计算方法第六章作业【精选】

两种方法的渐进收敛速度之比为
R J R G
=
-ln J -ln G
=
ln ln
C C
=1. 2
10 a 0
4、设A=

b
10
b

,
det
A

0用a,b表示解线性方程组Ax=f
0 a 5
的雅可比迭代与高斯—赛德尔迭代收敛的充分必要条件.
10
-1 0
I -BJ = 0.4 0.8 = -0.8 2+0.8-0.32
0.4 0.8
-0.4
-0.8 0

解得：1=0.8，2 =-1.019，3=0.2928
因 BJ >1,所以雅可比迭代法不收敛。高斯赛德尔迭代法矩阵为
0 -0.4 -0.4
a11a22-a12a21 =0，1=0，2 =
a12a21 a11a22
=C，
G=
C
高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件为 G <1，即 C <1收敛
从而可知当 C <1时 J <1， G <1故二者方法均收敛。
否则当 C 1时 ， J 1 G 1故二者发散

,

BG

=
3 ab 100
故高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件是 ab < 100。 3
BG
=

D-L
-1
U=

0
0.16
-0.64 ，
0 0.032 0.672
因为 BG
BG
=0.8<1

故高斯—赛德尔迭代法收敛。
x1+2x2 +-2x3 =1
（2）、

x1
+x2
+x3
=1
2x1+2x2 +x3 =1
0 -2 2
解:雅可比法迭代矩阵为BJ
10
0
0
-1


0
-a
0
高斯赛德尔法的迭代矩阵为BG
=

b
10
0


0
0
-b

0 a 5 0 0 0

0

-a 10
0


=

0
ab 100
-
b 10
，
0
a2b -
500

ab 50

I -BG
=
2


-
3ab 100
a12 a21 a11a22

C
a12 =0
a22
当C>0时，= C，当C=0时，1,2 =0，当C<0时，= Ci
综上有 J = C，而雅可比迭代收敛的充要条件为 J <1，即 C <1.
高斯赛德尔迭代法矩阵G的特征方程为 a11 a12 =0 a21 a22
将行列式展开有
2、设线性方程组，考察雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。
x1+0.4x2 +0.4x3 =1 （1）、 0.4x1+x2 +0.8x3 =2
0.4x1+0.8x2 +x3 =3
0 -0.4
解:雅可比法迭代矩阵为BJ
=D-1

L+U

=

-0.4
0
-0.4 -0.8
0.4 0.4
=D-1

L+U

=

-1
0
-1
-2 -2 0
I -BJ =3，故 BJ = max =0<1,故收敛
高斯赛德尔迭代法矩阵为
0 -2 2
BG
=

D-L
-1
U=

0
2
-3，I -BG = -22 .
0 0 2
1=0，2 =3 =2,故 BG =2>1，故高斯—赛德尔迭代法不收敛。
3、设线性方程组
a11x1+a12 x2 =b1 a21x1+a22 x2 =b2
,a11,a22

0,证明解此方程组
的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散，并
求两种方法渐进收敛速度之比。
解:雅可比迭代法的迭代矩阵的特征方程为 a11
a21
展开有a11a22 2 -a12a21 =0， 2 =
-a

0
0
-a 10
0


解：雅可比法的迭代矩阵BJ
=


10


-b
5 0
0 -a
-b 0

=

-
b 10
0
0 -a
5
-
b 10


0
I -BJ
=


2
-
3ab 100

,

BJ
Βιβλιοθήκη Baidu

=
3 ab 10
故雅可比法收敛的充要条件是 ab < 100 3