详细讲解三次样条插值法及其实现方法
三次样条插值算法C++实现
三次样条插值算法C++实现三次样条插值算法1 总体说明三次样条插值算法是⼀种计算量和效果都⽐较理想的插值算法。
关于三次样条插值算法的原理这⾥不做过多的解释，下⾯的代码是我在⽹上收集了两种C++实现版本的基础上⾃⼰整合的⼀个版本。
由于本⼈刚接触C++不久，⽔平有限。
没有使⽤模板机制将代码做的更通⽤。
关于算法实现有下⾯⼏点说明。
1. 所有有关的类都被包含到SplineSpace命名空间中。
2. SplineSpace中⼀个有三个类分别是异常类(SplineFailure),接⼝类(SplineInterface)和实现类(Spline)。
有⼀个枚举类型说明边界条件(BoundaryCondition),取值为：GivenFirstOrder和GivenSecondOrder。
分别对应I型边界条件和II型边界条件。
3. 接⼝类定义了Spline在实现的过程中必须要有的三个⽅法：单点插值、多点插值和⾃动⽣成插值序列。
4. 异常类是可能被实现类抛出的类，如果在实现类的运⾏过程中出现了已知数据过少构造失败、使⽤了外插值、设定输出点数过少等⾏为会抛出该类。
因此应该将插值的过程⽤try...catch(SplineFailure sf)包裹起来。
如：double x0[2]={1,2};double y0[2]={3,4};try{SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,2);//...}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}上⾯代码就会抛出异常并显⽰“构造失败,已知点数过少”。
2 插值⽅法调⽤2.1单点插值调⽤⽅法如下：#include <iostream>#include "Spline.h"using namespace std;using namespace SplineSpace;int main(void){//单点插值测试double x0[5]={1,2,4,5,6}; //已知的数据点double y0[5]={1,3,4,2,5};try{//Spline sp(x0,y0,5,GivenSecondOrder,0,0);SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,5); //使⽤接⼝，且使⽤默认边界条件double x=4.5;double y;sp->SinglePointInterp(x,y); //求x的插值结果ycout<<"x="<<x<<"时的插值结果为:"<<y<<endl;}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}getchar(); //程序暂停}此时屏幕会输出"x=4.5时的插值结果为2.71107"。
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法原理
1.数据点的拟合：首先，将给定的离散数据点分割成多个区间，每个
区间内有一组数据点。
然后，在每个区间内使用三次多项式来拟合数据点，以找到一个插值函数。
2.条件的引入：为了确保插值函数的光滑性，需要引入一些条件。
常
见的条件是：插值函数在每个区间的端点处连续，一阶导数在插值点处连续，二阶导数在插值点处连续。
这些条件可以确保插值函数没有拐点，并
且在整个数据区间内光滑。
3.构造方程组：通过将插值函数的定义代入条件方程中，可以建立一
个包含未知系数的线性方程组。
这些未知系数表示每个区间内的三次多项
式的系数。
方程组的求解将得到这些系数的值。
4.矩阵求解：使用线性代数的方法，将方程组转化为矩阵形式，并通
过求解矩阵方程来得到未知系数的值。
常用的矩阵求解方法有高斯消元法
和LU分解法等。
5.插值计算：当未知系数的值确定后，就可以使用插值函数来计算任
意插值点的函数值。
这些插值点可以是原始数据点之间的任意位置。
然而，三次样条插值算法也存在一些问题。
首先，该算法在处理大数
据集时可能会产生较高的计算复杂度。
