终稿_线性方程组直接法和迭代法
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
计算方法2线性方程组直接法
04
矩阵的三角分解法
LU分解法
定义：将系数矩阵A分解为一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A=LU。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别 适用于中小型稠密矩阵。
迭代法收敛性判断
在迭代法求解方程组时，可以通过观察迭代过程中解向量的范数的变化情况来判断迭代法 是否收敛。如果解向量的范数逐渐减小并趋于零，则表明迭代法收敛。
方程组性态分析
方程组的性态是指方程组解的存在性、唯一性和稳定性等方面的性质。通过分析方程组的 系数矩阵的范数，可以对方程组的性态进行初步的判断。例如，如果系数矩阵的谱半径（ 即最大特征值的模）较小，则方程组往往具有较好的性态。
03
线性方程组在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广 泛的应用。
直接法的定义与分类
1
直接法是一种通过有限步四则运算求解线性方程 组的方法，具有计算精度高、稳定性好的特点。
2
直接法可分为高斯消元法、列主元消元法、全主 元消元法等多种方法，其中高斯消元法是最基本 的方法。
3
各种直接法的主要区别在于选主元和消元的过程 中采用不同的策略，以达到提高计算精度和稳定 性的目的。
对系数矩阵A进行Crout分解，得到下三角矩阵L和单位 上三角矩阵U。
利用后向代入法求解Ux=y，得到向量x。
求解步骤
利用前向代入法求解Ly=b，得到向量y。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别适用于中小型稠 密矩阵。与LU分解法和Doolittle分解法相比，Crout 分解法在某些情况下具有更高的计算效率。
性质
线性方程组的直接法和迭代法
线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。
当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。
如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。
Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。
2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解。
解：211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。
定理3 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。
1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
线性方程组的直接法和迭代法
线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。
当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。
如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D Dx x x D D D===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。
Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。
2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组12312312311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解。
解：211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。
定理3 齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。
1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
数值分析 第三章解线性方程组的直接法
T T A LDU 0 , AT U 0 DT LT , A AT U 0 L A LDLT
由于A是正定矩阵，所以D中的元素都大于零，可以把D也再分解
14
d11 d11 1 1 1 d 22 D2 D2 , D2 D d nn
lii 1,lik 0 k i , ukj 0 k j
11
ai1 由此得算法： u1 j a1 j , j 1, 2,, n; li1 a ,i 1, 2,, n 11
uij aij lik ukj , j i, i 1,, n; lij
还可以进一步用标度化的选主元(相对最大)
6
第三节 矩阵的三角分解
消元法求解方程组是通过行初等变换把系数矩阵化为对角阵,由 线性代数知识可知,左乘一个初等矩阵,就相当于做一次行变换.
1 a 21 a11 a 记 L = 31 1 a11 an1 ห้องสมุดไป่ตู้ 11
第三章 解线性方程组的直接法
第一节 引言
解线性方程组的方法可分为两大类:直接法和迭代法. 直接法的基本原理就是高斯消元法,再根据数值计算的特点 做一些适当的处理而得到的一类算法.直接法的特点是没有 截断误差,只有计算误差(舍入误差). 迭代法是类似于上一章单个方程那样,以某种方式构造一 个向量序列,使得这个向量序列收敛到解向量.因此迭代 法既有截断误差又有舍入误差.
0.01000 0.01200 0 0.100 103 0 0 .
