利用最小二乘法的曲线拟合
最小二乘法拟合原理
最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。
它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。
这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。
在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。
线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。
其中，a称为斜率，b称为截距。
当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。
它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。
残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。
对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。
S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。
求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。
解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。
最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。
对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。
然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。
方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。
excel最小二乘法拟合曲线
Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理与分析领域。
其中最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，在Excel中通过使用函数进行实现。
本文将介绍如何利用Excel进行最小二乘法拟合曲线的操作步骤及相关注意事项。
希望通过本文的介绍，读者能够掌握利用Excel进行曲线拟合的方法，从而在实际工作中能够更加高效地处理数据和分析结果。
一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学上常用的曲线拟合方法，其本质是通过调整曲线参数使得实际观测值与拟合值之间的差异最小化。
在实际应用中，最小二乘法常用于拟合直线、曲线以及多项式等形式的函数模型，用于描述变量之间的关系。
二、Excel中最小二乘法拟合曲线的操作步骤1. 准备数据首先需要在Excel中准备好需要拟合的数据，通常是包含自变量和因变量的数据列。
假设我们有一组数据，自变量为x，因变量为y，我们希望通过最小二乘法找到一条曲线来描述它们之间的关系。
2. 插入散点图在准备好数据之后，需要在Excel中插入散点图来直观地观察数据点的分布情况。
选择数据区域后，点击插入菜单中的散点图，选择合适的图表类型进行插入。
通过散点图可以直观地观察到数据点的分布情况，从而初步判断需要拟合的曲线形式。
3. 计算拟合曲线参数利用Excel中的函数可以很方便地进行最小二乘法拟合曲线的计算。
在Excel中，可以使用“线性拟合”函数进行直线拟合，使用“多项式拟合”函数进行多项式曲线拟合。
通过输入相关参数和数据范围，即可得到拟合曲线的参数值，并在图表中显示拟合曲线。
4. 绘制拟合曲线根据计算得到的拟合曲线参数值，可以利用Excel中的图表工具绘制出拟合曲线。
在散点图的基础上，添加拟合曲线，并进行必要的格式设置，可以清晰地展示出拟合曲线与原始数据之间的关系。
5. 拟合曲线的评估拟合曲线的好坏可以通过一些评价指标来进行评估，例如拟合优度R方值、残差分布等。
通过观察这些评价指标，可以对拟合曲线的质量进行初步判断，从而确定是否需要调整模型或者采取其他措施。
最小二乘法 曲线拟合
最小二乘法曲线拟合
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差的总和来寻找数据的最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛用于拟合一组数据到一个数学模型上，使得这组数据与模型之间的误差的平方和最小。
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合曲线。
具体来说，给定一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们需要找到一条曲线 y = f(x)，使得所有数据点到曲线的垂直距离的平方和最小。
最小二乘法的应用非常广泛，包括统计学、回归分析、时间序列分析、机器学习和数据挖掘等领域。
通过最小二乘法，我们可以找到最佳拟合曲线，从而更好地理解数据的内在规律和趋势，并进行预测和决策。
在实现最小二乘法时，通常需要选择合适的数学模型和参数，并使用迭代或优化算法来求解最小化问题。
同时，还需要考虑数据的噪声和异常值对拟合结果的影响，以及模型的泛化能力。
最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
最小二乘法与曲线拟合-PPT
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
Matlab最小二乘法曲线拟合的应用实例
MATLAB机械工程最小二乘法曲线拟合的应用实例班级:姓名:学号:指导教师:一，实验目的通过Matlab上机编程，掌握利用Matlab软件进行数据拟合分析及数据可视化方法二，实验内容1.有一组风机叶片的耐磨实验数据，如下表所示，其中X为使用时间，单位为小时h，Y为磨失质量，单位为克g。
要求：对该数据进行合理的最小二乘法数据拟合得下列数据。
