计算方法 第六章 解线性方程组的直接法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
解线性方程组的直接方法
(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；
(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素
线性方程组的直接法和迭代法
线性方程组的直接法直接法就是经il有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限11程去逐步JlifiSIl方程组精确解的方法•该方法具有对廿算机的存贮单元需求少，程序设廿简单、原始系数拒阵在it算过程中不变等优点，是求辭大里棉疏矩阵方程组的重要方法•迭代法不是用有限步运算求精确齡, 而是通过迭代产Sififfl解JI近精确解.如Jacobi H代、Gauss— Seidel迭代、SOR 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法直接法就是经11有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
1.1 Cramer 法则Cramer法则用于判飾具有n个未知数的n个线性方程的方程组解的悄况。
当方程组的系数行列式不等干零时，方程组有解II解唯一。
如果方程组无齡或者有两个不同的解时,则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组Ax = b中D = |A|H0，则Ax = b有解,目解事唯一的，解为X'=¥'x2=*'.%=*，Di是D巾第i列换成向量b所得的行列式。
Cramer法则解n元方程组有两个前提条件:1、未知数的个数等干方程的个数。
2、系数行列式不等于零时，线性方程组x x + x 2 + x 3 = a ax x 4- x 2 + = 1 有唯一解。
X x + 兀2 + ax3 = 11 1\-a \-a =_（（/_ 1），0 G — l所以当dHl 时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程级Ar = O, |4卜°时该方程组有唯一的零解。
定理3齐次线性方程组曲=0有非零解<=>H = 0o1.2Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线11方程组求解，求出 矩晖的扶，以及求岀可逆方阵的逆葩阵。
解线性代数方程
解线性代数方程————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：求解线性方程组的直接解法5.3特殊矩阵的三角分解①实对称矩阵的LDL T分解设A是实对称阵,且A的所有顺序主子式均不为零，则LDR分解中R=L T, 故可用以作LDL T分解.这就是说,当A的对角元素非零时，我们可以作LU分解,也就得到LDL T分解,L相同,是单位上三角阵,U的对角元素构成D.不过没有利用对称性,存储量运算量都未能节省—预计是一半。
试用n=3的计算表格说明如何实现节省。
d1=u11 =a11u12=a12l21=u12/d1u13=a13l31=u13/d1d2=u22=a22-l21u12u23=a23-l21u13l32=u23/d2u33=a33-l31u13-l32u23这样,可用上半部元素逐列计算D,L T。
也可用下半部元素逐行计算L,D。
引进輔助量t1, t2代替u1j,u2j,并利用对称性得到：d1=a11t1=a21l21= t1/d1d2= a22-t1l21t1=a31 l31=t1/d1t2=a32-t1l21l32=t2/d2d3=a33-t1l31-t2l32据此不难写出LDL T分解A=LDL T的计算公式和程序(逐行计算L,D).d1=a11for i=2:nfor j=1:i-1t j=a ij-l j1t1-l j2t2-…-l j,j-1t j-1l ij=t j/d jendd i=a ii-l i1t1-l i2t2-…- l i,i-1t i-1end存储约n(n+1)/2单元,乘加运算各约n3/6.利用LDL T分解解Ax=b分四步:1．分解A=LDL T2．解Lg=b 求g3．解Dy=g 求y4．解L T x=y 求x②实对称正定矩阵的LL T分解A实对称正定时顺序主子式皆正,可作LDL T,D的对角元素皆正,有正的平方根。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法1.1 主元的选取与算法的稳定性1.1.1问题提出Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
1.1.2实验内容考虑线性方程组n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。
1.1.3实验要求（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。
取10n =计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数20n =或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）将上述矩阵A中的主元改为0.00006再重新作一次数值实验看看。
（5）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
