插值法与最小二乘拟合
带插值条件的移动最小二乘曲线拟合
带插值条件的移动最小二乘曲线拟合在数据拟合中，最小二乘法是一种广泛使用的方法。
它通过最小化误差的平方和来确定模型的参数。
但是，在许多实际场景中，数据可能包含噪声或坏点，最小二乘法无法准确地拟合这些数据。
在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。
移动最小二乘法是一种在数据上实现局部拟合的方法。
通过选择一个移动窗口大小来限制拟合曲线的局部性质，移动最小二乘法可以在每个位置上生成一个近似曲线。
然而，在某些情况下，通过简单的移动最小二乘法拟合曲线可能会过于平滑或过于不光滑，因此不适合应用于某些情况下。
在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。
这种方法引入了插值条件，以控制拟合曲线的平滑程度。
所谓插值条件，是指在拟合的每个位置上，将拟合曲线与原始数据的值相匹配。
这使得生成的曲线不会跳跃或突变，从而实现更顺滑的过渡。
根据带插值条件的移动最小二乘曲线拟合的过程，可以将其划分为以下步骤：1. 定义拟合窗口大小和拟合阶数在整个数据集中选择一个拟合窗口，将其定义为每个位置需要拟合的数据点的数量。
这个窗口大小可以随着数据间隔的大小而变化，并且可以根据拟合任务的特殊性质进行自定义。
另外，需要选择一个拟合阶数，该阶数定义了用于生成拟合曲线的多项式的次数。
2. 计算每个位置上的拟合参数对于每个移动窗口，可以使用最小二乘法计算多项式系数（即拟合参数），以生成一组拟合曲线。
这些拟合参数是通过求解以下矩阵方程组来获得的：$ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} w_i(x_j-x)^2a_{i+j}=\sum_{i=0}^{n}w_iy_i(x_i-x)^k$在这个方程组中，为了控制拟合的局部性质，只需要考虑在窗口内的数据。
同时，通过加权最小二乘法可以保证使用拟合参数产生的拟合数据与原始数据契合得更好。
在上述方程组中，$x$ 是当前拟合位置，$x_i$ 是在拟合窗口范围内的数据点的位置, $y_i$ 是数据点的值,$w_i$ 是加权系数, $m$ 是拟合阶数， $n$ 是窗口大小。
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的
差别
多项式插值和最小二乘法拟合是两种常见的数据拟合方法，它们在原理上有着一些差别。
多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数的方法，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的优点是可以精确地拟合数据，但是当数据点数量较多时，多项式插值的计算量会变得非常大，同时过度拟合的风险也会增加。
最小二乘法拟合是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
最小二乘法拟合的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的误差平方和最小。
最小二乘法拟合的优点是可以在一定程度上避免过度拟合的问题，同时计算量也相对较小。
但是最小二乘法拟合的缺点是无法精确地拟合数据，因为它只是通过最小化误差平方和来寻找一个最优解，而不是通过精确地拟合每个数据点来得到一个解。
因此，多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别主要在于它们的目标不同。
多项式插值的目标是精确地拟合每个数据点，而最小二乘法拟合的目标是通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体的数据特点和需求来选择合适的拟
合方法。
如果数据点数量较少且需要精确地拟合每个数据点，那么多项式插值可能是更好的选择；如果数据点数量较多或需要避免过度拟合的问题，那么最小二乘法拟合可能更适合。
最小二乘曲面拟合插值法
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
第11章 函数插值与最小二乘拟合
第11章 函数插值与最小二乘拟合一、 插值的基本概念设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，已知它在[a,b]上n+1 个互不相同的点x 0、x 1、x 2、…、x n 处的函数值为y 0、y 1、y 2、…、y n 。
如果多项式P(x)在点x k 上满足P(x k )=y k (k=0,1,2,…,n)，则称P(x)是函数y=f(x)的插值多项式，x k 称为插值点，包含插值节点的区间[a,b]叫插值区间，函数y=f(x)叫做被插值函数。
在区间[a,b]上用多项式P(x)逼近函数y=f(x)，在插值点x k 上有f(x k )= P(x k )，此外在其它点上都可能有误差，记误差项为R(x),R(x)=f(x)－P(x)，R(x)是插值多项式的余项，表示用P(x)近似f(x)的截断误差大小。
一般地，|R(x)|越小，近似程度就越好。
P(x)＝A 0+A 1x+A 2x 2+……。
二、拉格朗日插值多项式 1．线性插值已知函数f(x)在区间[x 0，x 1]两端点上对应的函数值分别为y 0=f(x 0)，y 1=f(x 1)即已知点(x 0，y 0) 与(x 1，y 1)，试求x 对应的函数y 值。
