插值与最小二乘法
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总函数逼近是数值计算中非常重要的技术之一，它主要用于用已知函数逼近未知函数，从而得到未知函数的一些近似值。
在实际应用中，函数逼近广泛用于数据拟合、插值、信号处理、图像处理等领域。
下面将介绍几种常用的函数逼近算法及其应用。
1. 最小二乘法（Least Square Method）最小二乘法将函数逼近问题转化为最小化离散数据与拟合函数之间的残差平方和的问题。
它在数据拟合和插值中应用广泛。
例如，最小二乘法可以用于拟合数据点，找出最佳拟合曲线；也可以用于信号处理中的滤波器设计。
2. 插值法（Interpolation）插值法旨在通过已知数据点之间的连线或曲线，来逼近未知函数在这些数据点上的取值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值法在图像处理中广泛应用，例如可以通过已知的像素点来重构图像，提高图像的质量和分辨率。
3. 最小二乘曲线拟合（Least Square Curve Fitting）最小二乘曲线拟合是一种将渐近函数与离散数据拟合的方法，常见的函数包括多项式、指数函数、对数函数等。
最小二乘曲线拟合可以在一定程度上逼近原始数据，从而得到曲线的一些参数。
这种方法在数据分析和统计学中经常使用，在实际应用中可以拟合出模型参数，从而做出预测。
4. 正交多项式逼近（Orthogonal Polynomial Approximation）正交多项式逼近是一种通过正交多项式来逼近未知函数的方法。
正交多项式具有良好的性质，例如正交性和递推关系，因此可以用于高效地逼近函数。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式和切比雪夫多项式等。
正交多项式逼近广泛应用于数值计算和信号处理中，例如用于图像压缩和数据压缩。
5. 插值样条曲线（Interpolating Spline）插值样条曲线是将多个局部的多项式插值片段拼接在一起，从而逼近未知函数的方法。
插值样条曲线在实现光滑拟合的同时，还能逼近离散数据点。
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的
差别
多项式插值和最小二乘法拟合是两种常见的数据拟合方法，它们在原理上有着一些差别。
多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数的方法，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的优点是可以精确地拟合数据，但是当数据点数量较多时，多项式插值的计算量会变得非常大，同时过度拟合的风险也会增加。
最小二乘法拟合是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
最小二乘法拟合的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的误差平方和最小。
最小二乘法拟合的优点是可以在一定程度上避免过度拟合的问题，同时计算量也相对较小。
但是最小二乘法拟合的缺点是无法精确地拟合数据，因为它只是通过最小化误差平方和来寻找一个最优解，而不是通过精确地拟合每个数据点来得到一个解。
因此，多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别主要在于它们的目标不同。
多项式插值的目标是精确地拟合每个数据点，而最小二乘法拟合的目标是通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体的数据特点和需求来选择合适的拟
合方法。
如果数据点数量较少且需要精确地拟合每个数据点，那么多项式插值可能是更好的选择；如果数据点数量较多或需要避免过度拟合的问题，那么最小二乘法拟合可能更适合。
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用
计算方法题目最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用学院机电工程学院专业控制工程姓名徐进学号 1504122120最小二乘法和拉格朗日插值法在数据测试处理中的综合应用一、应用背景概述在工程实践和科学研究中，常常需要对系统进行某些性能或现象的测试研究，来探求其中的某些内在规律。
一般而言，采用实验的方法获得实验数据，然后经过处理实验数据来表征出目标变量间的相互关系。
在实际的数据测试处理中，不仅需要利用数值计算方法来探求出最终的表征函数关系，而且对于测试过程中的粗大误差数据，可以通过分析观察被测数据与表征目标函数曲线的吻合情况，可以判断出测试过程中含有粗大误差的数据，并加以剔除，以免对后续系统的研究产生干扰和不必要的麻烦。
数据处理和分析中应用较多的是最小二乘法和拉格朗日插值法，这两种数值分析方法是运算简便且应用广泛的数据测试处理表示方法。
本次应用实践，充分考虑两种方法的优势，通过两种方法得到两种拟合曲线，然后通过对两种拟合曲线函数多项式系数相应进行平均值计算，得到整合后的新的多项式。
二、应用方法原理概述①粗大误差粗大误差又称疏忽误差或过失误差，它是由于技术不成熟，测量时不小心或外界的突然干扰（例如突然振动、仪器电源电压的突然变化）等原因造成的。
含有粗大误差的测量数据，常比正常数据相差较大（过大或过小）。
当对某一量值作多次独立的等精度重复测量，如其中个别或少数数据明显地偏大或偏小时，则可怀疑数据中含有粗大误差。
本次应用中，通过被测数据与拟合函数图形进行对比的方法，剔除偏离较大的粗大误差。
②最小二乘法和拉格朗日插值法综合应用原理关于最小二乘法和拉格朗日插值法各自的详细介绍，在这里就不再赘述。
本次应用，主要通过利用最小二乘法和拉格朗日插值法在数值分析中的优点，对其进行融合，得到一种改进的探求拟合目标函数的方法。
