最小二乘法计算公式
最小二乘法求a,b的公式
最小二乘法求a,b的公式
用最小二乘法求回归直线方程中的a,b有下面的公式：
最小二乘法：总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即作为总离差，并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条，这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：
由于绝对值使得计算不变，在实际应用中人们更喜欢用：Q=（y1-bx1-a）?（y2-bx-a 玻?。
+（yn-bxn-a）? 这样，问题就归结于：当a，b取什么值时Q最小，即到点直线y=bx+a的“整体距离”最小。
扩展资料：
回归分析的最初目的是估计模型的参数以便达到对数据的最佳拟合。
在决定一个最佳拟合的不同标准之中，最小二乘法是非常优越的。
这种估计可以表示为：
1)样本是在母体之中随机抽取出来的。
2)因变量Y在实直线上是连续的，
3)残差项是独立同分布的，也就是说，残差是独立随机的，且服从高斯分布。
这些假设意味着残差项不依赖自变量的值，所以和自变量X（预测变量）之间是相互独立的。
在这些假设下，建立一个显示线性回归作为条件预期模型的简单线性回归方程，可以表示为：
给一个随机样本，一个线性回归模型假设回归子和回归量之间的关系是除了X的影响以外，还有其他的变数存在。
我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了之外任何对的影响。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
的一个二元函数， 把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M = M ( a , b ) 在那 些点处取得最小值. 些点处取得最小值
7 ∂M ∂a = −2∑ [ yi − (at i + b )]t i = 0, i =0 令 7 ∂M = −2∑ [ yi − (at i + b )] = 0; ∂b i =0
7 7 7
(1)
计算得
∑t
i =0 7 i =0
7
i
= 28, = 208.5,
∑t
i =0 7 i =0
7
2 i
= 140, = 717.0
∑y
i
∑yt
i i
代入方程组（ ） 代入方程组（1）得
140a + 28b = 717, 28a + 8b = 208.5.
解此方程组， 解此方程组，得到 a = −0.3036, b = 27.125. 这样便得到所求经验公式(回归方程 为 这样便得到所求经验公式 回归方程 )为
在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示从实验开始算起的时间， 其中 τ 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻τ 反应物的量． 反应物的量．试定出经验公式 y = f (τ ).
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
最小二乘法的计算公式
最小二乘法的计算公式在以下的推导过程中，我们假设有一个线性模型，形式为:Y=Xβ+ε其中，Y是一个n维观测向量，表示观测到的因变量；X是n×m维的设计矩阵，每行代表一个观测点，每列代表一个自变量；β是一个m维参数向量，表示模型中的未知参数；ε是观测误差向量，假设服从均值为0，方差为σ^2的多元正态分布（ε~N(0,σ^2I)）。
e=Y-Xβ残差平方和SSE可以由残差向量的范数的平方表示:SSE=e^Te=(Y-Xβ)^T(Y-Xβ)要找到参数向量β的最优估计，我们需要求解以下正规方程（normal equation）:X^TXβ=X^TY正规方程的解可以通过求逆或者矩阵分解等方式得到。
当X^TX可逆时，正规方程的解为:β=(X^TX)^(-1)X^TY其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。
X=UΣV^T其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
我们可以利用这个分解来求解正规方程:β=(X^TX)^(-1)X^TY=(VΣ^TU^TUΣV^T)^(-1)VΣ^TU^TY=VΣ^(-1)U^TY在实际计算中，我们通常通过计算设计矩阵X的奇异值分解来求解最小二乘问题，这样可以克服矩阵X不可逆的问题。
除了最小二乘估计的公式和计算方法之外，我们还可以通过方差-协方差矩阵来度量参数估计的精确程度。
