吉林省中考数学真题试题(120分卷,含解析)

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精品解析：2023年吉林省中考数学真题(解析版)

吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（） A. +150C ° B. 150C −°C. +276C °D. 276C −°【答案】B 【解析】【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C −°，故选：B ．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高，故选A ．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3. 下列算式中，结果等于5a 的是（） A. 23a a + B. 23a a ⋅C. 23()aD. 102a a ÷【答案】B 【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ×=，不符合题意；D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a −=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 4. 一元二次方程2520x x −+=根的判别式的值是（） A. 33 B. 23 C. 17D.【答案】C 【解析】24b ac =−△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b −，2c =， ∴()224541172b ac =−=−××−= ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5. 如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AEAC的值是（）的A.25B.12C.35D.23【答案】A 【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE ADAC AB=，即可求解．【详解】解：∵ABC 中，DE BC ∥， ∴AE ADAC AB=， ∵23AD BD ==， ∴22235AE AD ACAD BD ===++，故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．6. 如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=°，则BPC ∠的度数可能是（）A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°【答案】D 【解析】【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=∠=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，70BAC ∠=°， ∴2140BOC BAC ∠=∠=°， ∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥°， ∴BPC ∠的度数可能是155° 故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. .．【解析】【分析】根据负数绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：|．8. 不等式480x −>的解集为__________．【答案】2x > 【解析】【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：480x −>48x >解得：2x >，故答案为：2x >．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 9. 计算：(3)a b +=_________．【答案】3ab a + 【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．【详解】解：(3)3a b ab a +=+．故答案为：3ab a +．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键． 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性【解析】的【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 11. 如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC ∠°，则BAE ∠的大小为__________度．【答案】55 【解析】【分析】首先根据题意得到AD 是BAC ∠角平分线，进而得到1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°．【详解】∵由作图可得，AD 是BAC ∠的角平分线∴1552BAE CAE BAC ∠=∠=∠=°．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．【答案】54573x x +=+ 【解析】【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，根据题意列方程54573x x +=+；故答案为：54573x x +=+．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．的13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=°，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）【答案】10π 【解析】分析】利用弧长公式π180n rl =直接计算即可．【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB ∠=°， ∴ AB120π1510π180××=，故答案为：10π．【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n rl =，并规范计算是解题的关键． 14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC ∠=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．若点B ′刚好落在边AC 上，303CB E CE ′∠=°=，，则BC 的长为__________．【答案】9 【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ′===，即可求解．【详解】解：∵将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．点B ′刚好落在边AC 上，在Rt ABC△中，90C BC AC ∠=°<，，303CB E CE ′∠=°=，， ∴26B E BE CE ′===，∴369BC CE BE =+=+=，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【三、解答题（每小题5分，共20分）15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】M a =，11a −，99100，过程见解析【解析】【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可．【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴()()2111M a a a a a M a a ⋅==+++， ∴M a =，原式()()2111a a a a a −++()211a a a −=+ ()()()111a a a a +−=+1a a −=11a=−，当100a =时，原式1991100100=−=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．【答案】13【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P==．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠= ∠=∠∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【解析】【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y += +=，解得700300x y == ，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解析【解析】【分析】根据勾股定理可得AB = 【详解】解：如图所示，如图①，AC AB ===，则ABC 是等腰三角形，且ABC 是锐角三角形，如图②，AD AB ===，BD ==，则222AD AB BD +=，则ABD △是等腰直角三角形，如图③，AE AB ===ABE 是等腰三角形，且ABE 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长λ与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f （MHz ） 10 15 50 波长λ（m ） 30206（1）求波长λ关于频率f 的函数解析式．（2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长λ．【答案】（1）300fλ=；（2）4m 【解析】【分析】（1）设解析式为kfλ=()0k ≠，用待定系数法求解即可；（2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．【小问1详解】解：设波长λ关于频率f 的函数解析式为kfλ=()0k ≠，把点()10,30代入上式中得：3010k=，解得：300k =，300fλ∴=；【小问2详解】解：当75MHz f =时，300475λ==，答：当75MHz f =时，此电磁波的波长λ为4m ．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．α=________．1.54m AB =．请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．【答案】40°，9.9m CD = 【解析】【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得α的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为50°， ∴905040α=°−°=°，∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，CE AE ⊥， ∴90ABD EDB AED ∠=∠=∠=°，∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54m ED AB ==在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE α==， ∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=≈．