最小二乘法线性拟合
最小二乘法线性拟合
—26 n 基本概念与数据处理4.最小二乘法线性拟合(非常好)我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时 ，任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1)求回归直线设直线方程的表达式为： y 二 a bx(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的 a 和b o 对满足线性关系的一组等精度测量数据 (X i ，y i )， 假定自变量X i 的误差可以忽略，则在同一 X i 下，测量点y i 和直线上的点 a+bx i 的偏差d i 如下：d i = y i - a - bx-id^ — y 2~ a - bx 2d n = yn ~a ~ bx n显然最好测量点都在直线上(即 d i =d 2=,, =d n =0),求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑d i 、d 2、”、 d n 为最小，也就是考虑d i +d 2+,, +d n 为最小，但因d i 、d 2、，，、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d i | + |d 2|+ ,,+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在米取一种等效方法：当d^+d/ + ,,+d n 2222对a 和b 为最小时，d i 、d 2、，，、 d n 也为最小。
取(d i +d 2 +,, +d n )为最小值，求 a和b 的方法叫最小二乘法。
nD 八 d i 2i JD 对a 和b 分别求一阶偏导数为:n-na -b ' X i ]i T nnD 八 d i 2 = i ±(2-6-2)-=D-=b:D-a n 一2「y ii 3 n一2[、X i y i i 』n基本概念与数据处理—27 - -b' X j2]i d—28 - n 基本概念与数据处理2 ' x -x将a 、b 值带入线性方程y = a bx ，即得到回归直线方程。
最小二乘法excel拟合
在Excel中进行最小二乘法线性拟合的步骤如下：
1.在Excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。
2.按住“shift”键的同时，用鼠标左键单击以选择数据。
3.单击菜单栏上的“插入”》“图表”》“散点图”图标。
4.弹出下拉列表，单击“散点图”》“仅带数据标记的散点图”图标。
5.此时，在窗口中间弹出散点图窗口。
6.鼠标左键单击其上的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，
再单击“添加趋势线(R)”。
7.弹出“设置趋势线格式”对话框。
8.勾选“设置截距(S)”、“显示公式(E)和“显示R平均值(R)”前的
方框，此时，在原散点图中增加了一条趋势线及其公式、R平均值。
以上步骤仅供参考，具体操作可能会因Excel版本的不同而略有差异。
如果需要更详细的信息，建议查看Excel的帮助文档或相关教程。
最小二乘法 线性与非线性拟合
最小二乘法线性与非线性拟合最小二乘法实现数据拟合最小二乘法原理函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f( ) (i=0,1,2,3……,n)，而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点( )，也就是说拟合函数在处的偏差=不都严格地等于零。
但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求| |按某种度量标准最小。
即=为最小。
这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。
(一)线性最小二乘拟合根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A＝R\Y。
例题假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为y(x)=c1+c2*e^(-3*x)+c3*cos(-2*x)*exp(-4*x)+c4*x^2试用已知数据求出待定系数的值。
在Matlab中输入以下程序x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]';y=[2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052];A=[ones(size(x)) exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.^2];c=A\y;c'运行结果为ans =1.22002.3397 -0.6797 0.8700下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图x1=[0:0.01:1.5]';A1=[ones(size(x1)) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.^2];y1=A1*c;plot(x1,y1,x,y,'o')事实上，上面给出的数据就是由已知曲线y(x)= 0.8700-0.6797*e^(-3*x)+ 2.3397*cos(-2*x)*exp(-4*x)+ 1.2200*x^2产生的，由上图可见拟合效果较好。
最小二乘法的线性拟合
8
4.3 数表与线图的公式化处理
前面介绍的数表与线图的程序化处理方法，这种方法虽然 解决了数表和线图在CAD作业中的存储和检索问题，但还存 在下述一些缺点：