其次，如果数据点分布不均匀，可
能会导致插值函数的误差较大。
此外，在数据点数量过少的情况下，插值
函数可能会失去准确性。
总之，三次样条插值算法通过拟合离散数据点，构造光滑的插值函数，从而实现数据的逼近和预测。
该算法在数值计算、数据分析和图形绘制等
领域有广泛的应用。
通过进一步的优化和改进，可以提高算法的性能和稳定性，使其更适用于复杂的实际问题。
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
三次样条插值的方法和思路
三次样条插值的方法和思路摘要：1.三次样条插值的基本概念2.三次样条插值的数学原理3.三次样条插值的实现步骤4.三次样条插值的优缺点5.三次样条插值在实际应用中的案例正文：在日常的科学研究和工程应用中，我们经常会遇到需要对一组数据进行插值的问题。
插值方法有很多，其中三次样条插值是一种常见且有效的方法。
本文将从基本概念、数学原理、实现步骤、优缺点以及实际应用案例等方面，全面介绍三次样条插值的方法和思路。
一、三次样条插值的基本概念三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）是一种基于分段多项式的插值方法。
它通过在各个节点上构建一条三次多项式曲线，使得这条曲线在节点之间满足插值条件，从而达到拟合数据的目的。
二、三次样条插值的数学原理三次样条插值的数学原理可以分为两个部分：一是分段三次多项式的构建，二是插值条件的满足。
1.分段三次多项式的构建假设有一组数据点序列为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），我们可以将这些数据点连接起来，构建一条分段三次多项式曲线。
分段三次多项式在每个子区间上都是一个三次多项式，它们之间通过节点值进行连接。
2.插值条件的满足为了使分段三次多项式在节点之间满足插值条件，我们需要在每个子区间上满足以下四个条件：（1）端点条件：三次多项式在区间的端点上分别等于节点值；（2）二阶导数条件：三次多项式在区间内的二阶导数等于节点间的斜率；（3）三阶导数条件：三次多项式在区间内的三阶导数等于节点间的曲率；（4）内部点条件：三次多项式在区间内部满足插值函数的连续性。
通过求解这四个条件，我们可以得到分段三次多项式的系数，从而实现插值。
三、三次样条插值的实现步骤1.确定插值节点：根据数据点的位置，选取合适的节点；2.构建分段三次多项式：根据节点值和插值条件，求解分段三次多项式的系数；3.计算插值结果：将待插值点的横坐标代入分段三次多项式，得到插值结果。
三次样条插值知识讲解
（1）差商定义
定义
称 f[xi,xj]f(xxi)i xfj(xj), ij 为 f ( x ) 在 x i , x j
两点处的一阶差商.
f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,L x n ]f[x 0 ,x 1 L x n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
n
P n(x)
i0
yi (xxn i)1(n 'x)1(xi)
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存在,
节点 a x 0 x 1 x n b ，Pn ( x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x[a,b] , 插值余项
1 (x4)(x6)(x8)(x10) 3(x2)(x6)(x8)(x10)
384
96
5(x2)(x4)(x8)(x10) 4(x2)(x4)(x6)(x10)
64
96
1 (x2)(x4)(x6)(x8) 384
缺点: 当增加或减少插值节点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用
四、 Newton插值法
为 Det(A) (xi xj) ,由定理中条件,插值结点为彼此互异的, 那么行 0jin
列式不为零.故由Cramer法则知线性代数方程组 Aa b 存在唯一解.
