k 1 2 3 3
2 3
2 3
L k1 k 2 ( B
k3
) KB
2 3
2 3
显然，K越大则成绩越好，故可用 比赛成绩的优劣。
L LB
来比较选手
模型4（O’ Carroll公式）
经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可 信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’ Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的 公式。O’ Carroll模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a<1 1 k越大成绩越好。因而建议 (2) A=k2Lb, b< 2 L L(B 35) 3 (3) B-Bo =k3根据的大小 L3 来比 较选手成绩的优劣。 假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O’ Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。 根据三条假设可 得L=k(B-B0 故有： L
凸轮曲线优化方法
凸轮曲线优化方法主要有两种：三次样条曲线拟合插值法和最小二乘法拟合插值法。
三次样条曲线拟合插值法的插值曲线能够通过所有已知的离散点，但是只能反映被插值函数的局部性质。
因为该曲线必须通过给出的离散点，可能造成两个离散点之间的曲率变化过快，曲线不够平滑，因此适合凸轮磨削之后的局部优化，较多应用于凸轮磨的修整系统。
最小二乘法拟合插值法的拟合曲线不能通过所给的离散点，只要求在每个离散点处偏差的平方和最小，反映了被插值函数的总体趋势。
使用这种方法拟合得到的曲线可以过滤掉原始升程数据中的部分误差，既能反映数据的总体分布，又不会出现局部较大的波动，更能反映被插值函数的特性，因此适合在凸轮磨削之前进行加工过程曲线的优化。
在选择优化方法时，需要综合考虑具体的应用场景和需求，以达到最佳的效果。
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取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1
xn
x3 n1
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
18
一、差商(均差)
定义1. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n
6 (x xk )(x xk1)(x xk2 )
, x [xk , xk2 ].
|R2 ( x)|
1 max |
6 axb
f
(
x)
|
max
xk xxk2
|
(
x
xk
)( x
xk
1 )( x
xk 2
)
|
1 6
M
3
2
3 9
h3
3 27
M 3h3
10
例: 设f (x)在各节点处的数据为
i0
1
2
因此 则
若f (x)在[a,b]上连续
lim
h0
L1
(
x)
f (x)
11 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 00 -0.2-0.2 -0.4-0.4 -0.6-0.6 -0.8-0.8 -1 -1
-4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 34 4 4
x0 )(0.36 x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(0.36 ( x2
x0 )(0.36 x0 )( x2
x1 ) x1 )
0.36686
13
f (0.42)
L(0) 2
(0.42)
y0
(0.42 ( x0
x1 x1
)(0.42 )( x0
x2
x2 )
)
y1
(0.42 ( x1
L(1k )( x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
k 0,1,,n 1
11
f (0.36) L(10)(0.36)
0.301630.36 0.4 0.3 0.4
0.410750.36 0.3 0.4 0.3
0.36711
f (0.42)
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk , xk 1 ],且与x有关
|R1 ( x)|
1 max |
2 axb
f
(x) | max xk xxk1
| (x
xk )(x xk1) |
1 2
M2
1 4
h2
1 8
M 2h2
其中
M2
max |
a xb
f
(
x)
|,
h
max
0k n1
hk
,
hk
xk1 xk.
16
考虑多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 )(x xn1 )
显然线性无关， 因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函数值为 fi , i 0,1,, n
插值条件为 P(xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
( x*)
还是
y*
L(k ) 2
( x*)
7
一般
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk ,则
y*
L(k 1) 2
( x*)
k 1, 2, , n 1
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk 1 ,则
y* L(2k) (x*)
k 1, , n 2
若x* x1 (含x* x0 ),则
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k i0
( xi
x0 )(xi
f (xi ) xi1 )( xi
xi1 )(xi
xk
20
)
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f [x0 , x1 , x2 ] f [x0 , x2 , x1 ] f [x2 , x1 , x0 ]
若xk x* xk 1
则 y* L1( x*) L(1k )( x*)
yk
x * xk 1 xk xk 1
yk 1
x * xk xk 1 xk
内插
若x* x0
ห้องสมุดไป่ตู้外插
取
y* L1( x*)
L(10)( x*)
y0
x * x1 x0 x1
y1
x * x0 x1 x0
若x* xn
外插
2. 分段线性插值的误差估计
由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为
Rn (x) f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
那么分段线性插值 L1(x)的余项为
R1(x) f (x) L1(x) f ( x) L(1k )( x)
f
(
2
)
(
x
构造Lagrange二次插值
L(2k ) (x) yklk (x) yk1lk1(x) yk2lk2 (x) k 0, 2, , n 6 2
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
xk xk
)(x xk2 ) )(xk1 xk2
三、分段低次插值的算法设计(略)
15
§ 3.4 Newton插值法
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2,,n
形式上太复杂,计算量很大, 新增一个节点时, 每个基函数必须 重新计算, 人们希望增加一个节点时, 前面的计算结果对于后 来的计算仍有用. 为此, 下面介绍一种具有结果继承性的插值 法--- Newton插值法
x0 x0
)( )(
0.42 x1
x2
x2 )
)
y2
(0.42 ( x2
x0 )(0.42 x1 ) x0 )( x2 x1 )
0.43281
f (0.75)
L(3) 2
(0.75)
y3
(0.75 ( x3
x4 )(0.75 x5 ) x4 )( x3 x5 )
y4
(0.75 ( x4
L(11 ) (0.42)
0.410750.42 0.55 0.4 0.55
0.578150.42 0.4 0.55 0.4
0.43307
同理
f (0.75) L(13)(0.75) 0.81448
f (0.98) L(14)(0.98) 1.10051
f (1.1)
L(14 ) ( 1.1)
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36,0.42,0.75,0.98,1.1处的近似值(用分段线性、二 次插值)，
解: (1). 分段线性Lagrange插值的公式为
x3 )(0.75 x5 )( x4
x5 ) x5 )
y5
(0.75 ( x5
x3 )(0.75 x4 ) x3 )( x5 x4 )
0.81343
f (0.98)
L(3) 2
(0.98)
1.09784
f (1.1)
L(3) 2
(1.1)
1.2514513
分段低次Lagrange插值的特点 计算较容易 可以解决Runge现象 但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点 插值多项式在节点处不可导
5
二、分段二次Lagrange插值 1. 分段二次插值的构造