曲线拟合与最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
最小二乘法是统计学中最常用的数据拟合方法，也被称为**最小平方法**。
该方法在数学和统计学中已经有很长的历史，广泛应用于各种学科的科学研究和实际应用。
最小二乘法的主要思想是最小化所给数据点与目标曲线之间的误差平方和，以此来确定目标曲线的参数。
具体而言，最小二乘法是根据**基函数**与参数之间的函数关系，采用多元函数去拟合所给数据点，旨在最小化拟合数据点和多元函数之间误差平方和的拟合方法。
最小二乘法可以用来拟合任何形式的曲线，在各种应用中都大量应用。
比如在政治学、经济学和心理学中，研究者通过最小二乘法来拟合某种结果与输入变量之间的联系，以更好地理解呈现结果的背景机制；在数值计算中，最小二乘法可用来拟合数值计算数据，从而精确地求解各种方程；而在工程学中，最小二乘法常用来拟合统计数据，估计影响工作效率的各种自变量。
总之，最小二乘法是一种统计学中经久不衰的拟合方法，可以用来拟合任何形式的曲线，在广泛的应用领域有着重要地位。
计算方法课件第六章最小二乘法与曲线拟合
例1： y aebx
ln y ln a bx
u ln y, A ln a, B b
u A Bx
例2： y
a
1 bx
u 1 y
1 a bx y u a bx
3.写出矛盾方程组。 4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。 6.将正则方程组的解带回到数学模型中，得到拟 合曲线。
Remark
1.同一问题可以有不同的拟合曲线，通常根据均方误
差 N [ (xi 和) 最yi大]2 偏差
max
1i N
( xi
t cos 0.669131 0.390731 0.121869 -0.309017 -0.587785
记 a 1 , b e ，得拟合模型：a bt y
p
p
则矛盾方程组为：
1 0.669131
0.370370
1
1 1
0.390731 0.121869 0.309017
a b
0.500000
一、曲线拟合模型
定义：依据某种标准选择一条“最好”的简单
曲线作为一组离散数据(
xi
,
yi
)
N i0
的连续模型。
确定曲线的类型：一般选取简单的低次多项式。
求一个次数不高于N－1次的多项式：
y (x) a0 a1x a2x2 amxm
(m N 1)
（其中a0,a1,…,am待定），使其“最好”的拟合
j 1
j 1
n a1 j x j b1
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
最小二乘法的曲线拟合
最小二乘法的曲线拟合曲线拟合是在给定一组离散数据的情况下，通过一个函数来逼近这些数据的过程。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的曲线拟合。
在进行最小二乘法的曲线拟合之前，我们首先需要明确拟合的目标函数形式。
根据实际问题的不同，可以选择线性拟合函数、多项式拟合函数或者其他非线性拟合函数。
然后，我们通过求解最小二乘问题的优化方程，来得到拟合函数的系数。
最小二乘法的核心思想是将拟合问题转化为一个优化问题。
我们需要定义一个损失函数，用来衡量观测值与拟合值之间的差异。
常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等。
在最小二乘法中，我们选择平方损失函数，因为它能够更好地反映误差的大小。
具体来说，我们假设待拟合的数据点为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，拟合函数为f(x)。
则拟合问题可表示为以下优化方程：min Σ(yi-f(xi))^2通过求解优化方程，即求解拟合函数的系数，我们可以得到最佳的曲线拟合。
最小二乘法的优势在于它能够考虑所有观测值的误差，并且具有较好的稳定性和可靠性。
在实际应用中，最小二乘法的曲线拟合被广泛应用于各个领域。
例如，在物理学中，可以利用最小二乘法来分析实验数据，拟合出与实际曲线相符合的函数。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型中的参数。
在工程领域，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等方面。
总而言之，最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的拟合函数。
它具有简单、稳定、可靠的特点，在各个领域都有广泛的应用。
计算方法 第三章 最小二乘法与曲线拟合
j1 i1
i1
称（2）为（1）的正规方程组（法方程组）。 （2）的解即为（1）的解，称此方法为最小二乘法。
例：利用最小二乘法求矛盾方程组：
2x+4y=11
3x 5y 3 x 2 y 6
4x 2 y 14
解：将原方程组改写为
4
1 2x 4 y 11 2 3x 5y 3 3 x 2 y 6
记
Q
n
i2
n
m
2
(aij x j bi ) （求Q的最小值）
i 1
i1 j1
Q
xk
n i 1
2
m
(aij x j
j 1
bi )aik
n
2
i 1
m
(aij x j
j 1
bi )aik
0
即
m
n
aij aik
x
j
n
aik bi
(k 1, 2,
, m)
——（2）
注：拟合时尽量使i 0
2. 常用方法：
m
m
（1）使偏差绝对值之和最小，即 | i | | (xi ) yi |最小。
i 1
i 1
(2)
使偏差最大绝对值最小，即max 1im
|
i
|
max
1im
|
( xi
)
yi
|
最小。
m
m
（3）使偏差平方和最小，即 i2 ［(xi ) yi］2最小。
解得：x 2.977，y 1.226
§3.2 曲线拟合
一、已知 x x1 x2 xn
y y1 y2
yn
n－1的多项式 Q(x) a0 a1x
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
