第一章 数据处理(插值法)资料
插值法
自然表面的拟合要求
●多数自然现象的分布比较复杂，即比一次 趋势面生成的倾斜面更加复杂。因此，拟合 更加复杂的面要求用更高次的趋势面模型。 比如三次趋势面模型。
z x, y b0 b1 x b2 y b3 x b4 xy b5 y b6 x b7 x y b8 xy b9 y
空间插值
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲 面，它包括内插和外推两种算法。前者是通过已知点的数据计 算同一区域内其他未知点的数据，后者则是通过已知区域的数 据，求未知区域的数据。通常，在以下几种情况下要做空间插 值： ●现有数据的分辨率不够，如遥感图象从一种分辨率转换到另 一种分辨率。 ●现有数据的结构与所需结构不同，如将栅格数据转换到TIN 数据。 ●现有数据没有完全覆盖整个区域，如只有一些离散点数据。 需要进行空间插值处理的原始数据包括：航片/卫片、野 外测量采样数据、等值线图等。
插值方法(克里金插值)等。
一、边界内插
■首先假定任何重要的变化都 发生在区域的边界上，边界内 的变化则是均匀的、同质的。
■边界内插的方法之一是泰森 多边形法。 ■泰森多边形法的基本原理是， 未知点的最佳值由最邻近的观 测值产生。
二、趋势面分析法定义
趋势面分析法是用一定的函数对空间现象
的空间分布特征进行分析，用函数所代表的数
学表面来逼近(或拟合)现象的实际表面——这
种数学表面叫趋势面。
总之，趋势面分析就是用多项式方程来近
似的拟合已知数据的点（Davis1986，Bailey
等1995）。利用已知数据建立的拟合方程叫趋
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程摘要：1.插值法的基本概念和应用场景2.插值法的计算步骤和注意事项3.插值法在财务管理中的实际运用案例4.插值法在实际问题中的优缺点分析正文：插值法是一种数学方法，通过在已知数据点之间构建插值函数来逼近或预测未知数据。
在财务管理等领域具有广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍插值法的计算步骤，并通过一个实际案例来说明其应用。
一、插值法的基本概念和应用场景插值法是基于已有的数据点（如(x1, y1)，(x2, y2)，(xn, yn)）来构造一个插值函数，以便在未知点处预测函数值。
插值法可以应用于诸如财务管理等领域，解决诸如净现值计算等问题。
二、插值法的计算步骤和注意事项1.确定插值函数：根据已知数据点选择合适的插值函数，如线性插值、二次插值等。
2.构建插值表：将已知数据点代入插值函数，计算出对应的函数值，并构建插值表。
3.插入未知点：将要求的点的横坐标x代入插值函数，得到所求的函数值。
4.注意事项：在选择插值函数时，应注意数据的分布情况，避免出现龙格现象；同时，插值表的密度和精度也直接影响插值结果的准确性。
三、插值法在财务管理中的实际运用案例假设我们有一个投资项目，其净现值随折现率变化而变化。
已知当折现率为12%时，净现值为116530；当折现率为10%时，净现值为121765。
我们可以使用插值法来计算其他折现率下的净现值。
四、插值法在实际问题中的优缺点分析优点：插值法简单易行，计算速度快，适用于大量数据处理。
缺点：插值法的精度受限于已知数据点的质量和分布，以及所选插值函数的类型。
在某些情况下，插值法可能无法很好地逼近真实函数。
总之，插值法作为一种有效的数学方法，在财务管理等领域具有广泛的应用。
通过掌握插值法的计算步骤和注意事项，我们可以更好地解决实际问题。
数据插值方法范文
数据插值方法范文数据插值是指利用已知数据点来估算或预测未知数据点的方法。
在实际应用中，数据插值常常用于填补缺失数据、估算缺失数据以及生成光滑曲线等任务。
本文将介绍常用的数据插值方法。
1.线性插值方法：线性插值是数据插值的一种简单且常用方法。
它假设在两个已知数据点之间的未知数据点的取值是线性变化的。
线性插值的计算公式可以表示为：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)，其中x1和x2是已知数据点的位置，y1和y2是对应的取值，x是待插值点的位置，y是对应的待插值的值。
2.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值方法是一种高次插值方法。
它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点，然后利用多项式进行插值。
拉格朗日插值的计算公式可以表示为：y = Σ(yi * L(xi))，其中xi和yi是已知数据点的位置和取值，L(xi)是拉格朗日插值多项式的系数。
3.牛顿插值方法：牛顿插值方法也是一种高次插值方法。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构造插值多项式。
牛顿插值的计算公式可以表示为：y=Σ(Di*ωi)，其中Di是差商，ωi是权重。
牛顿插值可以通过迭代计算差商并更新权重来求解。
4.三次样条插值方法：三次样条插值方法是一种光滑插值方法，其主要思想是以每两个已知数据点为节点，通过拟合三次多项式来进行插值。
三次样条插值的计算公式可以表示为：S(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3，其中ai、bi、ci、di是多项式的系数，xi是已知数据点的位置。
5.克里金插值方法：克里金插值方法是一种空间插值方法，主要用于地质学、气象学等领域。
它假设未知点的取值是由已知点的取值通过一定的权重加权求和得到的。
克里金插值的计算公式可以表示为：Z(x)=Σ(λi*Zi)，其中Z(x)是待插值点的取值，Zi是已知数据点的取值，λi是权重。
除了以上介绍的几种常用的数据插值方法外，还有一些其他的插值方法，如最邻近插值、反距离权重插值、径向基函数插值等。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
补齐数据的方法
补齐数据的方法如何使用插值法补齐数据在数据分析和处理中，经常会遇到数据缺失的情况。
这时候，我们需要使用插值法来补齐数据。
插值法是一种通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
下面介绍几种常用的插值方法。
1. 线性插值法线性插值法是一种简单的插值方法，它假设未知数据点之间的变化是线性的。
具体来说，线性插值法通过已知数据点之间的直线来推断未知数据点的值。
例如，如果我们知道某个函数在点x1和x2处的值为y1和y2，那么我们可以通过以下公式来推断在x3处的值： y3 = y1 + (y2 - y1) * (x3 - x1) / (x2 - x1)2. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
它假设未知数据点之间的变化可以用一个多项式来描述。
具体来说，拉格朗日插值法通过已知数据点来构造一个多项式，然后用这个多项式来推断未知数据点的值。