用图示的直线来作近似，其直线方程为：)()(0019101x x x x y y y x P y ---+== 上式可变形为：101001011)(y x x x x y x x x x x P y --+--==线性插值多项式P 1(x)是由两个关于x 的线性函数 1010)(x x x x x l --=、101)(x x x x x l --=的线性组合，其中)(0x l 、)(1x l 称为线性插值基函数，其系数分别是函数值y 0和y 1,即线性插值函数可写为：1100)()(y x l y x l y +=,其中)(0x l 、)(1x l 在节点上的函数值为：)(00x l =1，)(10x l =0；)(01x l =0，)(11x x l =1例1：求lg12的近似值 解：已知y=lgx 的值为（10,1），（20,1.3010）即x 0=10,y 0=1,x 1=20,y 1=1.3010201020)(0--=x x l 102010)(1--=x x l则有：1100)()(y x l y x l y +==1×201020--x +1.3010×102010--x=0.0301x+0.6990当x=12时,有y(12)=0.0301×12+0.6990=1.0602 2.二次插值已知三点(x 0, y 0)，(x 1, y 1)， (x 2, y 2)，试求x 对应的函数y 值，即二次插值多项式（用一条抛物线逼近函数y=f(x)）：y=P 2(x)＝A 0+A 1x+A 2x 2y=P 2(x)=y 0l 0(x)+y 1l 1 (x)+y 2l 2(x) 其中基函数为：))(())(()(2010210x x x x x x x x x l ----=))(())(()(2101201x x x x x x x x x l ----=))(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----=满足：（1）它们都是二次函数；（2）)(00x l =1, )(10x l =0, )(20x l =0；)(01x l =0，)(11x l =1，)(21x l =0；)(02x l =0，)(12x l =0，)(22x l =1。
2 多项式插值与最小二乘拟合
n 1 ( x) 尽可能小！
(3) 对于不超过n次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！
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2 拉格朗日(Lagrange)插值 定义： 设n次多项式lj(x) ( 满足 j 0 , 1 , 2 , , n )
7
则 ( t ) 以 x , x , x , x 为零点， 0 1 n
由罗尔定理可知， (n1) (t)在(a,b)内至少有一个零点，记作 即
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，
( ) f ( ) K ( x )( n 1 ) ! 0
( n 1 ) ( n 1 )
f (n1)( ) K (x ) (n1 )!
得证！ #
(a ,b )且依赖于 其中
x ，
注： M n 1 (1) 若 M max f ( x ) , 则 R ( x ) ( x ) ; n n 1
a x b
( n 1 )!
(2) 在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近，以使
则称 { 为[a,b]上的线性无关函数系。 ( x ) | k 0 , 1 , 2 , } k
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代数(多项式)插值问题
最小二乘拟合问题
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代数(多项式)插值问题
1、概述； 2、拉格朗日插值；
3、分段插值
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1 代数插值概述 取函数空间为不超过n阶的多项式集合 Φ n ，这样的插值问题称 x ) Φ 为代数(多项式)插值问题，即求 p n( n ，
则相应的问题称为插值问题，上述条件称为插值条件， p(x) —— 插值函数， x —— 插值节点； i 0 , 1 , , n ) i( 若要求
最小二乘法拟合插值法精品PPT课件
7
7
1
Xi
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Xi
2
i 1 i 1
i 1
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7XiXi 27Xi 3i 1 i 1
i 1
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Xi 2
7
Xi 3
Xi
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i 1
i 1
i 1
步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7 Yi
i 1
7 YiXi
i 1
7
YiXi
2
i 1
步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
最小二乘法拟合插值法
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
9
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
第3章插值法与最小二乘法1_
2 n P ( x ) a a x a x a x --------(2) n 0 1 2 n
且满足
P ( x ) y i 0 , 1 , 2 , , n --------(3) n i i
8
即多项式 P ( x ) 的系数 a , a , a , , a 满足线性 n 0 1 2 n
§ 3.7 数据拟合
1
本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法
本章作业
P122.
2. 5. 19, 20 ,
10. 11. 16. 25. 27.