方差-协方差矩阵的估计公式为：Var(β) = σ^2(X^TX)^(-1)其中，Var(β)是参数向量β的方差-协方差矩阵，σ^2是误差项ε的方差。
最小二乘法在统计学和数据分析中有着广泛的应用，它不仅适用于线性模型，还可以推广到非线性模型，并且可以通过引入响应变量的变换来解决非常数方差和非正态分布误差的问题。
此外，最小二乘法还可以用于解决多元回归、多项式拟合等问题。
总结起来，最小二乘法是一种重要的数据拟合方法，通过最小化观测值与预测值之间的差异（残差平方和），可以得到线性模型中参数的最佳估计值。
最小二乘法系数计算公式
最小二乘法系数计算公式最小二乘法系数计算公式这玩意儿，在数学和统计学里那可是相当重要！咱先来说说啥是最小二乘法。
打个比方，你想研究身高和体重之间有没有啥关系。
你找了一堆人，量了他们的身高和体重。
这一堆数据放那，看起来乱哄哄的，你就想找个规律，让一条线能尽量好地穿过这些数据点。
这条线呢，就是通过最小二乘法算出来的。
那最小二乘法系数计算公式到底是啥呢？其实就是通过一些数学运算，找到能让实际数据点和预测线之间的误差平方和最小的系数。
比如说，有一组数据（x1,y1），（x2,y2），……，（xn,yn）。
我们设要拟合的直线方程是 y = a + bx 。
那误差平方和 S 就等于（y1 - (a + bx1))² + （y2 - (a + bx2))² + …… + （yn - (a + bxn))²。
为了找到让 S 最小的 a 和 b ，就得用一些数学方法来算啦。
这计算过程啊，可有点复杂，得用到求偏导数啥的。
我记得有一次，给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这咋这么难啊！”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我带着他们从最简单的例子开始，一个数据一个数据地分析，慢慢他们就有点感觉了。
其实在实际生活中，最小二乘法的用处可大了。
比如说预测股票的走势，虽然不能百分百准确，但能给咱一个大概的参考。
或者分析某个产品的销量和广告投入之间的关系，帮助企业做决策。
还有啊，搞科研的时候也经常用到。
比如研究气候变化和某些因素的关系，通过最小二乘法找到规律，就能更好地预测未来的气候变化。
学习最小二乘法系数计算公式，一开始可能会觉得头疼，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就会发现其中的乐趣。
就像解谜一样，当你算出正确的系数，找到那条最合适的线，那种成就感可太棒啦！所以啊，同学们，别害怕这个小小的难题，加油去攻克它，你会发现数学的世界里有很多奇妙的东西等着你们去探索呢！。
最小二乘法
最小二乘法科技名词定义中文名称：最小二乘法英文名称：least square method定义：在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。
其中V为残差向量，P为其权矩阵。
所属学科：测绘学（一级学科）；大地测量学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
目录编辑本段最小二乘法编辑本段最小二乘法(least square)历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
（来自于wikipedia）编辑本段最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX 平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2编辑本段最小二乘法原理用各个离差的平方和M=Σ(i=1到n)[yi-(axi+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。
最小二乘法的基本公式
最小二乘法的基本公式最小二乘法，这玩意儿听起来是不是有点高大上？但别怕，其实它并没有那么复杂，就像咱们学骑自行车，一开始觉得难，掌握窍门后就变得轻松自如啦！先来说说最小二乘法到底是啥。
简单来讲，它就是一种找数据最佳拟合直线或者曲线的方法。
比如说，你记录了一堆气温和日期的数据，想找出它们之间的规律，这时候最小二乘法就派上用场了。
那它的基本公式是啥呢？咱们来瞧瞧。
假设咱们有一堆数据点（x₁, y₁）, （x₂, y₂）,..., （xₙ, yₙ），然后要找一条直线 y = ax + b 来拟合这些点。
那最小二乘法就是要让每个点到这条直线的垂直距离的平方和最小。
这个垂直距离，咱们叫它残差。