例如，如果我们知道某个函数在点x1、x2和x3处的值为y1、y2和y3，那么我们可以通过以下公式来推断在x4处的值： y4 = L(x4) * y1 + L(x4) * y2 + L(x4) * y3其中，L(x)是拉格朗日插值多项式，它的表达式为：L(x) = (x - x2) * (x - x3) / ((x1 - x2) * (x1 - x3)) + (x - x1) * (x - x3) / ((x2 - x1) * (x2 - x3)) + (x - x1) * (x - x2) / ((x3 - x1) * (x3 - x2))3. 样条插值法样条插值法是一种基于分段函数的插值方法。
它假设未知数据点之间的变化可以用多个分段函数来描述。
具体来说，样条插值法通过已知数据点来构造一组分段函数，然后用这些分段函数来推断未知数据点的值。
例如，如果我们知道某个函数在点x1、x2和x3处的值为y1、y2和y3，那么我们可以通过以下公式来推断在x4处的值： y4 = S(x4)其中，S(x)是样条插值函数，它由多个分段函数组成。
数值分析插值法范文
数值分析插值法范文数值分析是一门研究利用数值方法解决实际问题的学科，它涵盖了数值计算、数值逼近、数值解法等内容。
在数值分析中，插值方法是一种重要的数学技术，用于从给定的数据点集推断出函数的值。
本文将详细介绍插值法的基本原理、常用插值方法以及应用领域等内容。
一、插值法的基本原理插值法是利用已知的数据点集构造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据吻合较好。
插值法的基本原理是，假设已知数据点的函数值是连续变化的，我们可以通过构造一个满足这种连续性的函数，将数据点连接起来。
当得到这个函数后，我们可以通过输入任意的$x$值，得到相应的$y$值，从而实现对函数的近似。
插值法的基本步骤如下：1.给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i$是已知的数据点的$x$值，$y_i$是对应的函数值。
2.构造一个函数$f(x)$，使得$f(x_i)=y_i$，即函数通过已知数据点。
3.根据实际需要选择合适的插值方法，使用已知数据点构造函数，得到一个满足插值要求的近似函数。
4.对于输入的任意$x$值，利用插值函数求出相应的$y$值，从而实现对函数的近似估计。
二、常用插值方法1.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种使用拉格朗日多项式进行插值的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$其中$L(x)$为插值函数，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
2.牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商来表示插值多项式的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，牛顿插值多项式可以表示为：$$N(x) = y_0 + \sum_{i=1}^{n} f[x_0, x_1, ..., x_i]\prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)$$其中$N(x)$为插值函数，$f[x_0,x_1,...,x_i]$是差商，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。
插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。
在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。
线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。
如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。
线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。
但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。
除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。
插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。
在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。
第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。
在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。
插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。
最简单的插值方法之一是线性插值法。
在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。
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特点：
基函数
l( k )
x xk 1 x xk , l( k 1) xk xk 1 xk 1 xk
L1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
2018/10/25
y
x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
y x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
(10.13 13.324) 103 (10.13 9.7981) 103 0.0848 0.0897 0.0853W / (m K ) 3 3 (9.7981 13.324) 10 (13.324 9.7981) 10
Nn ( x0 ) f ( x0 )
Nn ( x0 ) f ( x0 ) a0
a0 f ( x0 )
Nn ( x1 ) f ( x1 )
即 r ( xi ) 0 将有n+1个零点，由此可断定 r ( xi ) 0
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
用 Pn ( x) 近似代替 f ( x) ，除了在插值节点没有误差外，在其 它点上一般是存在有误差的，记截断误差 插值余项
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
L1 ( xk ) yk L1 ( xk 1 ) yk 1
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2018/10/25
化工应用数学 第一章
（1）线性插值
y L1 ( x) 几何意义：用通过两点 ( xk , yk ) ( xk 1 , yk 1 ) 的直线来
近似表示 y f ( x) 。
y L1 ( x) 表达式可由两点公式给出
几何意义：用通过三点 ( xk 1, yk 1),( xk , yk ),( xk 1, yk 1)的抛物线来 近似表示函数 y f ( x) 。