其应用原理如下：例如，利用最小二乘法拟合得到的目标函数的多项式为: y=a0+a1x+a2x2+…+a n x n利用拉格朗日插值法得到的目标函数多项式为Y=b0+b1x+b2x2+…+b n x n则结合方法得到的多项式为:简单来说，就是将最小二乘法得到的拟合多项式各自的系数和拉格朗日插值法得到的拟合多项式各自的系数分别相应进行算术平均值计算，得到的各项新系数，构成新的最终拟合目标函数多项式。
插值法与最小二乘法
取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1
xn
x3 n1
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
测绘技术中的数据拟合方法介绍
测绘技术中的数据拟合方法介绍1. 引言测绘技术是一门应用广泛的学科，常用于地图制作、土地测量和建筑设计等领域。
在测绘过程中，我们经常需要进行数据的拟合，以求得准确的结果。
本文将重点介绍测绘技术中常用的数据拟合方法。
2. 最小二乘法最小二乘法是数据拟合中最常用的方法之一。
其基本原理是通过最小化测量值与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳的拟合曲线。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数的拟合。
其中，线性最小二乘法可以直接利用矩阵运算求解，而非线性最小二乘法则需要通过迭代法求解。
3. 多项式拟合多项式拟合是一种简单而常用的数据拟合方法。
通过将数据拟合为一个多项式函数，可以较好地逼近数据点的分布。
多项式拟合的优势在于其简单计算和广泛应用。
然而，多项式拟合也存在一些问题，例如容易出现过拟合和不稳定等情况。
4. 样条插值样条插值是一种基于插值原理的数据拟合方法。
其基本思想是将数据点之间的区域进行拟合，从而得到一个平滑的曲线。
样条插值可以分为三次样条插值和分段线性插值两种方法。
三次样条插值方法可以保持曲线的光滑性，而分段线性插值方法则更加快速和简单。
5. 曲线拟合对于非线性的数据，曲线拟合可以提供更加准确的结果。
曲线拟合通常利用数学模型来逼近数据点的分布。
常见的曲线拟合方法包括指数曲线拟合、对数曲线拟合和幂函数曲线拟合等。
曲线拟合要求选取合适的拟合模型，并通过最优化方法来求解模型参数。
6. 联合拟合如果数据集中包含多个相互关联的变量，那么联合拟合方法可以提供更好的拟合结果。
联合拟合是在多个拟合模型之间建立联系，并同时进行参数估计的过程。
联合拟合方法可以提高数据拟合的准确性，减小不确定性。
7. 结论通过本文的介绍，我们了解了测绘技术中常用的数据拟合方法。
最小二乘法在线性和非线性拟合中都具有重要的应用。
多项式拟合、样条插值和曲线拟合则分别适用于不同类型的数据。
联合拟合方法可以适用于包含多个变量的复杂数据集。
在实际测绘过程中，根据不同的数据特点和需求，可以选择合适的拟合方法来提高测量结果的准确性和可靠性。
CH3-插值法与最小二乘法—3
待定函数
(x x0 )(x x1)(x xn )
Rn (x) f (x) Pn (x) K (x)n1(x)
5
f (x) Pn (x) K (x)n1(x) 0
(3)
引入辅助函数（为了确定K (x)）
(t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
(4)
若x为(a,b)上的一个固定的点，且x xi (i 0,1,..., n). 那么x和xi (i 0,1,..., n)代入上式有：
例
设函数
f
(
x)
1
1 x
2（x
[5,5]），
将[5,5]n等分，
取n 1个节点：
xi
5 ih（h
10 n
,i
0,1,, n）
试就n 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项
式，并作图比较.
解:
yi
f (xi )
1 1 xi2
作n次Lagrange插值多项式：
Ln(x)
3
这就意味着插值多项式存在着截断误差,而一般情况 下f(x)旳精确值都是未知旳，那么我们该怎样估计这 个截断误差呢？
定理：设 f (x)在含节点 xi (i 0,1,..., n) 旳区间[a,b]上n+1
次可微，Pn (x) 是有关给定旳n+1个节点旳n次插值多项
式，则对于 x [a,b]，存在与x有关旳 (a,b)，使得
n 1阶导数为零，即 :
(n1) ( ) 0
(t) f (t) Pn (t) K (x)n1(t)
因为 所以
(n1) (t)
f
(
n1)
(t
)
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，
l1(x)
x x0 x1 x0
则称l0(x),l1(x)为x0与x1的线性插值基函数。
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12
§2.1 线性插值与二次插值
当n 2，给出三点(x0, f (x0 )),(x1, f (x1)),(x2, f (x2 ))
l0 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
用插值基函数方法可得 ：Ln (x) li (x) f (xi )
i0
其中li (x)
(x x0 )(x (xi x0 )(xi
xi1)(x xi1)(x xn ) xi1)(xi xi1)(xi xn )
称为关于x0, x1,, xn的n次插值基函数它满足：
li
(x
j
)
1, 0,
a0 a1x0 a2 x02 a0 a1x1 a2 x12
an x0n y0 an x1n y1
a0 a1xn a2 xn2 an xnn yn
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9
由线性方程组理论，未知数个数等于方程个数，
此时系数方阵为
1
A
1
x0 x1
x02 x12
1 xn xn2
比西欧学者发表相应结果早一千余年.