1.1.4实验过程（1）程序：clear;clc;a=input('是否调整消元次序（是：1，否：0）');n=input('系数矩阵的阶数:');%构造题中给定形式的矩阵A(1,1)=6;A(1,2)=1;A(1,n+1)=7;%第n+1列取题中的bfor i=1:(n-2);A(i+1,i)=8;A(i+1,i+1)=6;A(i+1,i+2)=1;A(i+1,n+1)=15;end;A(n,n-1)=8;A(n,n)=6;A(n,n+1)=14;%自动消元if a==0;for i=1:(n-1);for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;%手动控制消元次序if a==1;for i=1:(n-1);A %显示每步消元的结果m=input('请选取作为主消元行的行号');for l=1:(n+1);c=A(i,l);A(i,l)=A(m,l);A(m,l)=c;end;for j=(i+1):n;x=A(j,i)/A(i,i);for k=1:(n+1);A(j,k)=A(j,k)-x*A(i,k);end;end;end;y(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=2:n;y(n-i+1)=A(n-i+1,n+1);for j=1:(i-1);y(n-i+1)=y(n-i+1)-A(n-i+1,n-j+1)*y(n-j+1);end;y(n-i+1)=y(n-i+1)/A(n-i+1,n-i+1);end;yend;（2）数值实验结果及分析：1、根据要求当10n=时用Matlab算得Cond(A)=1727.6，让程序自动选主元，x=与精确解一致。
计算方法引论-第六章
• 例3(续) 2 2 3 1
2 2 3
4
7
7
2
1
3 1
2 4 5 1 2 1
6
• LU分解:顺序主子式非零,det(Ak)≠0,k=1,2,…,n-1则可
唯一分解A=LU,单位下三角阵与上三角阵之积
1
l21 1
(3) L ln
u22
计算方法引论( 第三版)
6.17
徐萃薇、孙绳武 高教2007
直接LU分解 (续)
• 计算表格
u11=a11
u12=a12
u13=a13
l21=a21/u11
u22=a22-l21u12
u23=a23-l21u13
l31=a31/u11 l32=(a32-l31u12)/ u22 u33=a33-l31u13- l32u23 – 也可逐行算,或逐列算,或其它可行次序算
l31=a31/u11 l32=(a32-l31u12)/ u22 u33=a33-l31u13- l32u23
• LDR
分解
for j = 1:n for i=2:j
aij aij ai1a1j ai2a2 j
end
ai,i1ai1, j
(计算 uij)
for i= j+1:n aij (aij ai1a1 j ai 2a2 j ai, j1a j1, j ) / ajj (计算 lij)
计算方法引论：数值代数
解线性方程组的直接法 解线性方程组最小二乘问题 解线性方程组的迭代法 矩阵特征值和特征向量的计算 非线性方程及非线性方程组解法
第六章 解线性方程组的直接法
• Gauss消去法 • 主元素法 • LU分解 • LLT分解和LDLT分解 • 误差分析
线性方程组的直接解法1
（续3）
设为
A
(k )
(k ) x b
Step k： 若 a ( k ) kk
o
,令
l ik
a ik
(k )
a kk
(k )
, （i=k+1,k+2,…n)
用- l ik 来乘以第k个方程，加到第i个方程，并保留第k 个方程， 得： （i=k+1,k+2,…n）
August 6, 2012 yfnie@ 9
Step1： 若a
(1 ) 11
0 ,令 l i 1
a i1
(1 )
a 11
(1 )
( i 2 ,3 ,... n )
,用
l i1 乘
第一个方程加到第 i 个方程 式，得
( i 2 , 3 ,... n ) ，并保留第一
August 6, 2012
yfnie@
k 1 1
k 1
n
n ( n 1) 2
11
yfnie@
• 计算量
• Gauss顺序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
2 ( n k ) ( n k )
2 k 1
n 1
n
3
n
2
n 3
5n 6
O (n )
3
3
n
2
a kk 0
(k )
(1 k n )
k 0
(1 k n )
August 6, 2012
yfnie@
14
命题证明
A A
(1 )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
(k )
数值分析(李庆扬)第六章资料
（n1） B （n） g
若收敛
x x { （k）} * ，则
x* Bx* g
n 0，1，2，
即
(I B)x* g D1Ax* D1b
Ax* b
故如果序列收敛, 则收敛到解.B 称迭代矩阵.
例：用Jacobi迭代法求解 1x01x1 10xx2222xx337823 x1 x2 5x3 42
k
k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
(k 1) x(k 1) x
所以 lim x(k) x 等价于 lim (k) 0
k
k
由
x(k 1) Mx (k ) g
x Mx g
则可得
(k 1) M (k )
(k ) M (k 1) M k (0)
问题是在什么条件下
满足
x(k1) Bx(k) g (k 0,1, 2, )
此过程所给出的迭代法称为Jacobi迭代法，又称简单
迭代法。
Jacobid迭代的矩阵形式
0
B
b21
b12
0
b1n 1
b2n
0
0 1
0 1
0
b21
b 12 1
b1n b 2n
b b
n1
n2
0
0
0
1
, n).
