计算方法第六章
化学工业生产统计指示计算方法第六章
第六章工业企业原材料、水的消费与库存工业企业原材料、水的消费与库存统计的主要任务是为了解企业主要原材料消费、库存以及水消费的基本情况，为国家制定长远发展规划和经济政策，进行宏观调控，提供依据。
一、原材料购进、消费与库存（一）原材料购进量原材料购进量是指企业在报告期内外购的、用于企业消费的原材料数量。
1、购进量的核算原则（1）计算原材料购进量具备的条件：一是已实际到达本企业；二是经过验收、检验；三是办理完入库手续。
但是，在未办理完入库手续前，已经投入使用的或已经销售的，要计算在购进量中，使用多少，计算多少。
（2）谁购进，谁统计。
凡属本企业实际购进的，符合上述原则，不论从何处购进，均应计算在内。
2、根据以上原则，下述原材料不能计算在购进量内：（1）供货单位已发货，但尚未运到本企业，即使已经付款；（2）货已运到本企业，但尚未办理验收、入库手续的；（3）经验收发现的亏吨，（按验收后的实际数量计算购进量）；（4）借入的，自产自用的，车间、工地上期领用本期退回的，以及加工来料（作价的除外）。
（二）原材料消费量原材料消费量是指工业企业在报告期实际消费的原材料数量。
1、消费量的核算原则（1）谁消费、谁统计。
即不论其所有权的归属，由哪个单位消费，就由哪个单位统计其消费量。
（2）实际投入使用，即计算消费量。
2、消费量的核算方法原材料进入第一道生产工序，改变了原来的形态或性能，或者已经实际投入使用，即作消费量统计。
（1）原材料进入第一道生产工序即作消费统计，不包括车间、工地已经领取、尚未使用的原材料；（2）原材料改变了原来的形态或性能即作消费统计，如原盐电解生产烧碱，就作消费统计。
（3）某些已实际投入使用，但未改变其形态或性能的原材料，也应作消费统计。
如已装到汽车上的轮胎、机电设备上使用的润滑油等。
（4）可以多次周转使用的材料，为避免重复统计，消费量只能计算一次。
即在第一次投入使用时，计算其消费量，以后继续周转使用不再统计消费量。
6.3定积分的计算方法
二、分部积分法
设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在区间 [a , b] 上连续可 导， b b b b ∫au v′dx = ∫au dv = uv −∫av du. a
1 例
∫ 2 例 ∫ x e dx
0
1 2 x 0
1
e−1
ln(1 + x)dx key : 1
key : e − 2
1 0 t 0 −1
x = 0 ⇒ t = −1
= ln 2 x)在[−a, a]上连续，证明： 2∫0 f ( x) dx, 当 f ( x) 为偶函数时 . ∫−a f ( x) dx = 0, 当 f ( x) 为奇函数时 a 0 a f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx 证明
a
a
则 (1) 若 f ( x ) 为偶函数， f ( − x ) = f ( x ), 为偶函数， a a a ∴∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx = 2 ∫ f ( x )dx;
−a 0
0
−a
0
( 2) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( − x ) = − f ( x ), 为奇函数，
1 练习： 练习：0 ∫ 1 + 3 x dx.