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．22. 为了解20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：-=100%×本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．（2）20182022−年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（）②如果将20182022−年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022−年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（）【答案】（1）161.3 （2）3877.9 （3）①×；②√ 【解析】【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，作差即可求解．（2）根据中位数的定义，即可求解．（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高； ②根据中位数的定义可得3877.94039.23877.92b +>，即可求解．【小问1详解】解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3−=（万吨）；故答案为：161.3．【小问2详解】将20182022−年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8； ∴20182022−年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨故答案为：3877.9．【小问3详解】①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高．故答案为：×．②依题意，3877.9a =，3877.94039.23877.92b +>∴b a >，故答案为：√．【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】（1）30 （2）()312060y x x =+30<≤ （3）10天【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，603030−=（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，将()30,210和()60,300两个点代入，可得2103030060k b k b =+=+ ，解得3120k b = =，∴()312060y x x =+30<≤ 【小问3详解】解：甲组每天挖30021036030−=−（千米）甲乙合作每天挖210730=（千米） ∴乙组每天挖734−=（千米），乙组挖掘的总长度为304120×=（千米）设乙组己停工的天数为a ，则()330120a +=，解得10a =，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC ≤），其中AB EF =，B FEH ∠=∠EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG ∠=（EFG ∠为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8 【解析】【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ⊥于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥， ∴四边形EFMN 是平行四边形， ∵B FEH ∠=∠， ∴NE AB ∥，又AN BE ∥，∴四边形ABEN 是平行四边形， ∴EF AB NE ==，∴平行四边形EFMN 是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移， ∴MD GP ∥，PD MG ∥，∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形， ∵MD MG =，∴四边形PGMD 是菱形， ∵四边形EFMN 是菱形， ∴四边形ECPH 是菱形， ∵四边形ECPH 的周长为40， ∴10FH GF ==，作GQ BC ⊥于Q ， ∵4sin 5EFG ∠=， ∴45GQ GF =， ∴8GQ =，∴四边形ECPH 的面积为10880×=．故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD −向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB −于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】（1）()4x −；x（2）()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤ （3）43x =或83x = 【解析】【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，24x <≤两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【小问1详解】解：依题意，1AP x x =×=()cm ，则()4PB AB AP x cm =−=−， ∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB DCB ∠=∠=°∥， ∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴,OM OPOQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形， ∴MQ PN =，MQ NP ∥，∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠， ∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠∠=∠ =， ∴ANP CQM ≌，∴()cm MCAP x == 故答案为：()4x −；x ．【小问2详解】解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =−==，42QC x =−，则222MCQ BPQ y AB S S =−− ()()164242x x x x =−−×−−241216x x =−+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==−=−，()244PN AP AN x x x =−=−−=−+，∴()44416y x x =−+×=−+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤；【小问3详解】依题意，①当四边形PQMN 是矩形时，此时PB QB = 即42x x −= 解得：43x =，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，∴()()()22224242x x x x −+=+−，解得：0x =（舍去）； ②如图所示，当PB CQ =时，424x x −−，解得83x =，当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x −+=，解得：0x =（舍去），综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83x =．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =−++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．【答案】（1）221y x x =−++（2）12m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8（4）13m =或54m = 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m −=建立方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y xx c =−++经过点(0,1)A ． ∴1c =∴抛物线解析式为221y x x =−++；【小问2详解】解：∵221y x x =−++()212x =−−+，顶点坐标为()1,2，∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m∴21m =，解得：12m =；【小问3详解】①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，22Qx m ==， ∴1m =，则212112−+×+=，222211−+×+=， ∴()1,2P ，Q ()2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211−=；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，∴2P x m ==，24Qx m == 则242417−+×+=−∴()2,1P ，()4,7Q −；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178−−=；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；【小问4详解】①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，则021m << ∴102m << ∵()2,21P m m m −++，()()()22,2221Q m m m −++即()22,441Q m m m −++ ∴()21211P A h y y m m =−=−++−22m m =−+； 222441144Q A h y y m m m m =−=−++−=−+∵21h h m −=∴22442m m m m m −++−= 解得：13m =或0m =（舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ≥≤，，即112m ≤≤，则2122,211h m m h =−+=−=， ∴212m m m +−=，解得：m =； ③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，1211h =−=，()2222441441h m m m m =−−++=−+∴24411m m m −+−= 解得：54m =或0m =（舍去）； ④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ≥，，()22122121h m m m m =−−++=−+，()2222441441h m m m m =−−++=−+，()2244121m m m m m ∴−+−−+=解得：1m =（舍去）或0m =（舍去）综上所述，13m =或54m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2020年吉林省长春市中考数学试卷(含解析)

