最小二乘法圆拟合
最小二乘法拟合原理
最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。
它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。
这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。
在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。
线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。
其中，a称为斜率，b称为截距。
当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。
它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。
残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。
对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。
S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。
求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。
解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。
最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。
对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。
然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。
方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。
最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2014-10-01 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
matlab 实现：function [xc,yc,R,f] = circfit(x,y)%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an% optional output describing the circle's equation:% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0close all; clear all;clc;n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)]; f=A\B;xc = -.5*f(1);yc = -.5*f(2);R = sqrt((f(1)^2+f(2)^2)/4-f(3));end。
最小二乘法圆拟合及matlab程序
Q(a,b, c)
a
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) X i 0
①
Q(a,b, c)
b
2( X i2 Yi2 aX i bYi c)Yi 0 ②
Q(a,b, c)
c
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) 0 ③
最小二乘法圆拟合
1
最小二乘法拟合圆曲线： R2 (x A)2 ( y B)2
R2 x2 2Ax A2 y2 2By B2
令a=-2A,b=-2B, c A2 B2 R2
则：圆的另一形式为：
x2 y2 ax by c 0
2
A a 只需求出参数a,b,c即可以求的圆半径参数： 2
A a 2
B b 2
R 1 a2 b2 4c 2
9
t=0:0.01:pi; a=20;%设定圆心X轴数值 b=30;%设定圆心Y轴数值 r=5;%设定圆半径数值 x=a+r*cos(t)+randn(1,315); y=b+r*sin(t)+randn(1,315); plot(x,y); hold on; x=x(:); y=y(:); m=[x y ones(size(x))]\[-(x.^2+y.^2)]; xc = -.5*m(1)%拟合圆心X轴数值 yc = -.5*m(2)%拟合圆心Y轴数值 R = sqrt((m(1)^2+m(2)^2)/4-m(3))%拟合半径数值 plot(xc,yc,'r-x',(xc+R*cos(t)),(yc+R*sin(t)),'r-'); axis equal;
python 散点拟合圆 最小二乘法
python 散点拟合圆最小二乘法在Python中，我们可以使用最小二乘法对散点进行拟合，从而找到最佳拟合圆。
