三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较
第三章 插值法 三次样条插值
问题
分段低次插值
在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得越多越好。
最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。
分段低次插值
基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。
具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间；
(2) 在每个小区间上作低次插值多项式；
(3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。
优点：公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性…
缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。
三次样条函数
样条函数
由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。
最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。
定义设节点a =x 0< x 1 < …< x n -1 < x n =b ，若函数
在每个小区间[x i , x i +1 ]上是三次多项式，则称其为三次样条函数。
如果同时满足s (x i ) = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，则称s (x ) 为f (x ) 在[a , b ]上的三次样条函数。
],[)(2b a C x s ∈
利用线性插值公式，即可得的表达式：
求导得：
即：
：第一类边界条件（缺省边界条件）。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
3.4三次样条插值
3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1
第八节三次样条插值-PPT精品文档
S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) S(xi 0) S(xi 0) (i 1 ,2 , ,n1 ) (xi 0) S (xi 0) (i 1 S ,2 , , n1 ) S(xi ) yi (i 0 ,1 ,2 , ,n)
则有
f [ xi 1 , xi ] ( 1 ) m 2 mm i i 1 i i i 1 i ,m m y y 并注意到 , x i 1 ]
差商
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
因而有三对角方程组（基本方程组）
2m 1 1m 2 1 (11) y0 (1 )m 2m m 2 1 2 2 3 2 (1 )m 2m m n2 n3 n2 n2 n1 n2 (1n1)mn2 2mn1 n1 n1 yn
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边界条件的类型
(1) 已知一阶导数值： (2) 已知二阶导数值：
S ( x ) yS , ( x ) y 0 0 n n
Sx (0 ) ySx , (n ) y 0 n
(3)被逼近函数是周
期函数：
其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追赶方法求 其解，于是得到分段插值多项式，即三次样条函数。
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基本步骤：
•构造已知条件（由三次样条函数的特征）；
•积分（反推）；
•确定系数：
•确定： •求出：
•利用边界条件，例如：
,i； Si ( x) m i
i
为了保证二阶导数的连续性，要求成立
s (0 x )(0 s x ) ,( 3 8 ) ( i 1 , 2 , , n 1 ) 3 i 3 i
三次样条插值
三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。
三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。
从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。
今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。
我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。
一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足： （1）),,2,1,0()(n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式； （3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。
则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。
二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。
我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++=其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。
由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,-n x x x 上连续即可，共有)1(4-n 个条件，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''=-''-=+'=-'-=+=-),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(n i y x S n i x S x S n i x S x S n i x S x S i i i i i i i i 共有241)1(3-=++-n n n 个条件，未知量的个数是n 4个。
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较
数值计算方法期末论文————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
引言在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法目录引言--------------------------------------------------- 2第一章三次样条插值------------------------------------ 41.1三次样条插值函数--------------------------------- 41.2 分段线性插值------------------------------------ 51.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 72.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 72.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 82.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 103.1对比实例一---------------------------------------- 103.2对比实例二---------------------------------------- 113.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16第一章 三次样条插值1.1三次样条插值函数：若函数S （x ）∈2c [a,b],且在每个小区间[1,j j x x +]上是三次多项式，其中a =01x x <<…n x <b =是给定节点，则称S(x)是节点01,,...,n x x x 上的三次样条函数。
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数值计算方法期末论文————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