8
(2)∫ x2 a2 − x2 dx
0
a
a4 key : (1)3 ln 3; ( 2) π 16
在作三角代换时， 要当心条件 是否满足！！！ 2是否满足！！！ 在作三角代换时，尤其
1 ∫−11 + x2dx =
1
令x =
1 t
1 1 ∫−1 1 2 ⋅ (− t 2 )dt 1+ t
计算方法(6)第六章 最小二乘法与曲线拟合
定理2（充分条件） 设函数
z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )
的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又 令
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,
f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
定理6.1
设n元实函数f ( x1 , x 2 ,, x n )在点p0 (a1 , a 2 ,, a n )的某个 邻域内连续，且有一阶 及二阶连续的偏导数， 如果 f （ 1 ） x k 0
p0
P P 2 f 2 f 2 ( 2)矩阵 x 2 P x 2 x n P 2 2 f f 2 x 2 x n P x n P 是正(负)定矩阵，则f (a1 , a 2 ,, a n )是n元实函数f ( x1 , x 2 ,, x n )
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决，有时则 应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
x0 x1 … xn f(xi) f(x0) f(x1) … f(xn)
xi
求一个经验函数y=φ(x)，使φ(xi)=f(xi), i=0,1,…n. 插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立 一个简单的、连续的解析模型φ(x) ，以便能根据该模型推测 该物理量在非观测点处的特性。 y ● ● y1 y0 o x0 x1 x2 ● ●
2 i =0
● ●
n
●
(xn ,yn)
y= φ(x)
(x2 ,y2)
●
(x0 ,y0) o x0
第六章 单步骤成本计算方法
管理费用
60000 0.4％ 240
120
合
计
310000
1490
745
借：制造费用—基本生产 1000 借：制造费用—基本生产
制造费用—机修车间 250
625
管理费用
240
管理费用 120
贷：累计折旧
1490 贷：预提费用 745
5.本月发生的其他费用 (1)据待摊费用明细帐编制待摊费用分配表，如表4-7示
—乙产品 3600
辅助生产成本
3000
制造费用—基本生产 制造费用—机修 管理费用
600 200 1200
贷：应付职工薪酬
14600
“应付福利费”的会计分录如下：
借：基本生产成本—甲产品 840
—乙产品 504
辅助生产成本
420
制造费用—基本生产 84
制造费用—机修
28
管理费用
168
贷：应付职工薪酬—应付福利
原始凭证及其 他有关资料
各种要素 费用分配
登记总帐 及明细帐
领退料
材料成本 表
凭证 汇集分配表
单要素
费用
工资结 算凭证
工资成本 汇集分配表
仅指基本 生产车间
其他 凭证
折旧费用 汇集分配表
外购动力 汇集分配表
其他成本 汇集分配表
制造费用 明细帐
综合 费用
辅助生产 明细帐
含辅助生产车 间制造费用
制造费用 分配表
第一节 品种法
一、品种法成本计算原理 二、品种法应用举例
一、品种法成本计算原理
（一）品种法亦称简单法，是一种以各种产品作为成本 计算对象，计算成本的一种基本方法。
计算方法引论-第六章
• 例3(续) 2 2 3 1
2 2 3
4
7
7
2
1
3 1
2 4 5 1 2 1
6
• LU分解:顺序主子式非零,det(Ak)≠0,k=1,2,…,n-1则可
唯一分解A=LU,单位下三角阵与上三角阵之积
1
l21 1
(3) L ln
u22
计算方法引论( 第三版)
6.17
徐萃薇、孙绳武 高教2007
直接LU分解 (续)
• 计算表格
u11=a11
u12=a12
u13=a13
l21=a21/u11
u22=a22-l21u12
u23=a23-l21u13
l31=a31/u11 l32=(a32-l31u12)/ u22 u33=a33-l31u13- l32u23 – 也可逐行算,或逐列算,或其它可行次序算
l31=a31/u11 l32=(a32-l31u12)/ u22 u33=a33-l31u13- l32u23
• LDR
分解
for j = 1:n for i=2:j
aij aij ai1a1j ai2a2 j
end
ai,i1ai1, j
(计算 uij)
for i= j+1:n aij (aij ai1a1 j ai 2a2 j ai, j1a j1, j ) / ajj (计算 lij)
计算方法引论：数值代数
解线性方程组的直接法 解线性方程组最小二乘问题 解线性方程组的迭代法 矩阵特征值和特征向量的计算 非线性方程及非线性方程组解法
第六章 解线性方程组的直接法
• Gauss消去法 • 主元素法 • LU分解 • LLT分解和LDLT分解 • 误差分析
计算方法第六章解线性方程组的直接法
未知数
在方程组中需要求解的变量 。
系数
方程中未知数的系数，构成 系数矩阵。
直接法的基本思想
直接法
通过对方程组进行变换，消去未知数，从而求得方程 组的解。
高斯消元法
一种常用的直接法，通过对方程组进行初等行变换， 将系数矩阵变为上三角矩阵，然后回代求解。
列主元消元法
在高斯消元法的基础上，每次消元前选取列主元，避 免计算过程中出现零除问题，提高数值稳定性。
回代过程