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4
●问题的解决---插值方法概述
寻求较简单的连续函数 (x)，使它在给
定的n+1个点满足测量值，在其他点处估计 未知函数值。
若将连续函数 (x)取为多项式函数，则
称为多项式(Polynomial)插值Pn(x)；当然还 有三角插值、有理插值等形式。
Ln (x)
n i0
n1 ( x) (x xi )'n1 (xi )
f (xi )
并 有 以 下 关 于 插 值 多 项式 的
隐 含 唯 一 性 的 误 差 估 《数值分析》 主讲教师 计。
15
§2.3插值余项与误差估计
L2 (x) l0 (x) f (x0 ) l1(x) f (x1) l2 f (x2 )
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13
§2.2 Lagrange插值多项式
拉格朗日利用n 1个插值节点(xi , yi )来构造出插值多
项式Ln (x)，使Ln (xi ) f (xi ),i 0,1,, n
n
x0n x1n
为Vandermonde矩阵，A非奇异,
xnn
方程有唯一解。由Cramer法则可直接.但求解太烦且
运算量大。利用Cramer法则直接插值多项式,称为
代数插值方法.
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10
§2 Lagrange多项式插值
§2.1 线性插值与二次插值---导引 §2.2 Lagrange插值多项式 §2.3插值余项与误差估计
的运行测量和计算中逐步得到发展.元代郭守敬的 平立定三差法(招差法)标志着中国古代历法计算从二次 到高次插值方法的演变.通过中外比较,有些成果比西方 国家早400～1 000年.
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3
è历史
等距节点内插公式是由我国隋朝数学家 刘焯(公元544-610年)首先提出的;
不等距节点内插公式是由我国唐朝数学 家张遂(公元683-727年)提出的;
j j
i i
, i,
பைடு நூலகம்
j
0,1,,
n
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14
若记 n1(x)(x x0)(x x1)(x xn)则
'n1(xi )(xi x0)(xi xi1)(xi xi1)(xi xn )
于是l
i(x)可改写为l
i(x)(
x
n1(x) xi )'n1(
x
i
)
从而Ln (x)可改写为表达式：
§1插值问题与插值多项式
设给定函数y f (x)在区间[a,b]上的一个列表 (xi , yi )(i 0,1, , n), 其中a x0 x1 xn b, 且f (x)在区间[a,b]上是连续的，要求用一个简单的、
便于计算的解析表达式(x)在区间[a,b]上近似f (x)， 使(xi ) yi ,i 0,1, , n
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11
§2.1 线性插值与二次插值
对两点(x0, f (x0 ))、(x1, f (x1))，通过此两点的插值多 项式是一条直线，即两 点式：
L1(x)
x x1 x0 x1
f x0
x x0 x1 x0
f x1
这里L1(x)就是线性插值，
若记l0(x)
x x1 x0 x1
就称(x)为f (x)的插值函数，点x0, , xn称为插值 节点，包含插值节点的区间[a, b]称为插值区间。
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7
多项式插值有着简单、应用广泛、 实用的特点，并且有较完备的理论体系。 因此本课主要介绍多项式插值。
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8
设y f (x)是x的实函数，过给定n 1个点(x0, y0 ), ，(xn, yn ) 试求多项式p(x)使得：p(xi ) yi ( f (xi )), (i 0,1, , n) 设p(x) a0 a1x a2x2 an xn 按p(x)满足的约束条件获得其系数a0, a1, , an应受的约束。
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5
插值与最小二乘法
§1插值问题与插值多项式 §2 Lagrange插值 §3 均差与Newton插值公式 §4 差分与Newton前后插值公式 §5 Hermite插值 §6 分段低次插值 §7 三次样条插值 §8 曲线拟合的最小二乘法
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6
插值与最小二乘法（拟合）
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1
æ 问题的提出
设某个未知函数关系y=f(x)的一些测量值列表如 下:
x
1
1.5
2
3
y
2.3 3.4 -1.7 5.6
那么对 x x xi ,(i=0,1,2,...,n) 应该如何估值
f (x)?
《数值分析》 主讲教师
2
内插法肇始于<周髀算经>中关于晷长的计算,后经 东汉、隋、唐、元等朝代天文学家在日、月、五星
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
l2 (x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
称为关于点 x0 , x1, x2的二次插值基函数，
它满足li
(x
j
)
1, 0,
j j
i i
,
i,
j
0,1,2
二次插值多项式可表示 为