2
为了计算函数值或分析函数的性态, 必须首先产 生函数可计算的近似式. 函数的插值与数据拟合的
最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数
据建立连续模型,为各种非有理函数提供好的逼近,
使它们既能达到精度要求, 又使计算量尽可能小. 插
并 且 用 P () x 近 似 代 替 fx () .
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数 P ( x ) 为函数 f( x ) 的插值函数
点 x 0 , 1 , 2 , ,n ,称为插值节点 i ,i
区间 [a, b]称为插值区间
如函数 y sin x , 若给定 [ 0 , ] 上 5 个等分点
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科学实验，统计分析，获得大量数据
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
xn
(n很大)
yn
确定y与x之间的近似表达式
方法一 插值。几何上，插值曲线经过所有点
方法二 曲线拟合。求一连续曲线y ( x), 使得
n
误差Q
[ ( xi )
i0
yi
]2达到最小或Q＝max 0 i n
y1
a0
a1 xn
a
2
x
2 n
an
x
n n
yn
x0 x0n
1
x1
x1n
x0
xn
x
n n
x
n 0
11
x1
xn
(x j
0i jn
xi ) 0
x1n
x
n n
4
结论 给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值y0,y1,…,yn,则满足插值条件(4.2)的n次插值多项式Pn(x)是存在且唯一的.
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
6
注意
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1) !
n
1
(
x),
• 余项表达式仅当 存在时才能应f (用n，1) (且x是) 唯一的。
• 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。
• 若有
max
a xb
f,则(n截1断)(误x差) 限是Mn1
(4.2)
称y=(x)为被插值函数; 称P(x)为插值函数; 称x0,x1 ,…,xn为插值节点; 称式(4.2)为插值条件; 寻求插值函数P(x)的 方法称为插值方法.
在构造插值函数时, 函数类P的不同选取, 对应不同的插值方法, 这里主要讨论函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.
2
x
y = f (x)
节点上的线性 插值基函数：
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
3
用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若Pn(x) Pn ,则 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn
其系数行列式为
1 1 D 1
是由n+1个系数唯一确定的.若Pn(x)满足插值条件(4.2),
则有
a0
a1 x0
a
2
x
2 0
an
x
n 0
y0
a
0
a1 x1 a2 x12 an x1n
n
1
(
x)
(4.4)
其中(a,b)且与x有关.
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
分析：
要证 Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1( x), 其中
(a, b).
因 为 (a, b)不 确 定 ，用Rolle定 理, 且 采 用 构 造 法 。
求线性插值
L1 ( xk ) yk , L1 ( xk1 ) yk1 .
L1( x )
yk
yk 1 yk xk 1 xk
( x xk )
或
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
线性函数
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
x xk xk1 xk
若f(x)为次数不高于n次的多项式,
则f(n+1)(ξ) =0,
从而Rn(x)=0.
7
4.1.3 拉格朗日(Lagrange)插值
一、线性插值与抛物线插值
1、线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数 值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
多项式L1(x ) ，使其满足
x y = L1(x)
0
xk
xyk+1
点y(xk , Lyk)1的(与x几()x何k+意1, 义yk—+1)—的过直两线
L1(x)是两个线性函数的线性 组合
称为节点上线性插值基函数
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
8
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
•
(xi, yi)
多项式插值,从几何上看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的 n次代数曲线y=Pn(x)作为(x)的近似.
0
a=x0 x1 x2 x3
y
xn=b
y = p(x)
曲线 P ( x) 近似 f ( x)
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？ （4）P (x)是否收敛于 f ( x) ？
即,(t)在[a,b]至少有由n+R2o个lle零定点理.可知(t)在[a,b]至少有n+1个零点,
反复应用Rolle定理知(n+1)(t)在[a,b]至少有1个零点,
于是
0=(n+1)()=(n+1)()
因而有
K ( x) f (n1) ( ) ,
(n 1)!
-K(x) (n+1)!
所以
Rn (x)
Rn( x)
Байду номын сангаас
M n1 (n 1)!
n 1(
x
)
.
n
n1(x) ( x xk ) k0
从而 | Rn ( x) | 的大小与 Mn1和 | n1( x) | 有关，因此在 n 和 x [a, b]
给定的情况下，n 1个插值节点的选择应使 |n1( x) | 尽可能小。
• n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。
( xi )
yi
达最
小。
1
4.1 多项式插值
设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个不同点 a x0 < x1 < … < xn b
已知f(xk)=yk(k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一函数P(x)作为(x)的近似表达式,使满足
P(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,…,n