首先，我们需要导入一些必要的库，如numpy和scipy：```pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import least_squares```接下来，我们定义一个函数来计算圆心和半径的误差：```pythondef calculate_residuals(params, x, y):# 提取圆心坐标和半径cx, cy, r = params# 计算每个点到圆的距离distances = np.sqrt((x - cx) ** 2 + (y - cy) ** 2) - rreturn distances```然后，我们定义一个函数来拟合散点：```pythondef fit_circle(x, y):# 初始估计值cx_initial = np.mean(x)cy_initial = np.mean(y)r_initial = np.mean(np.sqrt((x - cx_initial) ** 2 + (y - cy_initial) ** 2))# 初始参数params_initial = np.array([cx_initial, cy_initial,r_initial])# 用最小二乘法进行拟合result = least_squares(calculate_residuals,params_initial, args=(x, y))# 提取拟合结果cx_fit, cy_fit, r_fit = result.xreturn cx_fit, cy_fit, r_fit```最后，我们可以使用上面的函数来拟合散点并得到最佳拟合圆：```python# 输入散点坐标x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 拟合散点cx_fit, cy_fit, r_fit = fit_circle(x, y)# 输出最佳拟合圆的圆心和半径print("最佳拟合圆的圆心坐标为 ({}, {})，半径为 {}。
(完整word版)最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2009-01-17 |最小二乘法(least squares analysis) 是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitti ng) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
最小二乘法拟會圆曲线；= (x- +R2 = +- 2By4-B2令a=-2J4b = -2Bc = J^ +矿-0可得圆曲线方程的另一个册式Ix2 -\-y3十切十u = 0只要求出参数就可以求得圆心半径的参教；d)样本集（禺＜并e （123…N）中点到圆心的距离为a：打=（禺・4）2+（E傢点（耳乙）到圆边嫌的距离的平方与和半径平方的差为：@=£2_衣=（圣.4）2+（込.8）2_氏2=血2+込2+込+&乙+卍令Q（a,b,c）为Q的平方和：Q（aM = Z^2=工【（*/ + §2 + 込+b 齐+C）］2求参数a f b,c使得Q（a,g的值最小值。
解・PTT •平方差Qgg大于0,因此函数存在大于或等于0的极小值，极大值为无穷大.F（a,M）对a,吐求偏导，令偏导等于0,得到极值点，比较所有极值点的函数值即可得到最小值.绘仏"疋）=工2窗 +里+込+埒+c）Xjda —=0 迤(a,bQ =匸2阳+貯+込+坷+训=0範仏上疋）=工2（禺2+乙2+込 +空+° = 0 d解这个方程组。
(2)(3)(4)di（诵先消去c(2) W ⑷*工扎得：Ng 代'+Y-+aX +bY + c)X -工莎‘ +严 +aX +bY+c)x^X = 0 N^(X 2 +Y : +bY)X -^(X : +Y : +aX +bY)x^X =0("工禺2_工兀工兀)a + (“Y*占一工禺工齐仏(*+ + M 工*必2 -工牡丁 +去2)工禺=0(3) *N_⑷*工£得：N 工(X’ + y' + oZ +bY+c)Y-^(X 2 +Y- +aX +bY + c)x^Y =Q 吧(/+护 +aX +bY)Y +Y : +aX +dK)xVy =o （N'X 必一工禺工齐归+ （“丫呼一工§工齐）3 +“Y+N 工厅一 g af +严）三齐=o C =〔NgQ -gX 二X)D = (N 工尤F -工龙三卩)E-N^X 、+N^XY -工疔+丫‘)工XG = (NM 旷-三丫工丫)H =NW X'Y 七NT H -工 2’ +K-)YK可解得：|G? + Db + 5 = 0Da+Gb + H = 0HD-EG a = r CG-D 、v HC- ED o =D' _GC 工（疔+齐2）+幺工兀+c ―― ---------------------------------------------- N得A 、B 、R 的估计拟合值：R= - Ja‘ +2?' -牡 2(6)matlab 实现：function [R,A,B]=circ(x,y,N)x1 = 0;x2 = 0;x3 = 0;y1 = 0;y2 = 0;y3 = 0;x1y1 = 0;x1y2 = 0;x2y1 = 0;for i = 1 : Nx1 = x1 + x(i);x2 = x2 + x(i)*x(i);x3 = x3 + x(i)*x(i)*x(i);y1 = y1 + y(i);y2 = y2 + y(i)*y(i);y3 = y3 + y(i)*y(i)*y(i); x1y1 = x1y1 + x(i)*y(i); x1y2 = x1y2 +x(i)*y(i)*y(i); x2y1 = x2y1 + x(i)*x(i)*y(i); endC = N * x2 - x1 * x1;D = N * x1y1 - x1 * y1;E = N * x3 + N * x1y2 - (x2 + y2) * x1;G = N * y2 - y1 * y1;H = N * x2y1 + N * y3 - (x2 + y2) * y1;a = (H * D - E * G)/(C * G - D * D);b = (H * C - E * D)/(D * D - G * C);c = -(a * x1 + b * y1 + x2 + y2)/N;A = a/(-2); %x 坐标B = b/(-2); %y 坐标R = sqrt(a * a + b * b - 4 * c)/2;void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){ return; } int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; } double C,D,E,G ,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2; m_fCenterX = A; m_fCenterY = B;m_fRadius = R; return;}。
最小二乘拟合法在工程测量上的应用
最小二乘拟合法在工程测量上的应用摘要利用全站仪对地铁盾构横断面进行观测，根据测量数据通过拟合分析其变形情况，本文利用最小二乘法对采集的数据进行处理，根据所得的结果分析其断面的变形情况。
关键词平面拟合；圆拟合；平整度；圆度变形；最小二乘1.引言对于空间圆形物体，在实际和设计时会存在差异或者是在长期使用后会发生形变而影响其使用情况，因此必须对空间圆形物体进行检测，判断其是否满足工程要求[1]。
在地铁、隧道等的施工过程中，管片以及钢模拼接时经常要进行设计断面与实际断面的比较检测，由于其断面都是一个空间圆形，所以都可以看作为是空间圆形物体的检测问题。
本文以盾构横断面为例，阐述检测空间圆形物体变形的方法及步骤，传统的空间圆的拟合方法，把三维空间的圆形看成是二维的平面。
本文利用最小二乘拟合法对地铁盾构横断面的实测数据进行处理并分析断面的变形情况。
2.观测及算法原理2.1数据采集在断面四周适当位置安置棱镜，棱镜的位置可根据工程的要求分布，在面前任意找一点安置全站仪，确定测站坐标和零方向，这样就形成了一个自定义的坐标系 o-xyh即可进行测量，测量各点的平面坐标和高程，若要提高精度，可以增加测回数[3]。
2.2最小二乘拟合法2.2.1平面拟合平面方程为（1）式中为平面的法线方向单位矢量，a>0，若a=0则b>0，若a=0且b=0则c>0，a、b、c不可能同时为0。
以表示观测点坐标。
设i点至平面的距离t为：（2）则误差方程为：（3）按最小二乘求出平面方程的四个参数a、b、c、d来确定此空间平面，其中权阵p可以取为单位阵或者根据工程要求确定。
在求出平面方程后，各观测点至平面的距离就是改正数，i点在平面上的投影点坐标为：（4）2.2.2坐标转换为了方便计算，将测量坐标系中的点位坐标转换为平面坐标系中坐标。
在求得所有测定点在平面上的投影点坐标后，建立平面坐标系，此坐标系的两个轴、处在平面内，轴与平面法线方向一致，各投影点在平面坐标系中的高程。
最小二乘法 和 最小外接圆
最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍这两个概念的基本原理和应用场景。
我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线。
在现实生活中，我们经常会遇到需要通过数据拟合出一个函数来描述其规律的问题，比如线性回归问题。
最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线。
具体而言，最小二乘法通过求解一个最小化误差平方和的优化问题，得到拟合曲线的参数。
最小二乘法的应用非常广泛。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型的参数，比如消费函数、投资函数等。
在工程学中，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等领域。
在物理学中，最小二乘法可以用于测量数据的处理和分析。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数据拟合方法，它在各个领域都有着广泛的应用。
接下来，我们来了解一下最小外接圆。
最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆恰好包含了所有的点，并且其半径最小。
最小外接圆的求解可以通过多种方法，其中一种常用的方法是Welzl算法。
Welzl算法是一种递归算法，通过不断缩小问题规模，最终求解出最小外接圆的圆心和半径。
最小外接圆的应用也非常广泛。
在计算几何中，最小外接圆可以用于求解点集的凸包、最大空凸包等问题。
在计算机图形学中，最小外接圆可以用于计算点云数据的包围球，从而实现物体的快速碰撞检测。
在地理信息系统中，最小外接圆可以用于求解地理空间数据的最小边界圆，从而实现空间数据的可视化和分析。
总结起来，最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念。
最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线，广泛应用于数据拟合和参数估计等问题。
最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆包含了所有的点，并且其半径最小，广泛应用于计算几何和计算机图形学等领域。
这两个概念在实际问题中有着重要的应用，对于我们理解和解决实际问题具有重要的意义。
最小二乘法曲线拟合原理
