最小二乘法应用实例

数值计算方法

实际应用（论文）

题目最小二乘法原理实际生活应用

学院信息工程学院

专业软件工程

姓名张同

班级 13级2班

学号1402130235

摘要

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，是利用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配的一种计算方法[1]，目前在测量学、城市道路规划、物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。本文对最小二乘法进行了深入细致的研究，利用Visual C++编制程序实现最小二乘法的界面化设计，通过实验数据的输入，实现线性和二次拟合曲线的输出，并利用设计的程序实现了一些实际问题的求解和处理。

关键词：最小二乘法曲线拟合Visual C++

最小二乘法在实际生活中的应用

一．实际问题描述：

早在19世纪后期，英国生物学家Galton 在研究父母身高与子女身高关系时，观察了1078个家庭中父亲、母亲身高的平均值x 和其中一个成年儿子身高y,建立了x 与y 之间的线性关系。

二．提出问题：

通过父母平均身高推算出成年儿子身高

三．分析问题：

平时我们在实验过程中会遇到两量y x ,如果存在b ax y +=的线性关系时，其中b a ,为线性函数的参数。当实验数据存在这种线性关系时，通常我们运用作图法对其参数进行处理运算、进而求出实验结果。但是作图法很难得到好的结果，而运用最小二乘法可以得到比较好的线性拟合

[19]

。对其两种方法比较可以最小二乘法的数据处理方法是比较理想的办法。

四．实验原理:

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

最小二乘法拟合:对给定数据点{(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ 中，求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E ^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi ，Yi)}(i=0,1,…，m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

五．解决方案：

运用数值计算方法中的最小二乘法处理数据，计算出a 与b ，得到y=a+bx 关系式。 1.根据实验数据列以下表格：

表1 实验数据收集

父母平均身高x （cm ） 155 160 165 170 175 180 成年儿子身高y （cm ） 158

164

168

175

178

188

2.主要程序代码：

#include

#include

void main() {

int i;

float a[2];

float x[6] = {155,160,165,170,175,180};

float y[6] = {158,164,168,175,178,188};

void Approx(float[],float[],int,int,float[]);

Approx(x,y,6,1,a);

for(i=0;i<=1;i++)

printf("a[%d]=%f\n",i,a[i]);

}

void Approx(float x[],float y[],int m,int n,float a[]) {

int i,j,t;

float *c=new float[(n+1)*(n+2)];

float power(int,float);

void ColPivot(float *,int,float[]);

for(i=0;i<=n;i++) {

for(j=0;j<=n;j++) {

*(c+i*(n+2)+j)=0;

for(t=0;t

*(c+i*(n+2)*j)+=power(i+j,x[t]);

}

*(c+i*(n+2)+n+1)=0;

for(j=0;j

*(c+i*(n+2)+n+1)+=y[j]*power(i,x[j]);

}

ColPivot(c,n+1,a);

delete c;

}

void ColPivot(float *c,int n,float x[]) {

int i,j,t,k;

float p;

for(i=0;i

k=i;

for(j=i+1;j

if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>>(fabs(*(c+k*(n+1)+i))))

k=j;

if(k!=i)

for(j=i;j<=n;j++) {

p=*(c+i*(n+1)+j);

*(c+i*(n+1)+j)=*(c+k*(n+1)+j);

*(c+k*(n+1)+j)=p;

}

for(j=j+1;j

p=(*(c+j*(n+1)+i))/(*(c+i*(n+1)+i));

}

for(t=i;t<=n;t++)

*(c+j*(n+1)+t)-=p*(*(c+i*(n+1)+t));

}

for(i=n-1;i>=0;i--) {

for(j=n-1;j>=i+1;j--)

(*(c+i*(n+1)+n))-=x[j]*(*(c+i*(n+1)+j));

x[i]=*(c+i*(n+1)+n)/(*(c+i*(n+1)+i));

}

}

float power(int i,float v) {

float a=1;

while(i--)

a*=v;

return a;

}

3.运算截图：

图2

将所求得数据代入公式可以求出a和b，得到y=33.73+0.516x.

4.结果分析

我们通过实验数据得出了y与x之间的线性关系式，这样我们就可以通过观察父母双方

身高，得出父母亲平均身高，来预测未来成年儿子的身高。

5.总结反思：

在完成论文的过程中遇到了许许多多的困难，比如程序上的不完善，算法中的疑惑。经过了一次次的更改，才逐渐的完成了这篇论文。在毕业设计的过程中，学到了许多新的知识，在查阅资料的过程中获得了不少的收获：1．对于最小二乘法了解，尝试着用最小二乘法手工计算数据的时候，明显的感觉到其中的繁琐及复杂。但是通过计算机编程实现算法的时候，不管是从计算量上还是时间上，都深切的体会到了编程实现算法的效率性和实用性。2．在使用Visual C++的时候，开始对其一无所知。在设计程序的过程中，许多操作无法实现。于是开始查阅资料，从图书馆借书或者询问同学。在此过程中，提高了自己对VC++编程的理解。3．对Word及Excel的使用变得更加的熟练，在设计文体结构以及布局方面上有了新的认识。但是其中还是有许多的不足之处，由于对于VC++编程的不熟练使用，在对某些特定形式的函数曲线进行拟合这一过程中无法实现，导致程序不是很完善。在今后，还是要更加的努力，争取将此部分在不久之后实现出来。

最小二乘法与实际问题联系和意义：

当今最小二乘法已经广泛的应用于各类学科，成为了不可缺少的重要工具。目前在物理学、地质勘探学、概率论、统计学等领域有着重要的应用。而最小二乘法曲线拟合的出现，又使得图像呈现更加直观，程序代码简单，使用方便，已经成为研究人员开展科研工作的有效工具之一。在做完了这篇论文后，学习到了许多新的知识。对于最小二乘法有了深一步的认识，了解了它的计算原理以及对于现在的测量估算上的意义，并对VC++也有了重新的认识，感受到了VC++在现代科技中的重要地位。