具体的公式就是：Q = Σ(yi - (axi + b))²，这里的Σ是求和符号，就是把所有的残差平方加起来。
然后通过求 Q 对 a 和 b 的偏导数，令它们等于 0 ，就能解出 a 和 b 的值，从而得到最佳拟合直线的方程。
我给您讲个我亲身经历的事儿吧。
有一次我带着学生们去做一个关于植物生长和光照时间关系的实验。
我们每天记录植物的高度和对应的光照时长，最后想用最小二乘法来找出它们之间的关系。
一开始，学生们都被这些数据弄得晕头转向的。
有的说：“老师，这也太乱了，怎么找规律啊？”我就告诉他们，别着急，咱们有最小二乘法这个法宝呢！然后我一步一步地给他们讲解公式的原理和计算方法。
有个叫小明的同学特别认真，眼睛紧紧盯着黑板，手里的笔不停地记着。
可算到中间的时候，他突然举手说：“老师，我这一步算错了，得重新来。
”我鼓励他说：“没关系，重新算，多算几遍就熟练啦。
”最后，经过大家的努力，我们终于算出了最佳拟合直线的方程。
当我们把这个方程画在图上，看到那些数据点都很接近这条直线的时候，孩子们都兴奋得欢呼起来。
从那以后，学生们对最小二乘法的理解可深刻多了。
他们知道了，数学不仅仅是书本上的公式，还能真真切切地帮助我们解决生活中的问题。
最小二乘法b的计算公式
最小二乘法b的计算公式最小二乘法在数学领域，尤其是统计学中，那可是相当重要的一个工具。
咱今儿就来好好唠唠它里面关于 b 的计算公式。
先给您举个小例子哈。
比如说，咱要研究学生每天学习时间和考试成绩之间的关系。
我们找了一堆学生，记录了他们每天学习的时间和对应的考试成绩。
这时候，就可以用最小二乘法来找出这两者之间的规律。
那最小二乘法里 b 的计算公式到底是啥呢？它是：b = [nΣ(xy) - ΣxΣy] / [nΣ(x^2) - (Σx)^2]这里面的 n 表示数据的数量，x 是自变量，y 是因变量。
可别被这一堆符号给吓住了，咱慢慢捋一捋。
比如说，在刚刚说的学习时间和考试成绩的例子里，学习时间就是x，考试成绩就是 y。
假设我们有 5 个学生的数据，分别是（1，50），（2，60），（3，70），（4，80），（5，90）。
那咱们先算算Σx，就是把所有的 x 加起来，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。
Σy 呢，就是把所有的 y 加起来，50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 350。
Σ(xy) 就是把每个 x 和对应的 y 相乘再相加，1×50 + 2×60 + 3×70 + 4×80 + 5×90 = 1350。
Σ(x^2) 就是把每个 x 的平方加起来，1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。
然后把这些数代到公式里，n = 5，b = [5×1350 - 15×350] / [5×55 - 15^2] ，经过一番计算，就能得出 b 的值啦。
有了这个 b 值，我们就能得到一个大致的线性关系，比如说 y = bx + a 里的这个直线方程，从而能对未来的情况做一些预测。
再比如说，您要是开个小店，想研究商品价格和销量之间的关系，也能用这个方法。
您看，最小二乘法的 b 计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多找些实际的例子练练手，其实也没那么难。
矩阵最小二乘法计算公式
矩阵最小二乘法计算公式
对于方程组$Ax=b$，其中$A$ 是$m\times n$ 的矩阵，$b$ 是$m$ 维列向量，而$x$ 是$n$ 维列向量。
如果$m>n$，则矩阵$A$ 是“过定”的，即方程组可能无解；如果$m<n$，则矩阵$A$ 是“欠定”的，即方程组可能有无穷多解。
最小二乘法就是用于求解欠定方程组的方法。
假设我们要求解的是线性回归问题，即解决下面的最小二乘问题：$$
\min_{x}\|Ax-b\|^2
$$
其中$\|\cdot\|$ 表示向量的2-范数。
令$r=Ax-b$ 是误差向量。
我们希望$r$ 的各维度上的值越小越好，为了使$r$ 最小，我们令$\frac{\partial \|r\|^2}{\partial x}=0$。
根据矩阵求导规则，我们可以得到：
$$
\frac{\partial \|r\|^2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(r^Tr)=2Ar-2b
$$
令上式为$0$，解得$x=(A^TA)^{-1}A^Tb$，也就是我们所说的矩阵最小二乘法计算公式。
其中，$(A^TA)^{-1}$ 称为$A$ 的“伪逆”，如果$A$ 是非奇异的，那么$A$ 的伪逆就是$A^{-1}$。