0 b12 b13 若记 B b21 0 b23
bn1 bn2 bn3
b1n1 b1n
g1
b2n1
b2
n
g
g
2
bnn1 0
gn
则方程组可简记为 x Bx g
选初值向量x(0)代入 x(1) , x（1） Bx（0） g，代入x(1)
数值分析6-1-0
（1）消元: (1) 2 x1 4 x2 2 x3 6 (1) 于是： (2) 3x2 6 x3 3 (4) (3) 12 x3 3 (6)
（2）回代:
3 1 x3 , x2 , 2 4
3 x1 2
10
二、计算过程：
( 2) ij
a m a
a
( k 1) ij
a
(k ) ij
bi( k 1) bi( k ) mik bk( k )
i, j k 1,, n i k 1,, n
14
当经过k n 1步后, ( A , b )将化为
(1) (1)
(1 a11) ( n) (n) (A ,b ) (1 a12)
1 2 , x2 3 3
用小主元作除数， 致使其它元素的 数量级大大增加， 舍入误差的扩散 将准确解淹没了。
1. a 0,
k kk
2. a a
k kk
k ik
不行
21
§2.主元素消去法
*全主元素消去法： 一、思路
选取
a
k kk
max a
k ij
二、计算过程
1、实例
12 x1 3x2 3x3 15 (1) 18 x1 3x2 x3 15 (2) x x x 6 (3) 1 2 3
16
三、Gauss消去法的运算量
消元 : n - 1步, 第k步变换n-k行，每行需先求倍数，
再从n 1-k个元素的倍数
作第k步消元乘除法运算总次数为
(n k )(1 n k 1)次
完成全部n 1步消元需作乘除法运算总次数为
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 1 , x 0 2 1
全主元消去法
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证
max |a | 0 ; Step k: ① 选取 |a ij | ij k i ,j n
kk
|m ik | 1 。
② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。
( k ) ( k ) a a ( j k ,, n 1 ) k j ij k
回代过程： (1)若
(n) a nn 0，则停止
d e t A0
(2)对 i n , ,1
x ( a i
(n ) i,n 1 (n ) (n ) a x )/ a i j j i i j i1 n
* T x = [ 1321 ]
这一过程为高斯消去法的回代过程。
消元公式
(k1) (k) akj j k, k 1 , , n 1 akj (k1) akk (k ) (k1) (k1) (k ) a a a a ij ij ik kj , , n 1 j k 1 ,n i k 1
( 2 )
α (2) i2 利用 ri - (2) r2 , i=3,4. 得 α 22
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 -4x2 +2x3 + 2x4 = 10 2x3 - 5x4 = -9 4x3 - 13x4 = -21 (3)
3) α( i3 利用 ri - ( 3 ) r3 , i= 4 . 得 α 33
回代公式
(n ) x a n n ,n 1 n (k) (k) x a a n 1 , , 1 k,n 1 kj x j k k j k 1
§1.3 高斯消元法_选主元消去法
主元素及其选取问题
Gauss消元法第 k 次消元是用第 k 个方程
( k ) ( k ) ( k ) a x a x b kk k kn n k
(一) 高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段:
首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “
消元”过程;
然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,并称之为“回代”过程. 下面分别写出“消元”和“回代” 两个过程的计 算步骤.
