最小二乘法圆拟合
vba最小二乘法拟合圆
vba最小二乘法拟合圆在VBA中，最小二乘法拟合圆是一个常见的问题。
通过最小二乘法，我们可以找到最接近一组离散点的圆，并通过这个圆来拟合数据。
首先，我们需要明确最小二乘法的概念。
最小二乘法是一种统计学方法，用于拟合数据，并找到一个函数或者曲线与这些数据最为接近。
在拟合圆的问题中，我们需要找到一个圆心和半径，使得这个圆与给定的数据点的最小二乘差值最小。
接下来，我们需要确定拟合圆的数学模型。
在拟合圆问题中，我们使用方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2来表示圆，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径长度。
通过最小二乘法，我们的目标是找到(a,b)和r，使得所有给定数据点到圆上的距离之和最小。
了解了数学模型，接下来我们需要编写相应的VBA代码来实现最小二乘法拟合圆。
首先，我们需要输入给定的数据点。
这些数据点可以是离散的(x,y)坐标，也可以是一组已知半径的圆上的点。
在编写代码的过程中，我们可以使用循环来计算所有数据点到圆心的距离，并求和。
然后，我们可以使用嵌套循环来尝试不同的圆心坐标和半径长度，计算每种组合下的最小二乘差值，并将其与之前的最小值进行比较。
最后，我们可以得到最小二乘差值最小的圆心坐标和半径长度。
为了提高代码的可读性和复用性，我们可以将计算距离的代码封装成一个函数，将计算最小二乘差值的代码封装成一个子过程。
这样，我们可以在其他项目中方便地使用这些函数和子过程。
最后，我们可以将拟合圆的结果输出到Excel表格中，或者通过VBA代码在工作表上绘制该圆。
在绘制圆的过程中，我们可以使用绘图工具或者绘制直线和曲线的函数。
综上所述，我们可以通过VBA实现最小二乘法拟合圆的方法如下：1. 输入给定的数据点。
2. 使用循环计算所有数据点到圆心的距离，并求和。
3. 使用嵌套循环尝试不同的圆心坐标和半径长度，计算每种组合下的最小二乘差值，并将其与之前的最小值进行比较。
4. 得到最小二乘差值最小的圆心坐标和半径长度。
拟合圆的几种方法 02
文章编号:1009-4881(2002)04-0104-03拟合圆的几种方法徐国旺1,廖明潮2(1.湖北工学院基础科学部,湖北武汉430068;2.武汉工业学院计算机与信息工程系,湖北武汉430023)摘要:提出了几种拟合圆的方法,用这几种方法对一实例进行拟合,并用Mathematica显示用这些方法拟合的效果。
关键词:拟合;Mathematica;加权平均;最小二乘法中图分类号:O29文献标识码:A平面内一些离散点从理论上构成一个圆,从这些已知点坐标入手,求出该圆圆心位置坐标和圆的半径大小,是某些领域中常会遇到的实际问题。
如:物理实验/用稳恒电流场模拟静电场0[1]中,把无限长同轴圆柱体之间的等位线看作一个圆,实验测得数据为等位点的坐标,要画出等位线就存在拟合圆的问题。
拟合圆的方法很多,下面探讨其中三种方法。
1平均值法对于均匀分布在圆上的n个点(x i,y i),I=1, 2,,,n.从理论上讲,圆心坐标应为(E n i=1x i/n, E ni=1y i/n),圆心到圆上任一点的距离即为圆的半径。
在实际问题中,实验测得的各点不可能正好均匀分布在圆上,甚至有些点还不在圆上,但只要各离散点分布较为均匀,仍可将(E n i=1x i/n,E n i=1y i/n)作为圆心坐标,圆心到各离散点的距离的平均值可作为圆半径的近似值。
下面以/用稳恒电流场模拟静电场0实验中一组实测数据为例,运用上述方法拟合出圆,并将各数据点和圆同时显示出来,以便直观地观察拟合效果。
实验测得一组等位点为{8.2,5.7},{7.4,7.2},{6. 0,8.0},{4.3,8.1},{3.0,7.4},{2.1,6.1},{2.1,3.9},{3.1,2.4},{4.5,1.8},{6.1,1.9},{7.3,2. 7},{8.1,4.2}。
以下过程用M athematica[2]来完成。
In[1]:=t=List[{8.2,5.7},{7.4,7.2},{6. 0,8.0},{4.3,8.1},{3.0,7.4},{2.1,6.1},{2.1, 3.9},{3.1,2.4},{4.5,1.8},{6.1,1.9},{7.3,2. 7},{8.1,4.2}];In[2]:=a=E12i=1[[i,1]]/12Out[2]=5.18333In[3]:=b=Eni=1t[[i,1]]/12Out[3]=4.95In[4]:=r=E(a-t[[i,1]])2+(b-t[[i,2]])2/12 Out[4]=3.19194In[5]:=grpt=ListPlot[t,DisplayFunction y Identity];In[6]:=grcir=Graphics[Circle[{5.1833,4.9500},3.1939]]Out[6]=.Graphics.In[7]:=Show[grpt,grcir,Graphics[Point [{5.1833, 4.9583}]],AspectRatio y1,Frame y True,DisplayFunction y$DisplayFunction,Axes y False]104武汉工业学院学报Journal of Wuhan Polytechnic University2002年¹收稿日期:2002-02-26作者简介:徐国旺(1967-),男,湖北省潜江市人,讲师。
最小二乘拟合圆介绍与推导
最小二乘拟合圆介绍与推导最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小来寻找一组数据的最佳匹配函数的计算方法，最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
最小二乘圆拟合方法是一种基于统计的检测方法，即便是图像中圆形目标受光照强度不均等因素的影响而产生边缘缺失，也不会影响圆心的定位和半径的检测，若边缘定位精确轮廓清晰，最小二乘法可实现亚像素级别的精确拟合定位。
1.2VC实现的代码void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){return;}int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y;}double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;m_fRadius = R;return;}---------------------作者：Jacky_Ponder来源：CSDN原文：https:///jacky_ponder/article/details/70314919 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！。