最小二乘法曲线拟合原理
最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合是一个重要的数值分析方法，它是通过最小二乘法对样本点与直线或曲线之间的关系进行拟合和分析，从而估算出一个函数的一组参数。
最小二乘法曲线拟合是一种经典的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线，估算出参数，预测数据，分析函数，优化模型，甚至可以分析复杂多变量函数。
最小二乘法曲线拟合的核心方法是使用最小二乘法把拟合的曲线拟合到观察到的数据，通过求解方程的最小二乘法，把一系列的观察数据点拟合为最小二乘法曲线，计算出拟合曲线的最佳系数，满足拟合效果的最佳拟合曲线。
最小二乘法曲线拟合的核心目标是通过计算拟合曲线的最小均方误差(SSE)、平均均方误差(MSE)、最大均方误差(MAXE)等方法，使拟合曲线与观察数据点之间的差距最小，从而求解出最佳拟合曲线系数。
最小二乘法曲线拟合具有很强的解析性，可以用数学计算方法快速求解，可以满足各种不同应用场景的需求，因而被广泛应用于科学研究、工程设计、市场分析等领域。
最小二乘法曲线拟合最常见的应用场景有：根据观察数据拟合和估计函数的参数；分析函数的性质；优化模型的能力；预测数据等等。
当应用最小二乘法拟合函数时，首先需要把观察数据用直线或曲线拟合，然后使用极小化残差平方和的方法，来求解参数，这是一个典型的最优化问题，利用一般最优化算法来求解，如梯度下降算法、牛顿法等。
此外，在应用最小二乘法曲线拟合的过程中，还可以考虑几种情况，比如样本数据受到误差的影响，具有某种偏差性；偏差是否服从正态分布；样本数据的分布是否同分布；拟合曲线的拟合是否收敛，参数计算是否准确等等。
总之，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线、估算参数、预测数据、优化模型等。
在应用最小二乘法曲线拟合时，需要考虑一些影响因素，比如样本数据受到误差的影响、偏差是否服从正态分布等，因此，它是一种有效的数值分析方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y4=20.963
《计算则正规方程组为4a04 a1
4 i1
xi
4
4 i1
yi
4
方 法 与
a0 i1 xi a1 i1 xi2 i1 xi yi
实
习
其中
4
xi 7.32
4
4
xi2 13.8434 yi 70.376
4
xi yi 132.12985
》
i1
i1
i1
i1
将以上数据代入上式正规方程组,得
xi
m i1
yi
《
计 算
a1
m i1
xi2
m
a0 xi
i1
m
xi yi
i1
例5. 1 设有某实验数据如下：
方 法
i1
2
与 实 习 》
xi
1.36
1.37
yi
14.094 16.844
(5.1)
3 1.95 18.475
4 2.28 20.963
用最小二乘法求以上数据的拟合函数
解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点
的分布可贵以州航用天一职条业技直术线学院来计近算似机科地学描系 述王陞,设国所制求作 的 。
第五章 曲线拟合与最小二乘法
拟解合得直线为a y0 (x )3 a.9 0a 3 1x,记7x14 =a 1 1. 367 , .x4 2=16 .372 , x36 =1.95
x4即=得2.2拟8,合y1直=线14.094y, y2=3.9 16.3 844 7 , y734 .=4186 .47x2 5, 6
N
m
Q (yi ajxij)2
i1
j0
由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多
《 元函数, 故上述拟合多项式的构造问题可归
计
算 结为多元函数的极值问题。令
方
法
与 实
Q0,k0,1,2,,m
习
》得
ak
即有
N
m
(yi ajxij)xik0, k0,1,,m
i1
j0
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
74.a30 2a07 .312a3.18473a0.1347163.122985
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
（2）多项式拟合
第五章 曲线拟合与最小二乘法
有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直
线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式
拟合。对于给定的一组数据 x i,y i ,i 1 ,2 , ,N
换句话说:求一条曲线,使数据第点五章均曲在线离拟合此与曲最小线二的乘上法
为方此或,我下们方不希远望处从,所给求定的的曲数线据称为(xi拟,yi)合出曲发线,构,它造既一能个
近反似映函数数据的 (总x),体不分要布求,又函不数至于( x出) 完现全局通部较过大所的有波的
数动据,更点能，反只映要被求逼近所函得数的的近特似性曲,使线求能得反的逼映近数函据数的
《 基与本已趋知势函，数如从总图体5-上1所来示说。其偏差按某种方法度量达
计
算 方
到最小,这就是最小二乘法。
法 与
y
•
实
••
习
••
》 图5-1
•
• •
曲线拟合示意图
••
•
•
•
•
••
贵州航天职业技术o 学院计算机科学系 王陞国 制作x
第五章 曲线拟合与最小二乘法
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过
两边取对数得.lnylnab令x
a0lna,a1b 得 a0lna,a1b
则就得到线性模型 ya0a1x
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
则于由正是规a1得方到6程ab0拟6组得合a为1 i指61bx数i 6函ai611数yi为60.772282