( 1 ) ( 1 ) A ( a 记A i j) n n,
利用高斯消元法求解方程组:
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 12x1 - 8x2 +6x3 +10x4 = 34 3x1 -13x2 + 9x3 + 3x4 = 27 -6x1 + 4x2 + x3 -18x4 =-38
解：
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 12x1 - 8x2 +6x3 +10x4 = 34 3x1 -13x2 + 9x3 + 3x4 = 27 -6x1 + 4x2 + x3 -18x4 =-38 (1)
（3.3）
Ax b
首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 。
=
a11 x1 a12 x2 .......... .......... .......... a1n xn b1 a 22 x2 .......... .......... ......... a 2 n xn b2 .......... .......... .......... ......... .. a n 1n 1 xn 1 a n 1n xn bn 1 ann xn bn 其中 aii 0 (i 1,2,......, n )
第三章 解线性方程组的直接法
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
AX = b
a a 11 a 12 1 n a a 21 a 22 2 n A a a a 1 n 2 nn n x 1 x 2 X x n b 1 b 2 b b n
精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233
例题分析（Guass列选主元法)
0 .0 0 2 x 2 .0 0 0 x 2 .0 0 0 x 0 .4 0 0 1 2 3 1 .0 0 0 x 0 .7 8 1 2 5 x 1 .3 8 1 6 1 2 3 .9 9 6 x 5 .5 6 2 5 x 4 .0 0 0 x 7 .4 1 7 8 1 2 3
例题分析（Guass全选主元法)
0 .0 0 2 x 2 .0 0 0 x 2 .0 0 0 x 0 .4 0 0 1 2 3 1 .0 0 0 x 0 .7 8 1 2 5 x 1 .3 8 1 6 1 2 3 .9 9 6 x 5 .5 6 2 5 x 4 .0 0 0 x 7 .4 1 7 8 1 2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )T b b ( b , , b ) 1 n
(1) a 0 Step 1：设 11 ，计算因子
( 1 ) ( 1 ) m a / a i 2 , ..., n ) i 1 i 1 11(
将增广矩阵第 i 行 mi1 第1行，得到
(1) (1) (1) (1) a11 a12 ... a1 b n 1 (2) (2) A b O
精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233
列主元消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 1 , 2 , , n 2、对于 k (1) 按列选主元：选取 l 使
a max a 0 lk ik
9 9 9 a 1 m 1 0 . 0 . . . 0 1 1 0 1 0 1 0 2 2 2 1
用小主元10-9作
除数，致使其它 元素的数量级大 大增加，舍入误 差的扩散将准确 解淹没了。
b 2 m 1 10 2 21
9
9 10 1 1 9 9 0 10 10
且计算
( k 1) (k ) (k ) aij aij mikakj (k1) (k ) (k ) b b m b i ik k i (i, j k 1, ..., n)
(1) (1) (1) (1) a11 x a12 ... a1 b 1 n 1 (2) (2) (2) x a ... a 22 2n 2 b 2 . . . ... . . . . . . (n) (n) ann xn bn
列主元消去法
在计算机上实现全主元素消去法意味着进行数的比较操作， 选全主元素法需要相当多的计算时间，因此常采用局部选主 元素的方法.省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
|a | max |a | 0 i , k ik k
k i n
9 10 例： 1
1 1 2
8个 8个 1 和x */ x 1 . 00 ... 0 100 ... 2 x 0 . 99 ... 9 899 ... 1 2 1 9 1 10
用Gaussian Elimination计算：
9 m a / a 10 21 21 11 8个
d e t A0
(k) (k) a m a x a ikk ik
(k ) a，则停止，推出 ik k 0
，则换行， ik k
(4) 消元，对
(k) (k) 有 m a / a i k1 , , n ik ik k k ( k 1 ) ( k ) ( k ) j k1 , , n 1 a m a 有a i j i j i k k j
共进行 n ？ 步 1
回代
(n ) (n ) x b / a n n nn
(i) b a ij x j j i 1 x i (i) a ii (i) i
n
( i n 1 ,..., 1 )
若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元
无需换行即可进行到底，得到惟一解。
§1.2 高斯消元法_例题分析
1 1 2 1 1 2 9 10 1 1 0 1 1
x 1 , x 1 2 1
注：列主元法没有全主元法稳定。
9 1 10 例： 1 1
109 2
9 9 1 10 10 x 1 , x 0 2 1 9 9 0 10 10
6x 1 - 2x 2 +2x 3 + 4x 4= -4x2 +2x3 + 2x4 = 2x3 - 5x4 = -3x4 =
12 10 -9 -3 (4)
显然，方程组(4)与(1)是等价的，其系数矩阵为上三角状
的，易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方
程组(4)的回代求解，可以得到准确解为
利用 ri -
i1 得 r 1 ,i=2,3,4. 11
x x x x4 = 1 2 6 1 - 2 2 +2 3 + 4 -4 x x x4 = 1 0 2 +2 3 +2 -1 2 x x 2 1 2 +8 3 + x 4= 2 x x 4 x4 =2 6 2 +3 3 -1