12．正五边形的一个外角的大小为度．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝ AB，则k的值为．
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是（）
A．∠BDN＝∠CDNB．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCBD．2∠B+∠ACD＝90°
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，
∴△PCD∽△ACB，
∴ ，
∵AP＝2PC，
∴ ，
∴PD＝，CD＝1﹣ c，
∴OD＝OC+CD＝1+ c，
∴P（1+ c，），
把P（1+ c，）代入函数y＝（x＞0）中，得
k＝ c，
∵0≤c≤3
∴ ，

2022年吉林省中考数学试题及参考答案

一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1.吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）
A B. C. D.
2.要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）
A.+B.-C.×D.÷
3. 与2 差不大于0，用不等式表示为（）
（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．
证明：∵
（2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．
证明：过点作，垂足，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
由【探究】（1）可知，
∴ ．
（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为．
A.2B.3C.4D.5
二、填空题（每小题3分，共24分）
7.实数的相反数是__________．
8.计算： =____．
9.篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要__________元．（用含的代数式表示）
10.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
吉林省2022年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）

2020年吉林省中考数学试题及参考答案(word解析版)

吉林省2020年初中毕业生学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间为120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×1083．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．8．不等式3x+1＞7的解集为．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．第12题图第13题图第14题图三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 4 6 37 8 5表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 2 1 3 3 1表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 6 5 26 13 10根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P 作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案与解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【知识考点】相反数．【思路分析】根据相反数的定义，即可解答．【解题过程】解：﹣6的相反数是6，故选：A．【总结归纳】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：11090000＝1.109×107，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解题过程】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从左边看得到的图形是左视图．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【知识考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解题过程】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【知识考点】三角形的外角性质．【思路分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解题过程】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．【总结归纳】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【知识考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质．【思路分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．【解题过程】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接把公因式a提出来即可．【解题过程】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【总结归纳】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．8．不等式3x+1＞7的解集为．【知识考点】解一元一次不等式．【思路分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．【解题过程】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．【总结归纳】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．【知识考点】根的判别式．【思路分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．【解题过程】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程．【思路分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间＝慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解题过程】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．【知识考点】垂线段最短．【思路分析】根据垂线段的性质解答即可．【解题过程】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【总结归纳】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．【知识考点】平行线分线段成比例．【思路分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．【解题过程】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．【总结归纳】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE 的面积为．【知识考点】三角形的面积；三角形中位线定理．【思路分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．【解题过程】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【知识考点】全等三角形的判定与性质；弧长的计算．【思路分析】利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，即可求得∠ABC＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO＝CO，进一步求得∠ACB＝60°，即可求得∠BCD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．【解题过程】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．【总结归纳】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．【解题过程】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝3a．当a＝时，原式＝3．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．【总结归纳】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据时间＝总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解题过程】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC．【解题过程】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．【总结归纳】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【知识考点】作图﹣轴对称变换．【思路分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称；（3）根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．【解题过程】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．【总结归纳】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD 测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】设AB与DE交于点F．在Rt△ADF中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．【解题过程】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B 的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．【解题过程】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 4 6 37 8 5表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 2 1 3 3 1表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 6 5 26 13 10根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【知识考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；统计表．【思路分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行；（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．【解题过程】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．【总结归纳】本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据（2）中的函数解析式，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．【解题过程】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析式为y＝kx，10k＝30，得k＝3，即当0≤x≤10时，y关于x的函数解析式为y＝3x，当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即当10＜x≤60时，y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35，由上可得，y关于x的函数解析式为y＝；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．【总结归纳】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】【探究】先由平行四边形的性质得AE∥GF，DC∥AB，进而得四边形AGHD是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD是菱形；【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD和平行四边形AEFG的周长和，由此求得结果便可；【操作二】证明△AMD≌△AMG得∠AMD＝∠AMG＝90°，解Rt△ADM得DM，再证明四边形DCFG为矩形，由矩形面积公式求得结果．【解题过程】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝，∴DG＝，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，。

2020年吉林省中考数学试题及参考答案(word解析版)

2024年吉林省中考数学真题(解析版)

吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2B.1C.0D.1-【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==，故本选项不符合题意．故选：B ．5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．【答案】a （a ﹣3）【解析】【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．【答案】23x <<##32x >>【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．【答案】两点之间，线段最短【解析】【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11.正六边形的每个内角等于______________°．【答案】120【解析】【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．【答案】()22220.5x x +=+【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．【答案】11π【解析】【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360Sππ-==阴影，故答案为：11π．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =【答案】22a ，6【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当a =原式22=⨯6=．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．【答案】13【解析】【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【解析】【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．（2）在图②中，画出经过点E的O【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；、，作直线GH，则直线GH即为所求．（2）如图所示，取格点G H【小问1详解】解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD【小问2详解】、，作直线GH，则直线GH即为所求；解：如图所示，取格点G H．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R 的取值范围）．（2）当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】（1）36I R=（2）12A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R =≠，把()94，代入()0U I U R =≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；【小问2详解】解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21.中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（1）20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全②20192023国居民人均可支配收入最低．【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【小问1详解】-=元，解：39218307338485-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．答：20192023【小问2详解】-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，解：2019202339218元，-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；∴20192023【小问3详解】-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；解：由统计图可知20192023由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）【答案】218.3m【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DGAG DG EAD ===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DGAG DG EAD ===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】y，小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为mm记录如下：x16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+（2）36mm【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【小问1详解】，解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；【小问2详解】解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABCS = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．【答案】（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A出发，以/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时，求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）等腰三角形，AQ t=（2）32t =（3）()22233,0427393633,242231,242S t t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【解析】【分析】（1）过点Q 作QH AD ⊥于点H ，根据“平行线+角平分线”即可得到QA QP =，由QH AP ⊥，得到1322HA AP ==，解Rt AHQ △得到AQ t =；（2）由PQE V 为等边三角形得到QE QP =，而QA QP =，则QE QA =，故223AE AQ t ===，解得32t =；（3）当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，1322PG AP ==，则21324S QE PG t =⋅=，此时302t <≤；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，此时)tan 323CF CE E t =⋅∠=-，因此()2132322FCE S CE CF t =⋅=- ，故可得27393342PQE FCE S S S t t =-=-+-△△，此时322t <<；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，此时323PD t =-，()3331PC CD PD t t =+=-=-，解直角三角形得31tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，故()213122S QC PC t =⋅=-，此时24t ≤<，再综上即可求解．【小问1详解】解：过点Q 作QH AD ⊥于点H ，由题意得：3AP t =∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=︒，∴PAQ APQ =∠∠，∴QA QP =，∴APQ △为等腰三角形，∵QH AP ⊥，∴1322HA AP ==，∴在Rt AHQ △中，cos AH AQ t PAQ ==∠；【小问2详解】解：如图，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =，∴QE QA =，即223AE AQ t ===，∴32t =；【小问3详解】解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==，∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ t ===，∴21324S QE PG t =⋅=，由（2）知当点E 与点C 重合时，32t =，∴233042S t t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图，∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而23CE AE AC t =-=-，∴)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，∴())()211232323222FCE S CE CF t t t =⋅=--=- ，∴()22223424PQE FCE S S S t t t =-=--=-+- ，当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中，cos AC AD AP DAC ====∠，∴2t =，∴2733242S t ⎫=-+-<<⎪⎭；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图，∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒，由上知DC =，∴AD =∴此时PD -，∴)1PC CD PD t =+=-=-，∵PQE V 是等边三角形，∴60PQE ∠=︒，∴31tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，∴()21122S QC PC t =⋅=-，∵30B BAD ∠=∠=︒，∴DA DB ==，∴当点P 与点BAD DB =+=解得：4t =，∴()()21242S t t =-≤<，综上所述：()22233,042324231,242S t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．26.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．（1）直接写出k ，a ，b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1,1,2k a b ===-（2）Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x 值的范围，确定好之后将x ，y 的值代入所给的y 关于x 的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+，当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，故1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，故0x ≤时，y 随着x 的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，考虑两个临界状态，当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，因此当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，11y =，故当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，因此当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即方程230ax bx t ++-=无解；Ⅲ：可求点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，2y =最小值，当0x =时，3y =最大值，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，故①当12m >，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，则12m ≤≤；②当12m <，由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【小问1详解】解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解；Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，∴()1122m m +-+=，∴点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，1232y =-+=最小值，当0x =时，3y =最大值，∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。

