计算方法课件第六章最小二乘法与曲线拟合
最小二乘法的拟合
一、最小二乘法与最小一乘法1.什么时候用最小二乘法在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程.例如，在现实世界中，这样的情形大量存在着：两个变量X和Y（比如身高和体重）彼此有一些依赖关系，由X 可以部分地决定Y的值，但这种关系又是不确定的.人们常常借助统计学中的回归模型来寻找两个变量之间的关系，而模型的建立当然是依据观测数据.首先通过试验或调查获得x和Y的一组对应关系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(x n，Y n)，然后回答下列5个问题：1. 这两个变量是否有关系？(画出散点图，作直观判断)2. 这些关系是否可以近似用函数模型来描述？（利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，选择适当的回归模型，如一元线性模型y=b0＋b1x，二次函数模型y=b0＋b1x＋b2x2等）3. 建立回归模型.4. 对模型中的参数进行估计，最小二乘法是这些参数的一种常用估计方法.5. 讨论模型的拟合效果.在上述第3步中，设所建立的回归模型的一般形式是，其中Y称为响应变量，x称为解释变量或协变量；是一个由参数决定的回归函数；是一个不可观测的随机误差.为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的.由的估计值决定的方程称为经验回归方程或经验方程.教科书中涉及的回归模型是最简单的一元线性模型Y=b0+b1x+，此时模型的拟合效果可以通过Pearson相关系数来描述。
事实上，在线性回归模型中可以证明相关指数等于相关系数的平方.2.什么是最小二乘法思想简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.例如，对于回归模型，若，…，为收集到的观测数据，则应该用来估计，这里是的估计值。
最小二乘法的曲线拟合
最小二乘法的曲线拟合曲线拟合是在给定一组离散数据的情况下，通过一个函数来逼近这些数据的过程。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的曲线拟合。
在进行最小二乘法的曲线拟合之前，我们首先需要明确拟合的目标函数形式。
根据实际问题的不同，可以选择线性拟合函数、多项式拟合函数或者其他非线性拟合函数。
然后，我们通过求解最小二乘问题的优化方程，来得到拟合函数的系数。
最小二乘法的核心思想是将拟合问题转化为一个优化问题。
我们需要定义一个损失函数，用来衡量观测值与拟合值之间的差异。
常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等。
在最小二乘法中，我们选择平方损失函数，因为它能够更好地反映误差的大小。
具体来说，我们假设待拟合的数据点为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，拟合函数为f(x)。
则拟合问题可表示为以下优化方程：min Σ(yi-f(xi))^2通过求解优化方程，即求解拟合函数的系数，我们可以得到最佳的曲线拟合。
最小二乘法的优势在于它能够考虑所有观测值的误差，并且具有较好的稳定性和可靠性。
在实际应用中，最小二乘法的曲线拟合被广泛应用于各个领域。
例如，在物理学中，可以利用最小二乘法来分析实验数据，拟合出与实际曲线相符合的函数。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型中的参数。
在工程领域，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等方面。
总而言之，最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的拟合函数。
它具有简单、稳定、可靠的特点，在各个领域都有广泛的应用。
最小二乘法曲线拟合原理
最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合是一个重要的数值分析方法，它是通过最小二乘法对样本点与直线或曲线之间的关系进行拟合和分析，从而估算出一个函数的一组参数。
最小二乘法曲线拟合是一种经典的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线，估算出参数，预测数据，分析函数，优化模型，甚至可以分析复杂多变量函数。
最小二乘法曲线拟合的核心方法是使用最小二乘法把拟合的曲线拟合到观察到的数据，通过求解方程的最小二乘法，把一系列的观察数据点拟合为最小二乘法曲线，计算出拟合曲线的最佳系数，满足拟合效果的最佳拟合曲线。
最小二乘法曲线拟合的核心目标是通过计算拟合曲线的最小均方误差(SSE)、平均均方误差(MSE)、最大均方误差(MAXE)等方法，使拟合曲线与观察数据点之间的差距最小，从而求解出最佳拟合曲线系数。
最小二乘法曲线拟合具有很强的解析性，可以用数学计算方法快速求解，可以满足各种不同应用场景的需求，因而被广泛应用于科学研究、工程设计、市场分析等领域。
最小二乘法曲线拟合最常见的应用场景有：根据观察数据拟合和估计函数的参数；分析函数的性质；优化模型的能力；预测数据等等。
当应用最小二乘法拟合函数时，首先需要把观察数据用直线或曲线拟合，然后使用极小化残差平方和的方法，来求解参数，这是一个典型的最优化问题，利用一般最优化算法来求解，如梯度下降算法、牛顿法等。
此外，在应用最小二乘法曲线拟合的过程中，还可以考虑几种情况，比如样本数据受到误差的影响，具有某种偏差性；偏差是否服从正态分布；样本数据的分布是否同分布；拟合曲线的拟合是否收敛，参数计算是否准确等等。
总之，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线、估算参数、预测数据、优化模型等。
在应用最小二乘法曲线拟合时，需要考虑一些影响因素，比如样本数据受到误差的影响、偏差是否服从正态分布等，因此，它是一种有效的数值分析方法。
excel拟合曲线用的最小二乘法