1)占用大量计算机内存。数表和线图的程序化处理，要将 数表中的全部数据编进计算程序中，实现数据的自动检索。 当数表很庞大时，所占内存很大。一般情况下，一个设计计 算程序常常需要使用多个数表，则所占内存更加庞大，严重 时甚至会影响程序的正常运行。
4
4.2.2 直线图的公式化处理
1、直角坐标直线图的公式化处理
（a）直齿轮
（b）斜齿轮
5
2、对数坐标直线图的公式化处理
对数坐标中的直线方程可写为：
注意：一般程序语言中，只有lnx （自然对数）无十进制对数 lgx ，所以编程时，要进行换底运算。
lg x ln x ln10
6
3、区域图的公式化处理
2)效率低，占机时间长。通常设计所使用到的仅是数表中 的一小部分数据，有时甚至只是其中的一、二个。但数表程 序化处理对数表中的每个数据，无论在当时的计算程序中
是否被用到，都必须顺序地将全部数据读入内存。
检索时，一般又得顺序地从头检索至所需的那个
9
数据为止。
4.3.1 曲线拟合
数表程序化处理一般只适用于数表较小(数据 量较小)、计算程序使用数表个数不多的情况。对 于比较大型的计算程序，常常需使用很多的数表， 数据量很大，在这种情况下数表的处理就要采用其 它的方法。其中一种方法就是本节所要介绍的曲线 拟合。
常用的处理方法有三种：
1
（1）线图所表示的各参数之间本来就有计算公 式，只是由于计算公式复杂．为了便于手工计算 将公式绘成线图，以供设计时查用。对于这类线 图处理的方法为：找到线图原有公式，将公式编 写成程序。这是最精确的程序化处理方法，但难 以找到。
最小二乘法求出直线拟合公式
最小二乘法求出直线拟合公式最小二乘法是一种常用的线性回归方法，用于求出最佳的拟合直线公式。
其基本思想是通过最小化观测数据与拟合直线之间的误差来确定最佳的直线参数。
假设我们有一组观测数据(xi, yi)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是找到一条直线y = mx + c，使得观测数据点到这条直线之间的误差最小。
首先，我们定义观测数据点到拟合直线的误差为：ei = yi - (mx + c)。
我们的目标是最小化所有观测数据点的误差之和：min Σ(ei^2) = min Σ(yi - (mx + c))^2为了求解上述最小化问题，我们需要对误差函数关于参数m和c进行求导，并令导数等于零。
这样可以得到参数的最优解。
对于参数m的求解，我们有以下等式：d/dm Σ(ei^2) = d/dm Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi^2) + c * Σ(xi) = Σ(xi * yi)类似地，对于参数c的求解，我们有以下等式：d/dc Σ(ei^2) = d/dc Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi) + c * n = Σ(yi)其中，n表示观测数据点的数量。
最终，我们可以通过解上述方程组，求得最佳的直线参数m和c，从而得到直线的拟合公式。
拓展：最小二乘法不仅可以应用在线性回归问题中，还可以拓展到非线性回归问题。
例如，如果观测数据点遵循多项式分布，则可以使用多项式回归来拟合数据。
此时，最小二乘法的基本原理是相同的，只是拟合的模型变为多项式函数。
此外，最小二乘法还可以应用于其他问题，例如数据平滑、参数估计等。
它是一种常用的统计学方法，可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
最小二乘法线性拟合和二次多项式拟合
最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即∑==+++=nk k k x a x a x a a x f 02210)(为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差|)(|||i i i y x f -=δ都较小。
为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即min ])([)(2121=-=∑∑==iiNi iN i y x f δ称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即min ])([)(),,,(212110=-==∑∑==i i Ni i N i n y x f a a a S δ为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂Ni i N i i i i N i i i N i y x f y x f y x f a S11110)(0])([0])([2 ∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i i N i i i i i N i i i i N i i y x x f x y x f x y x f x a S11111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i k i N i i ki i i N i k i i i N i k i k y x x f x y x f x y x f kx a S 1111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i n i N i i ni i i N i n i i i N i n i n y x x f x y x f x y x f nx a S 1111)(0])([0])([2 将上面各等式写成方程组的形式可有∑∑∑∑∑∑=======++++⇒=Ni i N i n in N i iN i i Ni iN i iy x a x a x a N a yx f 1112211011)(∑∑∑∑∑∑==+=====++++⇒=Ni i i Ni n in Ni iNi ii Ni iiNi iiy x xa x a x a x a yx x f x 111132121011)(∑∑∑∑∑∑==+=+=+===++++⇒=Ni i k i Ni k n