最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合（LeastSquaresCurveFitting，简称LSCF）是采用数学统计技术进行多元函数拟合所用的一种技术。
它可以快速、准确地根据已经给定的实验数据拟合出一条实验曲线，从而给出诸如拟合函数的系数值等信息。
因此，最小二乘法曲线拟合在各种科学、工程实验中有着广泛的应用。
最小二乘法曲线拟合的原理很简单，它是基于“最小化误差”的概念，即拟合出来的曲线应尽可能接近给定的实验数据，使实验数据与拟合函数之间的差距最小。
这就要求我们求出实验数据与拟合函数之间的差距，这一差距被称为拟合误差，也称为“残差”。
最小二乘法曲线拟合的基本思想就是使残差的平方和（即拟合误差的平方和）取得最小值，从而实现拟合函数接近实验数据的目的。
最小二乘法曲线拟合的求解流程主要是：首先确定拟合函数的形式，然后利用已经给定的实验数据，建立最小二乘拟合问题，即求解各系数的拟合关系，然后利用几何极值法或矩阵方法求解给定拟合函数的拟合系数值，最后就可以得到拟合函数的数学公式及其系数值了。
最小二乘法曲线拟合由于给出的实验数据精度不同和系数组合不同，可以曲线拟合许多不同的函数形式，数学模型复杂度从一次函数到高阶复合函数都可以拟合。
例如，它可以拟合出多项式函数、指数函数、对数函数、三次样条函数、双曲线函数等。
由于最小二乘法曲线拟合能够实现快速、准确地根据实验数据拟合出实验曲线，因此它在科学、工程实验中有着广泛的应用。
例如可以用它来估计经济预期的变化趋势，也可以用于关键的工艺参数的优化设计，也可以用于机械性能的预测，还可以应用于心理研究中，帮助心理学家了解人类心理活动的变化规律。
最小二乘法曲线拟合的最大优点在于曲线拟合的精度较高，可以得到较为精确的拟合结果，模型的复杂度也很强，可以拟合许多不同的函数形式，但其缺点也是与优点相对应的，可能会使拟合结果产生畸变，拟合精度也会受到实验数据的精度的影响。
综上，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数学统计技术，它能够根据已经给定的实验数据拟合出接近实验数据的函数，广泛应用于科学、工程实验，从而可以深入探究实验过程背后的规律，帮助人们更好地理解实验结果，是科学研究中不可缺少的一种技术。
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最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r]
最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化
误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squar es fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。
此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样，但是仍然具有实用估计价值，并且可以化简公式。
VC实现的代码：C++类
void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {
if(m_nNum<3)
{
return;
}
int i=0;
double X1=0;
double Y1=0;
double X2=0;
double Y2=0;
double X3=0;
double Y3=0;
double X1Y1=0;
double X1Y2=0;
double X2Y1=0;
for(i=0;i<m_nNum;i++)
{
X1=X1+m_points[i].x;//使用对象数组
Y1=Y1+m_points[i].y;
X2=X2+m_points[i].x*m_points[i].x;
Y2=Y2+m_points[i].y*m_points[i].y;
X3=X3+m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;
Y3=Y3+m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;
X1Y1=X1Y1+m_points[i].x*m_points[i].y;
X1Y2=X1Y2+m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;
X2Y1=X2Y1+m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; }
double C,D,E,G,H,N;
double a,b,c;
N=m_nNum;
C=N*X2-X1*X1;
D=N*X1Y1-X1*Y1;
E=N*X3+N*X1Y2-(X2+Y2)*X1;
G=N*Y2-Y1*Y1;
H=N*X2Y1+N*Y3-(X2+Y2)*Y1;
a=(H*D-E*G)/(C*G-D*D);
b=(H*C-E*D)/(D*D-G*C);
c=-(a*X1+b*Y1+X2+Y2)/N;
double A,B,R;
A=a/(-2);
B=b/(-2);
R=sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;
m_fCenterX=A;
m_fCenterY=B;
m_fRadius=R;
return; }
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