最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2014-10-01 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
matlab 实现：function [xc,yc,R,f] = circfit(x,y)%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an% optional output describing the circle's equation:% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0close all; clear all;clc;n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)]; f=A\B;xc = -.5*f(1);yc = -.5*f(2);R = sqrt((f(1)^2+f(2)^2)/4-f(3));end。
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆最小二乘法拟合圆最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting)。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 matlab实现。
下面是matlab代码：比如用其他算法（如霍夫、链码、形态学等）得到了某个圆或者近似圆的轮廓，想要将其标准化。
%%此程序用于对二值图像获得的圆形边缘进行圆拟合，计算出圆心坐标及半径%最小二乘法进行曲线拟合function [xc,yc,R] = cirfit(x,y)%x、y为坐标点，都是一组向量。
如x=[x1,x2,x3,...,xn]n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];a=A\B;xc = -0.5*a(1);yc = -0.5*a(2);R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));end%结束后返回的值便是圆心坐标及半径总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。
简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。
类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。
matlab 最小二乘法散点拟合圆
matlab 最小二乘法散点拟合圆在MATLAB中，可以使用最小二乘法来拟合一组散点数据的圆形轮廓。
最小二乘法是一种常见的拟合方法，旨在使数据点到拟合曲线或函数的残差平方和最小化。
对于圆形轮廓拟合问题，我们需要找到圆心和半径的参数。
以下是在MATLAB中使用最小二乘法实现散点拟合圆的步骤：1. 首先，将散点数据表示为一个含有x和y坐标的矩阵。
例如，我们可以采用以下代码创建一个包含50个随机数据点的矩阵：```x = 10*randn(50,1);y = 10*randn(50,1);data = [x,y];```2. 接下来，我们需要定义一个误差函数，它将计算每个数据点与拟合圆之间的距离。
对于圆形轮廓，可以使用欧几里得距离公式：```function F = circlefitfunc(params, data)x0 = params(1);y0 = params(2);r = params(3);F = sqrt((data(:,1)-x0).^2 + (data(:,2)-y0).^2) - r;end```3. 然后，在MATLAB中使用lsqnonlin函数来最小化误差函数，找到最佳的圆心和半径参数。
lsqnonlin函数使用非线性最小二乘法求解非线性方程组或最小化非线性函数的问题。
```params0 = [0, 0, 1]; % 初始参数猜测options = optimset('Algorithm','trust-region-reflective'); params =lsqnonlin(@(x)circlefitfunc(x,data),params0,[],[],options); ```4. 最后，我们可以使用拟合参数绘制拟合圆。
```x0 = params(1);y0 = params(2);r = params(3);t = linspace(0,2*pi,100)';x = r*cos(t) + x0;y = r*sin(t) + y0;plot(data(:,1),data(:,2),'o',x,y,'-');```最小二乘法散点拟合圆在图像处理和计算机视觉领域得到了广泛应用。
最小二乘法圆拟合及matlab程序
Q(a,b, c)
a
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) X i 0
①
Q(a,b, c)
b
2( X i2 Yi2 aX i bYi c)Yi 0 ②
Q(a,b, c)
c
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) 0 ③
最小二乘法圆拟合
1
最小二乘法拟合圆曲线： R2 (x A)2 ( y B)2
R2 x2 2Ax A2 y2 2By B2
令a=-2A,b=-2B, c A2 B2 R2
则：圆的另一形式为：
x2 y2 ax by c 0
2
A a 只需求出参数a,b,c即可以求的圆半径参数： 2
A a 2
B b 2
R 1 a2 b2 4c 2
9
t=0:0.01:pi; a=20;%设定圆心X轴数值 b=30;%设定圆心Y轴数值 r=5;%设定圆半径数值 x=a+r*cos(t)+randn(1,315); y=b+r*sin(t)+randn(1,315); plot(x,y); hold on; x=x(:); y=y(:); m=[x y ones(size(x))]\[-(x.^2+y.^2)]; xc = -.5*m(1)%拟合圆心X轴数值 yc = -.5*m(2)%拟合圆心Y轴数值 R = sqrt((m(1)^2+m(2)^2)/4-m(3))%拟合半径数值 plot(xc,yc,'r-x',(xc+R*cos(t)),(yc+R*sin(t)),'r-'); axis equal;
最小二乘法圆拟合资料讲解
最小二乘法圆拟合最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r]最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。
