计算方法第六章迭代法

f (xk )(xk xk1) f (xk ) f (xk1)
同样，此法具有局部
收敛性。其收敛是超
线性收敛，收敛阶为
1.618
单点弦割法：用固定点 (x0 , f (x0 )) 代替 (xk1, f (xk1))
xk 1

xk

f (xk )(xk x0 ) f (xk ) f (x0 )
goto 15
endif goto 10
15 x=2.5 20 y=x
x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20
30 end
Aitken加速法（适用于线性收敛情况）
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5
10 y=x
x=(2*y+5)**(1.0/3.0)
if (abs(x-y).lt.0.00000001) then
误差估计：第k步迭代计算值与精确值误差为
a xk
Lk 1 L
x1 x0
使用迭代法求解方程值得注意的事项：
Байду номын сангаас
1、将要求解的方程化成 x (x) 的形式。
2、该迭代法第一个条件不易验证。因此，实际使用时，总在 根的附近区间内进行迭代计算，以保证每次迭代的值都在 迭代区间内。
3、L很小时迭代收敛非常快，但如果L与1很接近，则收敛相 当慢。
(x) (x) (1)x
( ) ( ) (1) 0 1 1( )

xk 1 xk 2
xk1 (xk1) xk2 (xk2 )
例子：求方程 x3 2x 5 0 的根
迭代格式： xk1 3 2xk1 5
按如下格式
迭代
xk 1
xk

f (xk ) f (x0 )
( f (xk ) 0)
几何意义 如图
进一步，取任意常数 c 代替迭代公式中的导数值，迭代公式为
xk 1

xk

f (xk ) c
迭代函数为 (x) x f (x) ，为使迭代序列收敛， c 应满足
c (x) L 1 0 f (x) 2
得到
x0 [a, b] , xk1 (xk ) (k 0,1, 2,L )
lim
k
xk

x*
,
(x*) x*
例：在区间[1，）上求解方程
x (x) , (x) x Q (x) 1 1 1 1
2x 2
可用迭代法求解，迭代序列 x0 100, xn1 (xn ) xn
定理：设函数 f(x) 在区间[a,b]上二阶导数存在，且：
10 f (a) f (b) 0 20 f (x) 0 , x [a,b] 30 f (x)不变号， x [a,b] 40 初值x0 [a,b] , f (x0 ) f (x0 ) 0
则牛顿迭代序列收敛于f(x) ＝0 在区间[a,b]上的唯一根。

( yk
)
( yk
)(0

yk
)

1
2!
(
yk
)(0

yk
)2
L
( yk )
1 f (xk )
( yk )


f (xk ) f 3(xk )
改进牛顿法：
xk 1

xk

f (xk ) f (xk )

f (xk ) 2 f 3(xk )
f 2 (xk )
y

x xk xk 1 xk
xk

x xk1 xk xk 1
xk 1
x

x xk xk 1 xk
xk

x xk1 xk xk 1
xk 1
x xk1xk1 xk 2 xk1 2xk xk1

x

xk 1

(xk1 xk )2 xk1 2xk xk1
通常取 1 ，然后逐步减半。 牛顿下山法当 1 时，只有线性收敛速度，但对初值的选取
却放的相当宽。
第二节 线性代数方程组迭代解法
求解代数方程组 Ax b
方法：将方程组改造为一个等价的方程组 x Bx g x
构造迭代格式：x(k1) Bx(k) g x(k)
收敛阶：
定义：设
lim
k
xk

, k xk (xk ) ，如果存在实数 p
和非零常数 c，使：
k 1 k p
c
则称序列 p 阶收敛，特别，p＝1时，称为线性收敛，p > 1 时，
称为超线性收敛，p＝2时称为平方收敛。 p 越大，序列收敛越快。如果是线性收敛，则 0 < c < 1
xk*

xk 1

(xk1 xk )2 xk1 2xk xk1
斯特芬森迭代（迭代两次后用Aitken加速）：
xk (xk1)


xk


xk 1
(xk 1 xk 2 )2 xk 1 2xk 2 xk 3
迭代一次用插值加速，称为插值加速迭代：
1 2!
f
(xk )(
xk )2
L
L

1 n!
f
(n) (xk
)(

xk
)n

(n
1 1)!
f
( (n1) k
)(

xk
)n1
f () f (xk ) f (xk )( xk )


xk

f (xk ) f (xk )

xk 1

xk

f (xk ) f (xk )
定理：对于上面的迭代格式，如果B的范数小于1，则对于任 意的初始向量与常向量 g ，迭代格式收敛，迭代误差估计：
x(k ) x* B k x(1) x(0) 1 B
设 为事先给定的误差精度，
k ln
(1
B)
则可以得到迭代次数：
利用泰勒展开容易证明， 牛顿迭代法具有二阶收 敛性，即平方收敛。收 敛速度快这是牛顿迭代 法的主要优点。
计算步骤（框图）：
例子：建立求某个 正实数 c 的平方根 的迭代格式。
设函数方程 f (x) = 0 的根为 ，将 f () 泰勒展开
f
( )

f
(xk )
f
(xk )(
xk )
牛顿迭代法的收敛性： 牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿迭代法三阶收敛
0
f
( )

f
(xk )
f
(xk )(
xk )
1 2!
f
(xk )(

xk )2
xk 1

xk

f (xk ) f (xk )
0 f (xk ) f (xk )(xk1 xk )
xk 1
c
x [a ,a ]
这称为简化牛顿法，显然，当 c 与导数同号且满足上面式子时， 迭代收敛。
本例中， c 与导数异号，迭代发散
弦割法：用过 (xk1, f (xk1)) , (xk , f (xk )) 两个点的直线的斜
率代替函数在点 xk 处函数的导数，进行迭代。
迭代公式：
xk 1 xk
xn x*
kn 1 k
x1 x0
2、简单迭代：
对于形如的方程 x (x) ，可以通过迭代求解。
定理： (x) 满足下面条件时，为压缩映射：
（1）当 x [a,b] 时，(x) [a,b]
（2）存在正数 L < 1，使得
x[a,b] , (x) L 1 则方程在区间上有唯一解 x* ，且解可以用下面迭代
可以证明，单点法 也是局部收敛的， 且收敛阶为线性收 敛，即 1 阶收敛。
牛顿下山法：
目的是解决初值的选取范围太小这以困难。
构造迭代格式为：
xk 1
xk

f (xk ) f (xk )
其中的参数满足： f (xk1) f (xk )
这个方法称为牛顿下山法。其中的参数称为下山因子，
0 3 1
第六章 迭代法
第一节 非线性方程求根
（ f (x) 0 ）
1、二分法 利用连续函 数的性质进 行对分。
计算框图为：
压缩映射：
集合 A 上的映射 : A A ， A 上两个点 x1 , x2 之间的距离
记为 d (x1, x2 ) ，如映射满足下面条件，称为压缩映射 x1, x2 A, k (0,1) , s.t.

x1 xk

1
z0 xk


(x0 ) , zk (xk
(xk xk1)(xk zk ) xk1 zk1 xk zk
)
3. 对于一般的函数方程 f (x) = 0 的求解，解决方案为：构造
等价的方程 x = (x) ，利用迭代法求解。
x x f (x) ( f (x) 0) , (x) x f (x)
设迭代 xk1 (xk )收敛到a，充分可导，则迭代p 阶收敛 (a) (a) L ( p1)(a) 0, 但 ( p)(a) 0