in Ni k iNi k ik iNi i k i Ni i k iy x xa xa xa x a y x x f x11122111011)(∑∑∑∑∑∑===+=+===++++⇒=Ni i n i Ni n in Ni n iNi n in iNi i n i Ni i n iy x xa xa xa x a y x x f x112122111011)(写成矩阵形式有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======+=+==+==+===+=====N i i n i Ni ik i N i i i N i i n k N i ni Ni k n iNi n iNi ni N i k n i N i k iNi k iN i kiN i n i Ni k iNi i N i i Ni niNi k iNi iy x y x y x y a a a a x xxx x xxx x xxx x x x N 111110121111112111111121111上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘法拟合曲线求最大值
最小二乘法拟合曲线求最大值
最小二乘法是一种拟合曲线的方法，它是通过优化平方误差最小化来找到拟合曲线的参数。
最小二乘法可以用来拟合各种类型的曲线，包括直线、多项式、指数和对数函数等。
如果要找到拟合曲线的最大值，可以通过以下步骤进行：
1. 根据数据点的坐标，使用最小二乘法找到最佳拟合曲线的参数。
这可以通过使用线性回归或多项式回归的方法来实现。
2. 使用找到的曲线参数，求曲线的导数。
导数表示曲线在每个点上的斜率。
3. 找到导数等于零的点。
这些点可能是拟合曲线的极值点，包括最大值和最小值。
4. 比较这些极值点的函数值，找到最大值。
需要注意的是，最小二乘法本身不能直接找到曲线的最大值，它只能通过拟合曲线函数的参数来间接推断最大值所在的位置。
因此，在找到最佳拟合曲线的参数后，还需要进行额外的导数计算和极值点分析才能找到实际的最大值点。
此外，如果数据点中存在噪声或异常值，最小二乘法可能会受到影响，导致拟合曲线得到的最大值并不准确。
在实际应用中，可能需要使用其他方法来处理这些问题。
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在进行一元线性回归之前应先求出 r 值，再与 r 0 比较，若|r|> r 0 ，则 x 和 y 具有 线性关系，可求回归直线；否则反之。
Ⅱ 基本概念与数据处理
– 29 –
例 9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为 R2 =
Rs U − R g 测得的 K i R1 d
数据同例 7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达 式。 解：测量公式与线性方程表达式 y＝a+bx 比较：
– 26 –
Ⅱ 基本概念与数据处理
4.最小二乘法线性拟合
我们知道，用作图法求出直线的斜率 a 和截据 b，可以确定这条直线所对应的经验 公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。 用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同 一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。 最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的 a 和 b。显然，关键是如何求出最佳的 a 和 b。 (1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：
∑ x ]：数据和 ∑ x ]: 数据平方和
2
[INV][S]：测量列的标准偏差 [INV][n]：数据个数 例 10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、 83.1、83.2，试求 x 、 解： 按 键 显 ST1 n n n n n n n 示 0 0 1 2 3 4 5 6 7 [MODE][0] [INV][ON/C.CE] 83.1[DATA] 83.3[DATA] 83.3[DATA] 83.7[DATA] 83.9[DATA] 83.6[DATA] 83.4[DATA]
D = ∑ d i2 ＝ D = ∑ d i2 = ∑ [ y i − a − bi ] 2
i =1
i =1 i =1
n
n
n
(2-6-2)
D 对 a 和 b 分别求一阶偏导数为：
n n ∂D = −2[∑ yi − na − b ∑ xi ] ∂a i =1 i =1 n n n ∂D 2 = −2[∑ xi y i − a ∑ xi − b ∑ xi ] ∂b i =1 i =1 i =1
注：当 n≥6 时，认为 σ ＝S 。 （2）最小二乘法求回归直线 ① 求回归直线参量 a、b、r 的计算器运行公式 由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi两个变量的公式：
a=
n
∑ y i − b∑ xi
i =1 i =1
n
n
n
n n
b=
∑ xi ∑ y i − n ∑ xi y i
显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=……=dn=0） ，求出的a和b是最理想的，但测量 点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、……、dn为最小，也就是考虑d1+d2+……+dn 为最小，但因d1、d2、……、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ 2 2 2 |d2|+……+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d1 +d2 +……+dn 2 2 2 对a和b为最小时，d1、d2、……、dn也为最小。取（d1 +d2 +……+dn ）为最小值，求a和b 的方法叫最小二乘法。 令