三、Lagrange插值法
（1）Lagrange插值多项式可以表示为
n
Pn (x) yili (x) i0
l i( x ) ( x ( i x x x 0 0 ) ) L L ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i 1 1 ) ) L L ( ( x x i x n x ) n ) ,i 0 ,1 ,L n
三次样条曲面插值原理
三次样条曲面插值原理
三次样条曲面插值是一种用于构造二维曲面的插值方法。
其基本原理是通过已知的曲面上的若干点，计算出该曲面上的三次多项式函数，从而实现曲面的插值。
具体来说，三次样条曲面插值的原理如下：
1. 确定曲面上的插值节点：根据给定的曲面上的点的坐标，确定曲面上的插值节点。
2. 构造曲面的参数方程：利用插值节点，构造出曲面的参数方程。
三次样条曲面插值通常使用双变量的三次多项式作为参数方程。
参数方程的形式可以是Bézier曲面、B样条曲面等。
3. 确定曲面上的插值条件：根据已知的曲面上的点的坐标和曲面方程，确定曲面上的插值条件。
通常使用平滑条件（曲面上的点的正切方向相等）和代数条件（曲面上的点的坐标满足给定的条件）来确定插值条件。
4. 求解参数方程的系数：根据插值条件，求解参数方程中的系数。
可以使用线性代数的方法求解系数矩阵，得到曲面的参数化表达式。
5. 计算曲面上的点的坐标：利用参数方程和求解得到的系数，计算曲面上的点的坐标。
可以通过插值节点上的参数值，使用参数方程计算得到。
通过以上步骤，就可以构造出满足给定插值条件的三次样条曲面，从而实现曲面的插值。
数值计算方法(三次样条插值)
(1 ) 输入插值点 u ;
( 2 ) 对于 j 1 , 2 ,..., n 做
如果
u
x
则计算
j
A1, A2 , B1, B 2;
v A 1 f j 1 A 2 f j B 1 f j 1 B 2 f j;
s( xn 0) s( xn 0)
精品
三次样条插值
用三弯矩阵构造三次条样插值函数
（1）s( x j ) f ( x j ) ( j 0,1,2,... n); (2) 在每个小区间 [ x j1, x j ]( j 1,2,..., n)上 s( x)是不超过
三次多项式； (3) 在开区间（ a, b）上 s( x)有连续的二阶导数 ,
则称 s( x)为区间 [a, b]对应于划分 的三次样条函数。 精品
y j1
x x j1 x j x j1
yj
y j1 (x x j1)(y j y j1) /(x j x j1)
精品
分段线性插值
算法： 1 .输入 x i , y i ( i 0 ,1 ,..., n ) 2 .按 k 1 , 2 ,..., m 做
(1) 输入插值点 u
(2) 对于 j 1,2,..., n 做
如果
u
x
则
j
精品
分段线性插值
1 0 v y j 1 ( u x j 1 )( y j y j 1 ) /( x j x j 1 )
2 0 输出 u , v
分段插值函数
I1 ( x )
I(x)
I2(x)
I
n
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
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样条函数的定义 定义4.1 设区间[a,b]上给定一个节点划分
a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条： (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(2.6)为节点集的k次样条函数。
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
x [xi , xi1], hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
(x) (2x 1)( x 1)2,1(x) x(x 1)2 13
对Si (x)求二阶导数 ,并整理后得
Si( x)
6( xi
xi 1 hi3
2x)
因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续 可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处 的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！
S(xi 0) S(xi 0), i 1,, n 1
S(x)
y ( xxi i 0 hi
)
y ( ) m h ( xi1x i1 0 hi
( yn
yn 1 )
2 hn1
(mn1
2mn )
立即可得下式：
21
其中：
nm1 nmn1 2mn gn
n
h0
h0 hn1
, n
hn1 h0 hn1
1 n
gn
3 n
y1 y0 h0
n
yn
yn1 hn1
联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：
2 1
1
1
2
2
1
2
3
2
2
n1
解: 这是自然边界条件下的样条问题。
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
1 k
1
2 3
1
1 3
2
1 3
2
2 3
24
g0 6
g1
9 2
g2
7 2
g3 6
我们可以将上述计算列于表中：
k
0
1
2
g0
3
y1 y0 h0
h0 2
M0
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k
yk 1 hk
19
稍加整理得
2m0
m1
3
y1 y0 h0
h0 2
M0
g0
mn1
2mn
3
yn yn1 hn1
hn1 2
Mn
gn
联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组， 化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优
2
1
1 2
1
m0 m1
g0 g1
2 2 2
m2 g2
3 2
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
hi xi1 xi , i 0,1,, n 1
H3 (x) HH33((10))((xx))
x0 x x1 x1 x x2
H
( 3
n1)
(
x)
xn1 x xn
12
我们采用待定一阶导数的方法即设
S(x j ) m j , j 0,1,, n
三次样条插值
鉴于高次插值不收敛又不稳定的特点，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是低次插 值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在插值区间中仅 具有连续性，在插值节点处有棱角，一阶导数不存在；分段 三次Hermite插值多项式在插值区间中仅具有一阶导数即一 阶光滑性但不具备二阶光滑性，不能满足某些实际应用比如 汽车、轮船、飞机等的外形中流线形设计。样条是在二十世 纪初期经常用于图样设计的一种富有弹性的细长条，多个样 条互相弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。 后来数学上对其进行了抽象，定义了m次样条函数，并成为 数值逼近的重要研究分枝，进一步扩大了样条函数的应用范 围。
3( hi
yi yi1 hi1 yi1 yi )
hi1 hi hi1
hi1 hi hi
15
imi1 2mi imi1 gi , i 1, , n 1
i
hi
hi hi1
i
hi
hi1 hi1
1 i
gi
3(i
yi yi1 hi1
i
yi1 yi ) hi
共个n 1个方程,n 1个未知量
yk )
gn
3
yn yn1 hn1
hn1 2
Mn
3
xk
1
2
4
5
yk
1
3
4
2
mk
?
