最小二乘法曲线拟合 原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。

因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。

原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。

求近似曲线)(x ϕ。

并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。

近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。

x必须是单调的。

矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。

polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)[y,DELTA]=polyval(p,x,s)y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。

它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。

则Y DELTA将至少包含50%的预测值。

如下给定数据的拟合曲线：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。

解：MATLAB程序如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')运行结果如图1计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560图1 最小二乘法曲线拟合示例对比检验拟合的有效性：例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。

在MATLAB中输入如下代码：clearx=0:0.1:pi;y=sin(x);[p,mu]=polyfit(x,y,9)x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);%实际曲线y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，%需要注意的是polyval（）返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')运行结果：p =0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.00001.0000 0.0000mu =R: [10x10 double]df: 22normr: 1.6178e-07MATLAB的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合(Solve nonlinear curve-fitting (data-fitting) problems in least-squares sense)。

调用格式：x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)x = lsqcurvefit(problem)[x,resnorm] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =x0为初始解向量;xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ];options为指定的优化参数;fun为拟合函数，其定义方式为:x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)，其中myfun已定义为 function F = myfun(x,xdata)F = … % 计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同;resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和; residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差;exitflag为终止迭代的条件;output为输出的优化信息;lambda为解x处的Lagrange乘子;jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。

例：lsqcurvefit()优化程序Data = ...[0.0000 5.89550.1000 3.56390.2000 2.51730.3000 1.97900.4000 1.89900.5000 1.39380.6000 1.13590.7000 1.00960.8000 1.03430.9000 0.84351.0000 0.68561.1000 0.61001.2000 0.53921.3000 0.39461.4000 0.39031.5000 0.54741.6000 0.34591.7000 0.13701.8000 0.22111.9000 0.17042.0000 0.2636];t = Data(:,1);y = Data(:,2);% axis([0 2 -0.5 6])plot(t,y,'ro')title('Data points')%We would like to fit the function y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t) to the data%The lsqcurvefit function solves this type of problem easily.%To begin, define the parameters in terms of one variable x:%x(1) = c(1)%x(2) = lam(1)%x(3) = c(2)%x(4) = lam(2)%Then define the curve as a function of the parameters x and the data t: F = @(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata);x0 = [1 1 1 0];[x,resnorm,~,exitflag,output] = lsqcurvefit(F,x0,t,y)hold onplot(t,F(x,t))hold offFsumsquares = @(x)sum((F(x,t) - y).^2);opts = optimset('LargeScale','off');[xunc,ressquared,eflag,outputu] = ...fminunc(Fsumsquares,x0,opts)fprintf(['There were %d iterations using fminunc,' ...' and %d using lsqcurvefit.\n'], ...outputu.iterations,output.iterations)fprintf(['There were %d function evaluations using fminunc,' ...' and %d using lsqcurvefit.'], ...outputu.funcCount,output.funcCount)type fitvectorx02 = [1 0];F2 = @(x,t) fitvector(x,t,y);[x2,resnorm2,~,exitflag2,output2] = lsqcurvefit(F2,x02,t,y)fprintf(['There were %d function evaluations using the 2-d ' ...'formulation, and %d using the 4-d formulation.'], ...output2.funcCount,output.funcCount)x0bad = [5 1 1 0];[xbad,resnormbad,~,exitflagbad,outputbad] = ...lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)hold onplot(t,F(xbad,t),'g')legend('Data','Global fit','Bad local fit','Location','NE')hold offfprintf(['The residual norm at the good ending point is %f,' ...' and the residual norm at the bad ending point is %f.'], ...resnorm,resnormbad)displayEndOfDemoMessage(mfilename)拟合效果如下：直线的最小二乘拟合：y＝a+bx式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。