∑ x 、 ∑ x 、S、n 。
2
– 32 –
Ⅱ 基本概念与数据处理
83.4[DATA] 83.1[DATA] 83.2[DATA] [INV][ x ]
n n n 83.4 834 69556.22
8 9 10
∑x] [INV][ ∑ x ]
[INV][
2
[INV][S] [INV][n]
0.262466929 10
在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦 AURORA SC180 型 计算器为例作以介绍。 （1）计算标准偏差 S ① 标准偏差 S 的计算器运行公式：
s=
1 ( xi − x) 2 = ∑ n − 1 i =1
n
∑x
i =1
n
2 i
− 2 x ∑ xi + ∑ x
i =1 i =1
y = a + bx
(2-6-1)
要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi） ， 假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：
d1 = y1 − a − bx1 d 2 = y 2 − a − bx 2
M d n = y n − a − bx n
300.0 2.15 9.000 4.62 6.45
250.0 1.82 6.250 3.31 4.55
200.0 1.51 4.000 2.28 3.02
150.0 1.18 2.250 1.39 1.77
100.0 0.84 1.000 0.71 0.84
50.0 0.56 0.250 0.31 0.28
Ⅱ 基本概念与数据处理
– 33 –
[INV][r]：相关系数 还可以取以下值： [INV][ x ]、[INV][ y ]、[INV][Σx]、[INV][Σx ]、[INV][Σy]、[INV][Σy ]、
2 2
[INV][Σxy]， 以便计算 σ y 、 σ a 、 σ b (计算器没有该三项的计算程序)。 例 11： 灵敏电流计实验所测数据如下： RS＝0.100Ω R1＝4350.0Ω R2（Ω） U（V） 400.0 2.82 350.0 2.49 300.0 2.15 250.0 1.82 d＝40.0mm 200.0 1.51 150.0 1.18 100.0 0.84 50.0 0.56
ΔK i σ b ＝ ＝0.81％； K b
σ b ＝1.257626418
ΔK ＝0.03×10 A/mm
－9
Rg＝(33±2)Ω
ΔR g Rg
－9
＝6.1％
电流常数： 回归方程：
K ＝(3.72±0.03)×10 A/mm R2＝155U－33
ΔK i ＝0.81％ K
5.计算器在数据处理中的应用
n
n
2
n −1
因为
x=
1 n ∑ xi n i =1
Ⅱ 基本概念与数据处理
– 31 –
所以
s=
∑x
i =1
n
2 i
−
(∑ xi ) 2
i =1
n
n
n −1
（只有为xi单变量）
② 操作步骤和方法 (ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“STAT1” 指示符。 (ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。 (ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏 幕均会显示数据的个数 n 值。 (ⅳ) 数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后 要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。 (ⅴ) 取分析结果： [INV][ x ]：平均值 [INV][ [INV][
225.0 1.67125 6.375 3.34625 4.615625
R
2 4 2 2 (10 Ω )
2 2
U (V ) R2U(10 ΩV)
2
中间过程可多取位：
x ＝1.67125
相关系数
y ＝225.0
x 2 ＝3.34625 xy − x y
y 2 ＝6.375×104
xy ＝461.5625
1
2
σy
(2-6-9)
σb =
n n∑ x − ( ∑ xi )
i =1 2 i i =1 n n 2
σy =
n( x 2 − x )
2
σy
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6-10)
(3)相关系数 相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为：
r=
2
xy − x y ( x − x )( y − y )
2 2 2
y = R2
x =U
b=
Rs K i R1 d
a = − Rg
数据处理如表 2-6-3： 表 2-6-3
i 1 2
Rs＝0.100Ω
3 4
R1＝4350.0Ω
5 6 7
d＝40.0mm
8 平均值
R2(Ω) U(V)
400.0 2.82 16.00 7.95 11.3
350.0 2.49 12.25 6.20 8.72
– 30 –
Ⅱ 基本概念与数据处理
Rs = b ＝154.6192304 K i Ri d
Ki＝ 计算标准差为：
Rs -9 ＝3.7170×10 A/mm bRi d
σ y ＝2.64561902；
计算不确定度： ΔRg＝ σ a ＝2Ω； 测量结果表达式 电流计内阻：
σ a ＝2.300545589；
– 28 –
Ⅱ 基本概念与数据处理
σy =
∑ d i2
i =1
n
n−2
n
=
∑(y
i =1
n
i
− bxi − a) 2 n−2
(2-6-8)
(根式的分母为 n-2,是因为有两个变量)
σa =