x=[10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 170 00 18000 19000 20000 21000 22000 23000];y=[24.0 26.5 29.8 32.4 34.7 37.7 41.1 42.8 44.6 47.3 6 5.8 87.5 137.8 174.2]三，程序如下X=10000:1000:23000;Y=[24.0,26.5,29.8,32.4,34.7,37.7,41.1,42.8,44.6,47.3,6 5.8,87.5,137.8,174.2]dy=1.5; %拟合数据y的步长for n=1:6[a,S]=polyfit(x,y,n);A{n}=a;da=dy*sqrt(diag(inv(S.R´*S.R)));Da{n}=da´;freedom(n)=S.df;[ye,delta]=polyval(a,x,S);YE{n}=ye;D{n}=delta;chi2(n)=sum((y-ye).^2)/dy/dy;endQ=1-chi2cdf(chi2,freedom); %判断拟合良好度clf,shgsubplot(1,2,1),plot(1：6,abs(chi2-freedom),‘b’) xlabel(‘阶次’)，title(‘chi2与自由度’)subplot(1,2,2),plot(1：6,Q,‘r’,1：6,ones(1,6)*0.5) xlabel(‘阶次’),title(‘Q与0.5线’)nod=input(‘根据图形选择适当的阶次（请输入数值）’)；elf,shg,plot(x,y,‘kx’)；xlabel(‘x’),ylabel(‘y’)；axis([8000,23000,20.0,174.2])；hold onerrorbar(x,YE{nod},D{nod},‘r’)；hold offtitle(‘较适当阶次的拟合’)text(10000,150.0,[‘chi2=’num2str(chi2(nod))‘~’int2str(freedom(nod))])text(10000,140.0,[‘freedom=’int2str(freedom(nod))]) text(20000,40.0,[‘Q=’num2str(Q(nod))‘~0.5’])disp(‘’)disp(‘拟合多项式系数’)，disp(A{nod})disp(‘拟合系数的离差’)，disp(DA{nod})运行结果分为两个阶段，第一阶段先判断拟合度，第二阶段根据拟合度，选择合适的拟合阶次，再绘出拟合结果。
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序最小二乘法是一种常用的数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛使用来找到最佳拟合曲线。
下面的Matlab程序演示了如何使用最小二乘法进行曲线拟合。
% 输入数据x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1];% 构建矩阵A = [x(:), ones(size(x))]; % 使用x向量和单位矩阵构建矩阵A% 使用最小二乘法求解theta = (A' * A) \ (A' * y); % 利用最小二乘法的公式求解% 显示拟合曲线plot(x, theta(1) * x + theta(2), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序首先定义了一组输入数据x和y。
然后，它构建了一个矩阵A，这个矩阵由输入数据x和单位矩阵构成。
然后，程序使用最小二乘法的公式来求解最佳拟合曲线的参数。
最后，程序画出拟合曲线和原始数据点。
这个程序使用的是线性最小二乘法，适用于一次曲线拟合。
如果你的数据更适合非线性模型，例如二次曲线或指数曲线，那么你需要使用非线性最小二乘法。
Matlab提供了lsqcurvefit函数，可以用于非线性曲线拟合。
例如：% 非线性模型 y = a * x^2 + b * x + cfun = @(theta, x) theta(1) * x.^2 + theta(2) * x +theta(3);guess = [1, 1, 1]; % 初始猜测值% 使用lsqcurvefit函数求解theta = lsqcurvefit(fun, guess, x, y);% 显示拟合曲线plot(x, fun(theta, x), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序定义了一个非线性函数fun，然后使用lsqcurvefit函数来求解最佳拟合曲线的参数。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
标准曲线的最⼩⼆乘法拟合和相关系数标准曲线的最⼩⼆乘法拟合和相关系数（合肥⼯业⼤学控释药物研究室尹情胜）1 ⽬的⽤最⼩⼆乘法拟合⼀组变量（，，i＝1-n）之间的线性⽅程（y＝ax+b），表⽰两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家⾼斯）⼀组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性⽤相关系数（R）来表⽰。
（开创者：英国统计学家卡尔·⽪尔逊）2 最⼩⼆乘法原理⽤最⼩⼆乘法拟合线性⽅程时，其⽬标是使拟合值（）与实测值（）差值的平⽅和（Q）最⼩。
式（1）3 拟合⽅程的计算公式与推导当Q最⼩时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平⽅称为判定系数）是⽤以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差⽅法计算，同样以两变量与各⾃平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越⼤，x的变动引起y的变动就越⼤，|r xy | > 0.8时称为⾼度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为⽆相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性⽔平（α）与置信度（P）的关系显著性⽔平取0.05，表⽰置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
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例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
因此所求的拟合函数为
( x) 5.289 0.394 sin
5
x 3.581cos
10
x
23 23
例题
例3.3 已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，
试用最小二乘法求形如
T T
即
4 a 45 46 4 1.3525 b 2.55
解得
a 1.537650114 b 6.432976311
于是所求拟合曲线为
y 1.537650 x 6.43297拟合
已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3， 46)，试用最小二乘法求形如
i 0 i 0
n
n
( x ) a j j ( x )
j 0
m
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。 i x y 0 37 1 38 2 39 3 40 4 41 5 42 6 43