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 和线性插值一样，可以采用插值基函数的方法构造 L2 ( x) 需满足以下两个条件： 基本多项式为二次多项式；
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 基函数
1 lk 1 ( x) ( x xk )( x xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) lk ( x) 1 ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
二阶差商
二阶差商是一阶差商的差商。
f [ x1 , x2 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0
2018/10/25
k阶差商
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
5
化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.2 拉格朗日插值
（1）线性插值
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
n 1
假定 y f ( x) 已知区间[ xk , xk 1 ] 端点值 yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 ) 求线性插值多项式 L1 ( x ) 使满足条件
值的 n+1 个已知点上，建立 一条函数多项式曲线 Pn ( x) ， 使它严格通过这些已知函数点， 以此多项式曲线来近似原函数
曲线 f ( x) 。
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
节点上 节点以外 插值函数的唯一性？
P n ( xi ) f ( xi )
用二次插值计算
sin 0.3367 L2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 0.330374 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) y2 y3 ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x2 )
(372 360)(372 379)(372 413) (372 341)(372 379)(372 413) 0.0853 0.0774 (341 360)(341 379)(341 413) (360 341)(360 379)(360 413)
(372 341)(372 360)(372 413) (372 341)(372 360)(372 379) 0.0699 0.0618 (379 341)(379 360)(379 413) (413 341)(413 360)(413 379)
有 n+1 个互异点，节点
的函数值
，建立一个次数不超过n的代数多
项式。
P n ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
使满足
2018/10/2
P n ( xi ) yi
(i 0,1, , n)
2
化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
几何意义：在给定函数节点
解：由题意得
x0 0.32, y0 0.314567; x1 0.34, y1 0.333487; x2 0.36, y2 0.352274
用线性插值计算时，由线性插值可得
sin 0.3367 L1 ( x) y x x x1 x y0 0 y1 0.330365 x1 x0 x0 x1
n次多项式余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
插值多项式的截断误差
2018/10/25
M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其插值基函数可根据因式分解定理求出。
lk 1 ( xk ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 1
lk 1 ( x) A( x xk )( x xk 1 )
A
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1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
(i 0,1, , n)
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
y1 Pn ( x) 假设有两个这样的插值函数均满足插值条件，
y2 qn ( x) , 那么对于 r ( x) Pn ( x) qn ( x)
r ( xi ) 0
i 0,1, 2, , n
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
f [ x0 , xk ]
f ( xk ) f ( x0 ) xk x0
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
又引入符号
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
（2）差商的性质
f [ x0 , x1 , , xk ]
j 0 k
f (x j ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
（2）差商的性质
导 数
2018/10/25 21
化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（3）牛顿插值公式及其余项 引入差商的概念后，就可以用差商表示牛顿多项式的系数。
Nn ( xi ) f ( xi )
ai
Nn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1)
(n)
n次插值多项式可表示为
Ln ( x ) yk lk ( n ) ( x )
k 0
n
y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
拉朗格朗日多项式
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值 例： 已知丙烷在如下温度、压力下的导热系数数据。
2018/10/25
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
L3 ( x) ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) ( x x0 )( x x2 )( x x3 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 )
化工应用数学 第一章
第一章 数据处理
1.1 插值法 1.2 数值微分 1.3 数值积分
*代数精度、复化求积公式 *线性最小二乘法 *拉格朗日插值法、牛顿插值法
1.4 最小二乘曲线拟合