引言在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法目录引言--------------------------------------------------- 2第一章三次样条插值------------------------------------ 41.1三次样条插值函数--------------------------------- 41.2 分段线性插值------------------------------------ 51.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 72.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 72.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 82.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 103.1对比实例一---------------------------------------- 103.2对比实例二---------------------------------------- 113.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16第一章 三次样条插值1.1三次样条插值函数：若函数S （x ）∈2c [a,b],且在每个小区间[1,j j x x +]上是三次多项式，其中a =01x x <<…n x <b =是给定节点，则称S(x)是节点01,,...,n x x x 上的三次样条函数。
若在节点j x 上给定函数值j y ()(0,1,...,),j f x j n ==并成立()(0,1,...,)j j s x y j n ==则称S(x)为三次样条插值函数。
三次样条插值的计算方法：①因为在每个小区间上()i S x 是三次多项式，所以''()i S x 在每个小区间上是直线，可以写出它的表达式''1111(),i i iii i ii ix x x x S x m m x x x x ++++--=+--其中1,i i m m +是待定参数。
②把它积分两次，得到3311()()(),66i i i i i iix x x x S x m m cx d h h ++--=+++这里的c 和d 是积分常数，1i i i h x x +=-。
利用()i i i S x y =和11()i i i S x y ++=可以确定c,d,于是有331122111()()()66()(),66i i i i i iii ii i iii i iix x x x S x m m h h m h x x m h x x y y h h +++++--=+--+-+-将其求导数得到22'1111()()()22.6i i i i i iii ii ii ix x x x S x m m h h y y m m h h ++++--=-+--+-至此，我们把()i S x 以及它的一、二阶导函数都用两个参数表示出来。
③我们令''111()(),0,1,...2,i i i i S x S x i n +++==-得到一个关于01,,...,n m m m 的线性方程组112,1,2,...,1,i i i i i m m m d i n μλ-+++==- （1.1）其中，111111,1,6.i ii i i ii i i i i i i i i y y y y h h h d h h h h μλμ+--------==-=++该方程有1n +个未知数，1n -个方程。
针对不同的边界条件可以有相应的附加方程，最常用到的是0,.n m m αβ==解出（1.1）及其附加方程得到i m 再代进()i S x 的表达式，就得到了全部解。
1.2分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近)(x f .设已知节点b x x x a n =<<<= 10上的函数值,,,,10n f f f 记,max ,1k kk k k h h x x h =-=+求一折线函数)(x I h 满足：1)(x I h ],,[b a ∈20k k k f x I =)( （n k ,,1,0 =），30)(x I h 在每个小区间[1,+k k x x ]上是线性函数。
则称)(x I h 为分段线性插值函数。
1.3插值理论：设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,x n处取值y0,y1,…,y n 。
如果函数φ(x)在点x i上满足φ(x i)=y i (i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,…,x n是插值节点。
若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。
显然 f(x)≈φ(x)，x∈[a,b]。
第二章 最小二乘法在实际生活中，往往需要从一组实验数据（x i ,y i ）中寻找出变量x,y 之间的函数关系.由于观测数据不可避免出现误差，因此并不需要y=f(x)一定要经过所有的点，而只要求在给定点x i 上误差Δi=f(x i )-y i 按某种标准达到最小.通常用欧式范数║Δ║2作为误差量度的标准.这就是所谓的最小二乘拟合法.最小二乘拟合法可以分为线性最小二乘拟合法和非线性最小二乘拟合法。
2.1 线性最小二乘拟合法设0{()}m k k x φ=是一个线性无关的函数系，则称线性组合0()()mkkk x a x φφ==∑为广义多项式.如三角多项式：0()cos sin mmkkk k x akx bkx φ===+∑∑.设由给定的一组测量数据(,)i i x y 和一组正数(1,2,,)i w i n = ,求一个广义多项式0()()mkkk x a x φφ==∑使得目标函数21[()]niiii S w x y φ==-∑ （3.1）达到最小,则称函数()x φ为数据(,)(1,2,i i x y i n = 关于权函数(1,2,,i w i n = 的最小二乘拟合函数,由于()x φ关于待定系数i a 是线性的,故此问题又称为线性最小二乘问题.要使最小二乘问题的目标函数(3.1)达到最小,则由多元函数取得极值的必要条件得0(0,1,2,,)kS k m a ∂==∂即 1[()]()0(0,1,2,,)nmi k k i i k i i k w a x y x k m φφ==-==∑∑亦即1[()()]()m nniji ki jiik i j i i w x x a w y x φφφ====∑∑∑(0,1,2,,)k m = 是未知量为01,,,ma a a 的线性方程组,称之为正规方程组。
实际中可适当选择函数系0{()}mk k x φ=,由正规方程组解出01,,,m a a a ,于是可得最小二乘拟合函数0()()mkkk x a x φφ==∑。
2.2 一般线性最小二乘拟合法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数,即为多维线性最小二乘拟合问题.假设已知多元函数12(,,,)n y f x x x = 的一组测量数据12;(,,,)i i ni i x x x y(1,2,,)i m = 和一组线性无关的函数系120{(,,,)}Nk n k x x x φ= ,求函数 12120(,,,)(,,,)Nk n kkn k x x x a x x x φφ==∑对于一组正数12,,,m w w w ,使得目标函数2121[(,,,)]miii i ni i S w yx x x φ==-∑达到最小,其中待定系数012,,,N a a a a 由正规方程组(,)(,)Njk j k j a y φφφ==∑ (0,1,2,,)k N =确定,此处12121(,)(,,,)(,,,)mj k iji i ni k i i ni i w x x x x x x φφφφ==∑ ,121(,)(,,,)mk iki i ni ii y w x x x y φφ==∑上面的函数φ关于i a 都是线性的,这就是线性最小二乘拟合问题,对于这类问题的正规方程组总是容易求解的.如果φ关于i a 都是非线性的,则相应的问题称为非线性最小二乘拟合问题。
2.3非线性最小二乘拟合法假设已知多元函数12(,,,)n y f x x x = 的一组测量数据12;(,,,)(1,2,,)i i ni i x x x y i m = ,要求一个关于参数j a (0,1,2,,)j N = 是非线性的函数1201(,,,;,,,)n N x x x a a a φφ= ，对于一组正数12,,,m w w w ,使得目标函数20112011(,,,)[(,,,;,,,)]mN iii i ni N i S a a a w yx x x a a a φ==-∑达到最小，则称之为非线性最小二乘问题。
第三章 算法对比与实现3.1 对比实例一对函数y，在[-5，5]上对函数作插值计算。