?
?
?
Mk
0
?
?
0
hk
1
2
1
*
λk
* 2/3 1/3 *
μk
* 1/3 2/3 *
gk
6 9/2 -7/2 -6
25
由些得如下方程组：
2
2 /3
1 2 1/3
1/3 2 1
2 /3 2
m0 m1
m2 m3
n1 2 n1 mn1 gn1
1 2 mn gn
20
第三类样条插值问题的方程组 由于：
S(x0 0) S(xn 0) m0 mn S(x0 0) S(xn 0)
S ( x0
0)
6 h02
( y1
y0 )
2 h0
(m1
2m0 )
S ( xn
0)
6 h2
n1
5
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
第一边界条件：由区间端点处的一阶导数给出即
s3 s3
( (
x0 xn
) )
m0 mn
f f
(x0 ), (xn ),
6
第二边界条件：由区间端点处的二阶导数给出即
s3(x0 ) M0 f (x0 ), s3(xn ) M n f (xn ),
g0 g1 g2 g3
m0
17 8
, m1
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
利用三转角公式：
S(x)Leabharlann yi0( xxi hi
)
y ( ) m h ( xi1x i1 0 hi
x xi i i 1 hi
) mi1hi
( ) xi1x
1 hi
26
S0 (x)
y00
( xx0 h0
)
y1
( ) x1x
0 h0
m h ( xx0 0 0 1 h0
)
m1h01
(
x1 h0
x
)
0
(x
1)
30
(2
x)
17 8
1
(
x
1)
7 4
1
(2
x)
1 x3 3 x2 7 x 1 88 4
1 x 2
S1(x)
y10
(
x x1 h1
)
y20
(
x2 h1
x
)
m1h11
(
x x1 h1
三次样条插值函数的边界条件
如果S(x)是f (x)的三次样条插值函数 ,则其必满足
插值条件： 连续性条件： 一阶导数连续条件： 二阶导数连续条件：
S(x j ) y j , j 0,1,, n
lim
xx j
S(x)
S(xj
)
yj
,
j
1,, n
1
lim
xx j
S ( x)
S ( x j
)
mj
,
j
(
yi1
yi
)
6x
2xi hi2
4 xi 1
mi
6x
4xi hi2
2 xi 1
mi1
lim S(x)
x xi
S ( xi
0)
6 hi2
( yi1
yi )
4 hi
mi
2 hi
mi 1
lim
x xi
S ( x)
S ( xi
0)
6 h2
i 1
( yi
yi 1 )
2 hi1
mi1
4 hi1
mi
14
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
S(xi 0) S(xi 0),i 1, 2, , n 1
1
1
hi1 mi1 2( hi1
1
hi
)mi
1
hi
mi1
3(
yi
1 hi2
yi
yi
yi h2
i 1
1
)
整理化简后得：
hi hi1
hi
mi1
2mi
hi1 hi1 hi
mi1
i 1,, n 1
Sk(x)
M k1 hk
Mk
(x xk ) Mk
,
x [xk , xk1]
hk xk1 xk (k 0,1, , n 1)
思考:(1)的原因?
30
(2)
y’ 1
0
9
样条函数的例子
(11x3 26x2 15x) 15
0 x 1
S ( x)
(3x
3
16x2
27x 14)
15
1 x 2