吉林省中考数学试题含答案

吉林省中考数学试题含答案2024年吉林省中考数学试题及答案一、选择题1、在下列四个数中，数值最大的是（）。

A. π B. 2π C. 3π D. 4π2、若方程 x² + mx + 2 = 0 的两个实数根分别为 x1 和 x2 ，且 x1³ + x2³ = 7，则 m 的值为（）。

A. -1 B. 1 C. -2 D. 23、等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 在边 AB 上，且∠ADC = 120°，则 AD 的长为（）。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 54、若点 P 在直线 y = x 上，且到原点的距离为√5，则 P 点的坐标为（）。

A. (2,2) B. (-2,-2) C. (2,2)或(-2,-2) D. (1,1)或(-1,-1)二、填空题5、已知实数 a，b，c 满足 a² + b² = c²，且 a > b > c，则 |a|+|b|-|c| 的值为________。

51、在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 5，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为________。

511、若 x + y = 5，则 (x² + y²) / 5 的值为________。

三、解答题8、已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 A(0,3)，且对称轴为 x = -2，点 B 在抛物线上。

若 AB = 4√5，求点 B 的坐标。

81、在四边形 ABCD 中，∠A = 90°，∠B = 60°，AD = AB = 4，CD = 3。

求四边形 ABCD 的面积。

811、求根号下 (4 - sin²80°) 的值。

四、附加题11、在平面直角坐标系中，O 为原点，A(-3,0)，B(0,4)，C(3,0)，D 为第一象限内一点，且∠DAO + ∠DCO = α，求 tanα的值。

2020年吉林省长春中考数学试卷附答案解析版

卷
在 AB 上．求证：四边形 AEAD 是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的 △ADE 为等腰三角形．现将图①中的点 A 沿 DC 向右平移至点 Q 处（点 Q 在点 C 的左侧），如图②，折痕为
PF ，点 F 在 DC 上，点 P 在 AB 上，那么 △PQF 还是等腰三角形吗？上
此
卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为 A1 、 A2 ，图案为“保
卫和平”的卡片记为 B ）
卷
上
（第 16 题）
17.（6 分）图①、图②、图③均是 3 3的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个
小正方形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定
答
根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．
数学试卷第 7 页（共 10 页）
（第 21 题）数学试卷第 8 页（共 10 页）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
19.（7 分）如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 、BD 的交点，BE⊥AC ，DF⊥AC ，垂足分别为点 E 、 F ．（1）求证： OE OF ．（2）若 BE 5 ， OF 2 ，求 tanOBE 的值．
（第 19 题）
数学试卷第 6 页（共 10 页）
20.（7 分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从 2014 年到 2019 年的空气质量级别天数的统计图表． 2014-2019 年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数年份