3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
d (e e) T 2 A (b Ax) 0 dx
T
A (b Ax) 0
T
17
线性矛盾方程组（续）
A Ax A b 0
T T
A Ax A b
T T
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾 方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
18
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
x0 x 1 A x2 x3
1 / x0 1 / x1 1 / x2 1 / x3
y0 y 1 y y2 y3
a w b
26
例题
其法方程为
A Aw A y
y ax
b
上的经验公式。
28
非线性最小二乘拟合
5 a 1
b b b
21 a 2
46 a 3
得到的是非线性方程组，求解通常
比较困难。
29
非线性最小二乘拟合
y ax （ 1）
b
两边取对数，得
lg y lg a b lg x
令 w lg y , A lg a , z lg x , 则得
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
于是所求拟合曲线为
p2 ( x) 268.010 13.171x 0.163 x
2
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b nm m n n1 1 n 2 2
3.40 3.00 2.10 b 1.53 1.80 1.90 2.90 12
例题
得
Aw b
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 A
T
AT Aw AT b
即
13
例题
280 11228 a0 16.63 7 280 11228 451360 a 661 . 2 1 a 26368.2 11228 451360 18188996 2
w A bz
30
非线性最小二乘拟合
bx y ae （ 2）
两边取自然对数，得
ln y ln a bx
令 w ln y , A ln a , z x , 则得 w A bz
31
非线性最小二乘拟合（续）
x y ab （ 3）
两边取对数，得
lg y lg a x lg b
即
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维 的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
e e e 2 b Ax 2 min
T
2
2
（3.12）
16
线性矛盾方程组（续）
e e (b Ax) (b Ax)
T T
令
w ln y , A ln a , z x ,
则上式 成为关于A，b 的线性函数
w A bz
36
例题
根据数据(x , y) 算出对应的(z , w) , 得下表 z w 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353
例题
其法方程为
A Aw A y
T T
即
0.0 5.6957 a0 16.6300 7 0.0 4 . 3090 0 . 0 a 1 . 6980 1 a 12.9064 5 . 6957 0 . 0 4 . 8090 2
20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1 x0 1 x1 A 1 x6
2 x0 2 x1 2 x6
y0 y 1 y y3
a0 w a1 a 2
21
sin( 37) cos( 37) 5 10 sin( 38) cos( 38) 3.40 5 10 3.00 sin( 39) cos( 39) a 2.10 5 10 0 a 1.53 sin( 40) cos( 40) 1 5 10 a 1.80 2 sin( 41) cos( 41) 5 10 1.90 2.90 sin( 42) cos( 42) 5 10 sin( 43) cos( 43) 5 10
2
a0 41a1 41 a2 1.80
2
a0 42a1 42 a2 1.90
2
a0 43a1 43 a2 2.90
2
10
例题
1 1 1 1 1 1 1
37 37 3.40 3.00 2 38 38 2 39 39 a0 2.10 2 40 40 a1 1.53 2 a 1.80 41 41 2 2 42 42 1.90 2 2.90 43 43
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数 f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
2
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 1 1 A 1 1 1 1
37 37 2 38 38 39 392 2 40 40 , 41 412 2 42 42 2 43 43
2
a0 w a1 , a 2
令
w 1 / y , z 1 / x,
则得
w a bz
34
例题
例3.4 给定实验数据 x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
y
5.10 5.79 6.53 7.45 8.46
bx y ae 试求形如 的拟合函数。
35
例题
解 对拟合函数的两边取自然对数，即
ln y ln a bx
建立法方程
7.5 A 9.4052 5 7.5 11.875 b 14.4239
37
例题
解得
A 1.1225 , b 0.5057 , a e A 3.0725
因此，所求的拟合函数为
y 3.0725e 0.5057 x
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei ( xi ) yi
并称ei为偏差。
(i 0,1,2,, n),
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和
最小为标准
E ei2 w( xi )[( xi ) yi ]2 min
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
p2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
9
例题
a0 37a1 37 a2 3.40
2
a0 38a1 38 a2 3.00
2
a0 39a1 39 a2 2.10
2
a0 40a1 40 a2 1.53
上的经验公式。
b ( x) ax x
24
例题
解：记
x0 1, y0 5; x1 2, y1 0; x2 4, y2 5; x3 5, y3 6;
按题意，得矛盾方程组，
axi b xi yi
写成矩阵形式，为
(i 0,1,2,3)
25 25
例题
38