Excel拟合曲线用的最小二乘法1. 介绍Excel作为一款常用的办公软件，被广泛应用于数据分析和处理，而拟合曲线是数据分析中常用的方法之一。
拟合曲线用的最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来找到最佳拟合曲线，从而对数据进行预测和分析。
在本文中，我将从深度和广度的角度来探讨Excel拟合曲线用的最小二乘法，带你深入探索这一主题。
2. 最小二乘法的原理在Excel中进行曲线拟合时，最小二乘法是一种常用的拟合方法。
其原理是通过最小化残差平方和来找到最佳拟合曲线。
残差是指每个数据点到拟合曲线的垂直距离，最小二乘法通过调整拟合曲线的参数，使得残差平方和最小化，从而得到最佳拟合曲线。
在Excel中，可以利用内置函数或插件来实现最小二乘法的曲线拟合，对于不同类型的曲线拟合，可以选择不同的拟合函数进行拟合。
3. Excel中的拟合曲线在Excel中进行拟合曲线时，首先需要将数据导入Excel，然后利用内置的数据分析工具或者插件来进行曲线拟合。
通过选择拟合函数、调整参数等操作，可以得到拟合曲线的相关信息，如拟合优度、参数估计值等。
可以根据拟合曲线的结果来对数据进行预测和分析，从而得到对应的结论和见解。
4. 个人观点与理解对于Excel拟合曲线用的最小二乘法，我认为这是一种简单而有效的数据分析方法。
它能够快速对数据进行拟合，并得到拟合曲线的相关信息，对于数据的预测和分析具有一定的帮助。
然而，也需要注意到拟合曲线并不一定能够准确描述数据的真实情况，需要结合实际背景和专业知识进行分析和判断。
在使用最小二乘法进行曲线拟合时，需要注意数据的可靠性和拟合结果的可信度，以避免出现不准确的结论和偏差的情况。
5. 总结通过本文的探讨，我们对Excel拟合曲线用的最小二乘法有了更深入的了解。
最小二乘法的原理、Excel中的实际操作以及个人观点与理解都得到了充分的展示和探讨。
在实际应用中，需要结合具体情况和专业知识来灵活运用最小二乘法进行曲线拟合，从而得到准确的分析和预测结果。
最小二乘法的线性拟合
变化趋势，比较符合实际规律。曲线拟合的方法有 很多，这里我们只介绍最小二乘法（线性、多项式、
指数曲线）的数据拟合。
10
线性拟合
• 在直角坐标系中点大致呈线性分布， y（x）＝ a0＋a1x
n
n
ei2 （f（xi） yi）2 （[ a0 a1xi） yi ]2 F（a0，a1）
i0
i0
i0
15
要使F（a0，a1）最小，必须满足
即：
F 0，F 0
a0
a1
F
a0
n
2 （a0 a1xi
i0
yi） 0
F
a1
（3）用曲线拟合的方法求出线图的拟合公式
（又称经验公式），再将公式编写成程
序。
2
4.2.1线图的数表化处理 所谓线图数表化处理是将线图离散转化为一
张数表，然后按数表的处理方法进行处理。
右Z图较少为时渐，开对齿线形齿系轮数影的响 一种齿较形大系，数节点曲的线区图间应取得
小些；
渐开线齿轮的齿数和齿形系数的关系
（1）按区域图的中线取值
找出区域中线的表达式， SH1
为此设齿面最小硬度为HB0 。
最高硬度为HBl ，SH0表示 最小硬度对应的极限应力中
SH0
值，SHl表示最大硬度对应 的极限应力中值，由此根据
直线的两点式方程可以写出
HB 0
HB1
极限应力中线的表达式为：
7
（2）按区域图的位置取值
在确定材料极限应力时只能取中值，不尽合理。为了 使设计者能根据所用材料的不同性能，按实际情况在区域 图内取不同的值，为此，增加两个参数，一个是极限应力 的幅度值SF，另一个是表示极限应力在区域图中的位置 参量ST。ST＝1时表示取上限值，ST＝0时表示取中值， ST＝-1时表示取下限值。此时极限应力的计算式变为：
最小二乘法及数据拟合
实验五 最小二乘法及数据拟合建模的回归分析一、实验目的:1．掌握用最小二乘建立回归数学模型。
2．学习通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，通过回归分析来判断模型建立是否正确。
3．应用建立的模型进行预测。
二、基本原理和方法 1．建立回归数学模型在进行建模和仿真分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。
拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳地拟合数据。
最佳拟合要在什么准则下的最佳？以及用什么样的曲线模型去拟合。
常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
本实验在Matlab 平台上，以多项式最小二乘拟合为例，掌握回归模型的建立（包括参数估计和模型建立）和用模型进行预测的方法，并学习回归分析的基本方法。
2．在MATLAB 里，用于求解最小二乘多项式拟合问题的函数如下： polyfit 最小二乘多项式拟合p=polyfit(x,y,n) 对输入数据y 的n 阶最小二乘拟合多项式p(x)的系数Y=polyval(p,x) 求多项式的函数值Y )1n (p x )n (p x )2(p x )1(p Y 1n n +++++=−L以下是一个多项式拟合的例子。
已知 x=0,0.1,0.2,0.3,...,0.9,1 共11个点（自变量），实测数据y=-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56,9.48, 9.30, 11.2求：2阶的预测方程，并用8阶的预测方程与之比较。
x=linspace(0,1,11);y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; p=polyfit(x,y,2)%求2阶的预测方程 2210x b x b b y ++= 的系数 p= b 2 b 1 b 0z=polyval(p,x); %求预测的y 值 （z 表示y )） p2=polyfit(x,y,8) %求8阶的预测方程 z1=polyval(p2,x);plot(x,y,'om',x,z,':*r'x,z1, ':+b')图中：”0” 代表散点图 “+”代表8阶预测方程“*”代表2阶预测方程图1 散点图与2阶预测方程3．回归模型的检验回归模型的检验是判断数据拟合的好坏即模型建立的正确与否，为建立模型和应用模型提供支持。