从最后一行开始，将已知量代入方程求解， 得到当前未知数的解。然后逐层回代，得到 所有未知数的解。
高斯消元法的应用举例
01
求解二元一次方程 组
通过高斯消元法，可以方便地求 解二元一次方程组，得到未知数 的解。
02
求解三元一次方程 组
对于三元一次方程组，同样可以 通过高斯消元法进行求解，得到 未知数的解。
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07
总结与展望
直接法的优缺点总结
精确性
直接法通过有限步精确运算可求得方程组的精确解，避免了迭代法可能产生的误差累积。
稳定性
对于适定问题，直接法的数值稳定性较好，不易受到舍入误差的影响。
直接法的优缺点总结
直接法的优缺点总结
计算量
对于大规模问题，直接法的计算 量往往很大，需要消耗大量的计 算资源和时间。
回代
从最后一个方程开始，逐个将已知量代入方程求解未知量，直到求出 所有未知量。
列主元消元法的应用举例
求解线性方程组
列主元消元法可以用于求解各种类型 的线性方程组，包括齐次线性方程组 和非齐次线性方程组。
求解最小二乘问题
列主元消元法可以用于求解最小二乘 问题，通过构造法方程组并应用列主 元消元法，可以得到最小二乘解。
计算方法 第六章 解线性方程组的消去法
x2
a x (k 1) 2k k
a x (k 1) 2,k 1 k 1
a(k 1n
1)
xn
a(k 1) 1,n1
a(k 1) 2n
xn
a(k 1) 2,n1
xk
1
a x (k 1) k 1,k k
a x (k 1) k 1,k 1 k 1
a x a (k1) k 1,n n
(k 1) k 1,n1
便可从(6.6)i中消去xk，从而归结为(6.8)i的形式，
为此需要进行的计算是
a a -a a (k)
(k1) (k 1) (k )
ij
ij
ik kj
j k 1,k 2, ,n 1
这里i k，即i 1, 2, , k 1, k 1, , n
——6.9
算式(6.7)、(6.9)是关于下标k的递推公式，对第一步， 即k=1时，所要得到的方程组(6.6)的原始形式是所给方 程组(6.5)，因此令系数
x a a x (n1)
( n 1)
n1
n1,n1 n1,n n
x2
a(2) 2,n1
a(2) 2,n
xn
a(2) 2,n1
xn1
x1
a(1) 1,n1
a(1) 1,n
xn
a x (1) 1,n1 n1
a(2) 23
x3
a(1) 12
x2
即
n
xk
a(k) k ,n1
a(k kj
)
x
j
jk 1
k n, n 1, ,1 ——6.17
ann xn an,n1
——6.5
第一步：同约当方法一样，先将第一个方程中x1的系 数化为1，得
计算方法第六章习题答案
第六章习题答案1.用二分法求方程在区间[1内的根，要求其绝对误差不超 32()330f x x x x =+−−=,2]过210.−解： 由于(1)113340,f =+−−=−<32(2)2232330,f =+−×−=>且当时，[1,2]x ∈22110()3233()033f x x x x ′=+−=+−> 所以方程在区间[1内仅有一个实根。
,2] 由2111(21)10,22k −+−≤×解得2ln10 6.64385.ln 2k ≥≥所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。
取[1区间的中点将区间二等分，求得,2]1 1.5,x =(1.5) 1.8750,f =−<与(1)f 同号，因此得到下一区间[1如此继续下去，即得计算结果。
.5,2];计算结果如下表：k(())f k k a a 的符号(())x f x k k 的符号(())b f b k k 的符号0 1（-） 1.5（-） 2（+） 1 1.5（-） 1.75（+） 2（+） 2 1.5（-） 1.625（-） 1.75（+） 3 1.625（-） 1.6875（-） 1.75（+） 4 1.6875（-） 1.71875（-） 1.75（+） 5 1.71875（-） 1.734375（+） 1.75（+） 6 1.71875（-） 1.7265625（-） 1.734375（+） 7 1.7265625（-） 1.73046875（-） 1.734375（+）7()1.73046875 1.73a b x +==≈77取即满足精度要求2。
2.证明1s 在[0内有一个根，使用二分法求误差不大于in 0x x −−=,1]41102−×的根要迭代多少次？证明： 设()1sin ,f x x =−−x由于(0)10sin 010,f =−−=>(1)11sin1sin10,f =−−=−<且当时，[0,1]x ∈()1cos 0.f x x ′=−−< 因此方程在区间[0内有一个根。
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(x x0 )(x x1) (x2 x0 )(x2 x1)
f
(x2 )
b
Ak a lk (x)dx
A0
1 6
(b
a),
A1
2 3
(b
a),
A2
1 6
(b
a)
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] 考察其精度。
a
6
2
解：逐次检查公式是否精确成立
二次插值多项式来代替被积函数，并等分[a,b]区间，使
h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，a=x0,b=x2，得到：
L0 x1)(x0 x2 )
f
(x0 )
(x x0 )(x x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 )
f
(x1)
b
b
由节点 决定， a[ f ( x) Ln( x)]dx a Rn( x)dx
与
f (x) 无关。
b a
f (n1) ( x ) (n 1)!