y1.754e70 8 《
n i0
(xi)f(xi)2 2
》即
n
n
2
e2 2 i2 (xi)f(xi)
i0
i0
为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合
称为曲线拟合的最小二乘法。
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
（1）直线拟合
第五章 曲线拟合与最小二乘法
设已知数据点 x i,y i,i 1 ,2 , ,m ,分布大致为一条直线
与 实
，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的
习 》
点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据
的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验
或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得
到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
15a0 55a1 225a2 30 55a0 225a1 979a2 122
解之得 a 0 4 .71 ,a 14 2 3 .78 ,a 25 0 .7 5000
所求的多项式为 y4.714 2.738x 50.7 50x2 00 贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
习
》 两种逼近概念:
插值: 在节点处函数值相同.
拟合: 在数据点处误差平方和最小
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节处函数值
相同,即 P(xi)f(xi)(i0 ,1 , ,n )而曲线拟合函数(x)不
要求严格地通过所有数据点 (xi,也yi)就是说拟合函数(x)在
《 xi 处的偏差(亦称残差）
计 算
i (xi)f(xi) (i 0 ,1 , ,n )
方
法 不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反
与
实 习
映所给数据点的变化趋势,要求 i
按某种度量标准
》 最小。若记向量e0,1,,nT,即要求向量e的某种
范数 e
最小,如 e的1-范数
e
或∞-范数
1
e
即
所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的
基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。
《
在对给出的实验(或观测)数据 (x i,yi)i( 0 ,1 , ,n )
计 算
作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢
？一般希望各
方 法
实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这
与 实
就是最小二乘原理。
》 ，故 a 0 和 a 1 应满足下列条件：
F(a0,a1)
a0
m
2 (a0
i1
a1xi
yi ) 0
贵州F航(a 天a01 职,a 业1技) 术学2院im 计1 (算a机0科学a系1x王i 陞国yi
)xi 0
制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
即得如下正规方程组
a0m
a1
m i1
《 计 算 方
N=6
6
6
6
6
6
6
6
x i 1 , x 5 i 2 5 , x 5 i 3 2,2 x i 4 7 5 ,9 y i 1 7 , x 4 iy i 3 , x 0 i 2 y i 12
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
法其法方程组为
与
6a0 15a1 55a2 14
实 习 》
》 还原为原变量所表示的曲线拟合方程。
表5-1列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的
曲线拟合方程及变换关系
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
表5-1
曲线拟合方程 变换关系 变换后线性拟合方程
y axb yln y,xln x ya b x(aln a )
几种常见的数据拟合情况。图 ( a ) 表示数据接近于
直线，故宜采用线性函数 ya0a1x拟合；图(b)数
据分布接近于抛物线。可采拟合；二次多项式
《 ya0a1xa2x2拟合；
计
算 方
y
y
法
与
实
习
》
O
(a)
x
O
(b)
x
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
图 ( c ) 的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐
计 算 方 法 与
其中 6 i 1
xi
a0
7.5
xi a1 xi2 xi yi
i1 6
i1
xi2
i1
13.75
60.7i1 722x862
lnyi 2.043302 xi lnyi
i1
i1
将以上数据代入上式正规方程组，得
5.714112
实
习 》
6a0 7.5a1 2.043302 7.5a0 13.75a1 5.714112
解得 a00.562, 3a0 120.772282
由 a0 lna 得 aea0 e0.562, 3012.754708
贵州航天职业技术学院计算机科学系 王陞国 制作
第五章 曲线拟合与最小二乘法
（4）超定方程组的最小二乘解
设线性方程组Ax=b中，A(aij)mn ,b 是m维已知向
量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中方程
实
习 》
i1 2 3 4 5
6
xi 0 1 2 3