8.010 44.41 1175 105 6517 105 x3 5.546; x2 100.0; x1 104.0 0.1670 0.6781
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
解线性方程组的直接法和迭代法
数值分析方法中方程求解的直接法和迭代法第3章 解线性方程组的直接法一、消元法1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。
11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=第行第行11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=第行第行 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200nnn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+第行第行。
n －1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注意到，计算过程中()k kk a 处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0。
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毕业论文2012届线性方程组的直接法和迭代法学生姓名刘玲学号 08102117院系数理信息学院专业信息与计算科学指导教师祝汉灿完成日期 2012年5月25日线性方程组的直接法和迭代法摘要在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题。
这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来。
因此，在科学技术、工程和经济领域中都会遇到解线性方程组的问题。
求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。
解线性方程组主要有直接法和迭代法。
对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组可以用直接法进行消元。
对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐。
迭代法是求解线性方程组的一种有效方法，它有存储空间小，程序简单等特点。
比较常用的迭代方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。
（1）这两种迭代法的收敛性态并不相同，很多情况下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快.关键词线性方程组；直接法；迭代法；发散；收敛THE DIRECT AND ITERATION METHOD OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACTIn science, technology, engineering and economic fields, we will meet the problem of solving linear equations. Generally speaking, there are direct methods and iterative methods for solving linear equations. For coefficient matrix and low order dense matrix of linear equations, we can use direct method for the elimination. For large-scale linear equations, especially large sparse linear equations, a direct method is much complicated. In this situation, the iterative method is the more effective method to solve the linear equations. The most common used methods are the Jacobi iteration and Gauss-Seidel iteration. In this paper, we mainly study the convergence of the two methods. (13)KEY WORDS: solving linear equations; low order dense matrix; large-scale linear; direct method; iterative method目录摘要 IABSTRACT II目录 III引言 11. 线性方程组的直接法 21.1 Cramer法则 21.2 Gauss消元法 31.2.1 用Gauss消元法为线性方程组求解 32. 线性方程组迭代法 42.1 Jacobi迭代法 42.2 Gauss-Seide迭代 62.3 SOR迭代 82.4 迭代法收敛 92.5 迭代法收敛的应用 123. 结论： 14参考文献 15附录 16致谢 20引言在现实生活当中，经常会遇到自然以及社会科学领域中的诸多问题，这些问题中所包含的数学模型都可以与一定的线性方程组所对应起来，换句话说，求解线性方程组的过程就是就是解决实际遇到的自然及社会科学问题的过程，在线性方程组的求解的重要性可见一斑。
求解线性方程组AX=b是科学计算的中心问题。
解线性方程组主要有直接法和迭代法。
直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法．但实际计算中由于误差的存在和影响，这种方法也只能得到线性方程组的近似解，而且该方法也只是是求解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。
迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解。
在求解线性方程组直接法中主要有Cramer法则，Gauss消元法。
Cramer法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
（2）它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。
Gauss消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
该方法是以数学家卡尔高斯的名字命名的，但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。
在求解线性方程组的迭代法的180多年的发展历史过程，产生了众多不同的迭代方法。
经典的迭代法，(5)例如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、超松弛(SOR)迭代法，都是Hadjidimos在1978年所提出的加速超松弛(AOR)迭代法的特例。
本课题运用所学的数学专业知识研究，有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识，特别是Jacobi迭代和Gauss-Seide迭代。
1. 线性方程组的直接法直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
1.1 Cramer法则Cramer法则用于判断具有n个未知数的n个线性方程的方程组解的情况。
当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。
如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组中，则有解，且解事唯一的，解为是D中第i列换成向量b所得的行列式。
Cramer法则解n元方程组有两个前提条件：1、未知数的个数等于方程的个数。
2、系数行列式不等于零例1 a取何值时，线性方程组有唯一解。
解：所以当时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程组，时该方程组有唯一的零解。
定理3 齐次线性方程组有非零解。
1.2 Gauss消元法Gauss消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
1.2.1 用Gauss消元法为线性方程组求解eg：Gauss消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：这个算法的原理是：首先，要将以下的等式中的消除，然后再将以下的等式中的消除。
这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。
之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。
在刚才的例子中，我们将和相加，就可以将中的消除了。
然后再将和相加，就可以将中的消除。
方程组则变为：现在将和相加，就可将中的消除，方程组变为：这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。
第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。
第一个答案就是。
然后直接带入，立即就可得出第二个答案：和最后一个答案。
这样，我们利用高斯消元法解决了这个方程组。
2. 线性方程组迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi迭代、Gauss— Seidel迭代、SOR迭代法等。
2.1 Jacobi迭代法对于线性方程组则，即将A分解为一个严格下三角矩阵、一个对角阵和一个严格上三角矩阵之和，从而可写出Jacobi迭代格式的矩阵表示形式为：，其迭代矩阵)称为雅可比迭代矩阵.将线性方程组变为一个通解方程组，对其进行迭代式改写，矩阵B为迭代矩阵由方程组（I）的第i个方程解出，得到一个同解方程组：构造相应的迭代公式取初始向量，利用（III）反复迭代可以得到一个向量序列，利用此迭代格式求解方程组的解法称为Jacobi迭代法。
用Jacobi迭代求解下列方程组输入A=[4 3 0;3 3 -1;0 -1 4]；b=[24;30;-24]；[x, k, index]=Jacobi(A, b, 1e-5, 100)输出：x =-2.999811.9987-3.0001k =100index =所以解为：=-2.9998,=11.9987,=-3.00012.2 Gauss-Seide迭代若L、 U、 D为上述的L、 U、 D。
则Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示为：，现将显示化由得：，令，，则得：，此即为Gauss—Seidel迭代法的矩阵表示形式，G称为迭代阵。
由Jacobi迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第个分量时，用最新分量，代替旧分量，，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel迭代法。
其迭代格式为(初始向量)，或者写为用Gauss-Seide迭代求解下列方程组。