n
(x
k0
xk )dx
1
定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意成立k ， n则阶称A的k此多求项a积b l式k公(x成式)d立x的，代且数R精[ 度Pn为+1
第六章 数值积分
利用数值方法计算积分的近 似值
近似计算 I
b
f ( x)dx
a
插值型积分公式
§1 Newton-Cotes 公式
/*interpolatory quadrature*/
思 路
利用插值多项式
Ln (x)
f (x)
则积分易算。
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
0 j i
Ai (b a)Ci(n)
Cotes系数
C (n) i
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，与 f (x) 及区间[a, b]均无关。
6
C(n) i
(1)ni ni!(n i)!
n 0
ji
(t
j)dt
Ai (b a)Ci(n)
n = 1:
C (1) 0
(1)1 111
代入 P0 = 1：
b
1dx b a
a
=
b
2
a
[1
1]
f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
x
a
dx
b2
2
a2
=
b
a
[a
a
b]
2
b
代入
P2
=
x2
：
b a
x2dx
b3
3
a3
b a [a2 b2] 2
代数精度 = 1 2
例如，有积分公式:
1 f (x)dx 1 f (1) 2 f (0) f (1)
1
2
求该积分公式的代数精确度。
解：取f(x)=1，
1
1
1
1
f (x)dx 1dx 2 = [ f (1) 2 f (0) f (1)] [1 2 1] 2
-1
-1
2
2
取f(x)=x ，
1
f (x)dx
1
xdx 0
=
1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] 1 [1 0 1] 0
]0 n。
对某个
n+1
阶多项式
例：对于[a,
b]上1次插值，有 L1(x)
xb ab
f
(a)
xa ba
f (b)
A1
A2
b
2
a
考察其代数精度。
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
f(x)
解：逐次检查公式是/*否tr精a梯p确e形zo成公id立a式l rule*/
2, 3
C (2) 2
1 6
b a
f
( x)dx
2 k 0
f
(xk ) Ak
2 k 0
f
(xk )(b a)Ci(2)
ba[f 6
n
多项式 Ln ( x) f ( xk )lk ( x) ，即得到
k0
b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx Ak
k 0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x)dx a
Ak f ( xk )
k0
b
Ak a
dx ( x x j )
jk ( xk x j )
-1
-1
2
2
取f(x)=x2 ，
1
f (x)dx
1 x2dx 2
1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] 1 [1 0 1] 1
-1
-1
32
2
对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；
至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；
故该求积公式的代数精确度为1。 3
用直线代替y=f(x)精度不高，若用抛物线代替，即采用
梯形公式 代数精度 = 1
R[ f ] b f ( x )( x a)(x b)dx 1 h3 f ( ) , [a,b] , h b a
a 2!
12
1
注：梯形公式是用直线代替y=f(x)，然后再求积分而得，
并且梯形公式只对线性函数积分精确。
7
n = 2:
C (2) 0
1 6
,
C (2) 1
代入
P4
=
x4：
b a
x4dx
b5
5
a5
b a g(5a4 4a3b 4ab3 6a2b2 5b4 ) 24
代数精度 = 3
小结：
n
1、形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
k 0
公式为插值型（即：Ak
b
a lk
(
x)dx）
2、从某种意义上说，代数精度越高，求积分公式就越精 确。为了提高代数精度，可以提高插值多项式的次数。
1
(t
0
1)dt
( 1 2
t2
t)
|10
1 2
C (1) 1
(1)0 111
1
(t
0
0)dt
(1 2
t2)
|10
1 2
b a
f (x)dx
1 k 0
f (xk ) Ak
1 k 0
f (xk )(b a)Ck(1)
ba 2
f
(
x0
)
b
2
a
f (x1)
b
ba
a f ( x)dx
[ f (a) f (b)] 2
代入 P0 = 1：
b
1dx b a
a
=
b a g6 6
代入
P1
=
x
：
b
x
a
dx
b2
2
a2
=
b a g3(a b) 6
代入 P2 = x2 ： b x2dx b3 a3 = b a g(2a2 2ab 2b2 )
a
3
6
4
代入
P3
=
x3：
b a
x3dx
b4
4
a4
=
b a g3 (a3 a2b ab2 b3 ) 62
5
❖
当节点等距分布时：
xi
a i h,
h
b
n
a
,
i 0, 1, ..., n
Ai
xn ( x x j ) dx x0 ji ( xi x j )
令 xath
n
(t j) h h dt (b a)(1)ni n
(t j)dt
0 ji (i j) h
n i!(n i)!