此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样，但是仍然具有实用估计价值，并且可以化简公式。
VC实现的代码：C++类void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {if (m_nNum<3){return;}int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;//使用对象数组Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y; X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; }double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;return; }。
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最小二乘法圆拟合
1.最小二乘法圆拟合原理 理论
最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘圆拟合模型公式推导
在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:
()22020)(r y y x x =-+- （1） 对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：
[]
2
12020)()(∑=--+-=n
i i i r y y x x S
式中：()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标；n 为参与拟合的特征点数。
在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:
[]
2
122020)()(∑=--+-=n
i i i r y y x x E （2）
则（2）式可改写为：
(
)2
12
20
0220
02
22∑=-+-++-=n
i i i
i i
r
y y y y x x x x E （3）
令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即（3）式可表示为：
()
2
22∑=++++=n
i i i i i C By Ax y x E
由最小二乘法原理，参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。
根据极小值的求法，A ,B 和C 应满足
()
020
22=++++=∂∂∑=i n
i i i i i x C By Ax y x A E
(4) ()
020
22=++++=∂∂∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E
(5) ()
020
22=++++=∂∂∑=n i i i i i C By Ax y x C E
(6) 求解方程组，先消去参数C ,则 式()()∑=*-*n
i i x n 064得
(
)0
02
202
030000002=+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n
i i n
i i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n （7）
式()()∑=*-*n
i i y n 065得
(
)0
02
202
030002000=+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n
i i
n
i i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i y
y x y x n y n B y y y n A y x y x n （8） 令
⎪⎭⎫
⎝⎛-=∑∑∑===n i n i n
i i i i x x x n M 000211（9）
⎪⎭
⎫
⎝⎛-==∑∑∑===n i n
i i i n i i i y x y x n M M 0002112（10）
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∑∑∑===n i n
i i i n i i y y y n M 000222（11）
(
)∑∑∑∑====+-+=n
i i
n
i i
i
n i i
i n i i
x
y
x y x n x n H 002202031（12）
(
)∑∑∑∑====+-+=n i i
n
i i
i
n
i i i
n
i i
y y
x y x n y n H 0
220
20
32（13）
将（7），（8）式写成矩阵形式
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212221
1211
H H B A M M M M （14） 根据式（14）和式（6）可得：
2112221122
1122M M M M M H M H A --=
22
11211221
1112M M M M M H M H B --=
()
n
By Ax y x
C n
i i
i i i
∑=+++-
=0
22
从而求得最佳拟合圆心坐标()00,y x ，半径r 的拟合值:
20A x -
=,20B y -=,C B A r 42
122-+= 2.仿真数据分析
首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N 组随机数据。
考虑实际测量的点云数据中伴随有一定
高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布()
2
,0σN 的随机数作为
噪声，其中2
σ为高斯分布的方差(单位：
2mm )，在噪声标准差(σ)
下产生N 组随机噪声数据。
最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N 组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。
下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（，），半径作实例分析。
在matlab 软件中得到的仿真数据效果图图2所示：
图2
利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法进行拟合，得到其拟合效果图如图3所示:
图3。