最小二乘法拟合指数曲线
最小二乘法拟合指数曲线在数学建模和数据分析中，最小二乘法是一种常用的数学方法，它常被用来求解拟合问题。
拟合问题的目标是找到一条曲线，使其与给定的数据点最为接近。
对于指数曲线的拟合，最小二乘法同样可以发挥作用。
首先，我们需要明确指数曲线的函数形式。
指数曲线一般可以用以下公式表示：y=ae^(bx)，其中a和b都是常数，e是自然对数的底。
其次，最小二乘法的关键思想是找到使得拟合曲线与实际数据点之间的误差最小的参数值。
对于指数曲线的拟合，我们可以将误差定义为实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离，即残差。
最小二乘法的目标是最小化所有数据点的残差的平方和。
为了求解最小二乘曲线拟合问题，我们首先需要构建残差函数。
对于给定的数据点(xi,yi)，我们可以计算出对应的拟合值fi=ae^(bxi)，然后计算残差ei=yi-fi。
然后我们需要最小化所有残差的平方和。
可以通过对残差函数进行求导，令导数为0，得到使得残差函数最小的参数值。
解得的参数值即为最小二乘法拟合指数曲线所需要的参数。
利用这些参数，我们可以得到拟合的指数曲线方程，并利用该方程进行预测和分析。
最后，我们需要评估拟合结果的好坏程度。
常用的评估指标包括平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）等。
这些指标可以帮助我们了解拟合结果与实际数据之间的偏差程度，以及拟合模型的预测准确性。
综上所述，最小二乘法是一种有效的拟合方法，可以用于拟合指数曲线。
通过构建残差函数并最小化残差的平方和，我们可以求解出使得拟合曲线与实际数据点最为接近的参数值。
然后利用这些参数，我们可以得到拟合的指数曲线方程，并进行进一步的分析和预测。
当然，我们也需要在评估拟合结果时使用合适的指标来判断拟合的好坏程度。
通过合理地运用最小二乘法，我们可以更好地理解和应用指数曲线拟合问题。
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三函数逼近1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。
2. 会求函数的插值三角多项式。
二、实验问题（1）由实验得到下列数据（2）求函数f x =X2COSX在区间［-甌二］上的插值三角多项式。
三、实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。
22. 求函数f X =X COSX在区间［-二，二］上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与f X的图形比较。
23. 对函数f X i = X COSX，在区间［-M,二］上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。
《数值分析》实验报告【实验课题】利用最小二乘法求上述问题所给数据的 2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线【实验目标】(1) 加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 (2) 学会编写最小二乘法的数值计算的程序；在函数的最佳平方逼近中f (X )•二C[a,b],如果f (X )只在一组离散点集{xj =0,1, ,m}上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(X j ,yj,i = 0,1,…,m}的曲线拟合，这里y j=f(xji = 0,1； m,，要求一个函数y=S(x)与所给数据 T{(X y ),= 0厂 1，m 拟合，若记误差 5i =S (xj — %(i =0,1，…,m) ,3 =®,d ,,酩),设 0(x), 1(x),…，：n(x)是 C[a,b]上的线性无关函数族，在=span[ - 0(x), ：1(x)，…，：:n (x)}中找一个函数S*(x)，使误差平方和这里|S(x)二 a 。
0(x) a [(x 「 a . ：n (x)(n ：： m)这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
通常在最小二乘法中考虑加权平方和有m(J)八、(x)：j(x)匚(X )，i=0 m(f, ：k )八’(X i )f (X i ) l(x)二 d k ,k =0,1，…,ni =e上式可改写为' （\, \）a^d k ,k =0,1,…,n 。
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引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组 ATAx=ATb一定有唯一解。
定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次函数
2
Q
f (x1, x2 ,, xn )
N
n
aij x j bi
i1 j1
一定存在最小值。
证明：因为Q是x1,x2,…,xn的二次函数，故Q不仅是连续函数，且有连续的一阶 及二阶偏导数。
又因方程组（*）式有唯一解，故Q存在的极小值就是最小值，线性方程组（*） 式的解就是最小值点。
Remark1：线性方程组（*）式称为正则方程组。
证毕
Remark2：该定理说明，只要矛盾方程组的系数矩阵A的秩rankA=n，则 （1）矛盾方程组的最小二乘解存在； （2）正则方程组有唯一解，此解就是矛盾方程组的最小二乘解。
xnx2 P0
2 f x1xnFra bibliotekP0
2 f
x2xn
P0
2 f
xn2 P0
是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n元实函数f(x1,x2,…,xn)的极小（大） 值。
引理2：设非齐次线性方程组 则
的系数矩阵AA=x(aij)Nb×n，若rankA=n，
(1)矩阵ATA是对称正定矩阵；
令
n
i aij x j bi
(i 1,2,, N)
称 为 i偏差。
j 1
工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需要寻求矛盾方程组的
一组解，以使得偏差的绝对值之和 尽可能地小。为了便于分析
计算和应用，常采用使偏差的平N 方和
i
i 1
Q
N
2 i
N
n
2 aij x j bi
(2)n阶线性方程组
有唯A一T 的Ax解 。
AT b
证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。
设齐次线性方程组
Ax 0
因有为ran，kA从=n而，故齐次方程组有 唯一零解。因此 ，对于任意的
，
( Ax)T
( Ax)
xT
x ( AT
0 A)x
0
Ax
0
故矩阵ATA是对称正定矩阵。
(一2的)因解为。矩阵ATA是正定矩AT阵A，x故ranAkT(AbTA)=n，从而线性方程组 证毕 有唯
§6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
或写为 其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
i 1
i1 j 1
达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方 程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数，记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因 此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小值点。 问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？若最小值存在，如何求出 该最小值点？
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理 想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式y=(x)，要求近似表 达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题， 函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。
第六章 最小二乘法与曲线拟合
§6.0 问题的提出 §6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组 §6.2 多项式拟合
§6.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很好地” 逼近f(x)的话，运用插 值函数有时就要失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有一定的 误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，势必使插值结果更加不准确。
记为点P0(a1,a2,…,an)，即二元函数Q存在点P0，使
。故满足引理1的条
件（1）。
f 0 xk P0
(k 1,2,, n)
因为
2Q xk xt
2(a1k a1t
a2k a2t
aNk aNt )
N
2 aikait i 1
(k,t 1,2,, n)
故
N
ai21
i 1 N
M
2.最小二乘解的存在唯一性
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)的某个邻域内连续，且有一阶及 二阶连续的偏导数，如果
(1) (2)矩阵
f
0
(k 1,2,, n)
xk P0
2 f
x12 P0
M
2 f
x2x1
P0
2 f
xnx1 P0
2 f
x1x2 P0 2 f x22 P0 2 f
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵合增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称 为矛盾方程组。对于rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n），我们寻 求其最小二乘意义下的解。
二、用最小二乘法求解矛盾方程组
1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而寻求其某种意义下，即最小 二乘意义下的解。
因为
Q
n
xk
2a1k ( a1 j x j b1)
j 1
n
n
2a2k ( a2 j x j b2 ) 2aNk ( aNj x j bN )
j 1
j 1
n a1 j x j b1
j1
n
2 a1k
a2k
aNk
a2 j x j b2
j 1
n
aNj x j
bN
j1
2a1k
a2k
aNk
(
Ax
b)
Q
故 x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT
b)
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
即
ATxAk x
AT b
（*）
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，
2
i
1
ai1ai 2
N
i 1
ai1ain
N
ai1ai2
i 1
N
ai22
i 1
N
ai2ain
i 1
N
ai1ai3
i 1 N
ai2ai3
i 1
N
ai3ain
i 1
N
ai1ain
i 1 N
i 1
ai 2 ain
2
AT
A
N
ai2n
i 1
由引理2知，当rankA=n时，矩阵M是对称正定阵，M满足引理1的条件（2）， 故由引理1知，二次函数Q存在极小值。