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吉林省中考数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）（2015•吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A． + B．﹣ C．× D．÷2．（2分）（2015•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（）A．（a+b）元 B． 3（a+b）元 C．（3a+b）元 D．（a+3b）元3．（2分）（2015•吉林）下列计算正确的是（）A． 3a﹣2a=a B．2a•3a=6a C． a2•a3=a6 D．（3a）2=6a24．（2分）（2015•吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（）A． B． C． D．5．（2分）（2015•吉林）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．20° B．35° C．40° D．70°6．（2分）（2015•吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．（3分）（2015•吉林）不等式3+2x＞5的解集是．8．（3分）（2015•吉林）计算：•= ．9．（3分）（2015•吉林）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．10．（3分）（2015•吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是．11．（3分）（2015•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为cm．12．（3分）（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．13．（3分）（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为m．14．（3分）（2015•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC 绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．三、解答题（每小题5分，满分20分）15．（5分）（2015•吉林）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x=．16．（5分）（2015•吉林）根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．17．（5分）（2015•吉林）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．18．（5分）（2015•吉林）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2015•吉林）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．20．（7分）（2015•吉林）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差s甲2，s乙2哪个大；（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选参赛更合适．21．（7分）（2015•吉林）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）22．（7分）（2015•吉林）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y （单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；（2）直接写出每分进水，出水各多少升．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2015•吉林）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C 作y轴的平行线，与反比例函数y=（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．26．（10分）（2015•吉林）如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣1，n=4时，k= ，b= ；当m=﹣2，n=3时，k= ，b= ；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）（2015•吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A． + B．﹣ C．× D．÷考点：有理数的减法；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法．分析：根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．解答：解：∵0﹣1=﹣1，∴□内的运算符号为﹣．故选B．点评：本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．2．（2分）（2015•吉林）购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（）A．（a+b）元 B． 3（a+b）元 C．（3a+b）元 D．（a+3b）元考点：列代数式．分析：求用买1个面包和2瓶饮料所用的钱数，用1个面包的总价+三瓶饮料的单价即可．解答：解：买1个面包和3瓶饮料所用的钱数：a+3b元；故选D．点评：此题考查列代数式，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．3．（2分）（2015•吉林）下列计算正确的是（）A． 3a﹣2a=a B．2a•3a=6a C． a2•a3=a6 D．（3a）2=6a2考点：单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，即可解答．解答：解：A、正确；B、2a•3a=6a2，故错误；C、a2•a3=a5，故错误；D、（3a）2=9a2，故错误；故选：A．点评：本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，解决本题的关键是熟记合并同类项，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方的法则．4．（2分）（2015•吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（）A． B． C． D．考点：几何体的展开图．分析：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．解答：解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是．故选：B．点评：考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．5．（2分）（2015•吉林）如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．20° B．35° C．40° D．70°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：先根据平行线的性质求出∠ACD的度数，再由A D=CD得出∠DAC的度数，由三角形内角和定理即可得出∠2的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠1=70°．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=70°，∴∠2=180°﹣∠DAC﹣∠ACD=180°﹣70°﹣70°=40°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．6．（2分）（2015•吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°考点：切线的性质．分析：根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．解答：解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=40°，∴∠AOC=80°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）7．（3分）（2015•吉林）不等式3+2x＞5的解集是x＞1 ．考点：解一元一次不等式．分析：根据解不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化1，得出即可．解答：解：移项，得：2x＞5﹣3，即2x＞2，系数化1，得：x＞1．不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：此题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8．（3分）（2015•吉林）计算：•= x+y ．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式变形后，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=x+y．故答案为：x+y．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（3分）（2015•吉林）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是0 （写出一个即可）．考点：根的判别式．专题：开放型．分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．10．（3分）（2015•吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是对顶角相等．考点：对顶角、邻补角．专题：应用题．分析：由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．解答：解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．故答案为：对顶角相等．点评：本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．11．（3分）（2015•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为6 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据矩形的性质和折叠的性质，由C′E⊥AD，可得四边形ABEG和四边形C′D′FG 是矩形，根据矩形的性质可得EG和FG的长，再根据勾股定理可得EF的长．解答：解：如图所示：∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处，C′E⊥AD，∴四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，∴EG=FG=AB=6cm，∴在Rt△EGF中，EF==6cm．故答案为：6cm．点评：考查了翻折变换（折叠问题），矩形的判定和性质，勾股定理，根据关键是得到EG 和FG的长．12．（3分）（2015•吉林）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为（4，4）．考点：菱形的性质；坐标与图形性质．分析：连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．解答：解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD=2，BD=8，∴AE=OD=2，DE=4，∴AC=4，∴点C的坐标为：（4，4）；故答案为：（4，4）．点评：本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（3分）（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为12 m．考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵BE=1.5，AB=2，BC=14，∴AC=16，∴=，∴CD=12．故答案为：12．点评：本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．14．（3分）（2015•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC 绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42 cm．考点：旋转的性质．分析：根据将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，可得△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，BD=BC=12cm，从而得到△BCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，利用勾股定理得到AB=13，所以△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD，即可解答．解答：解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．点评：本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边．三、解答题（每小题5分，满分20分）15．（5分）（2015•吉林）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x=．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=x2﹣9+2x2+8=3x2﹣1，当x=时，原式=6﹣1=5．点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）（2015•吉林）根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．考点：二元一次方程组的应用．分析：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym，根据长颈鹿的高度比梅花鹿的3倍还多1和梅花鹿的高度加上4正好等于长颈鹿的高度，列出方程组，求解即可．解答：解：设梅花鹿的高度是xm，长颈鹿的高度是ym，根据题意得：，解得：，答：梅花鹿的高度是1.5m，长颈鹿的高度是5.5m．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．17．（5分）（2015•吉林）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的2个小球上的数字之和为6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有6种情况，取出的2个小球上的数字之和为6的有2种情况，∴取出的2个小球上的数字之和为6的概率为：=．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．（5分）（2015•吉林）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得∠AEB=∠GFD=90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB=DC，所以有DG=DC．解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∵AE⊥BC，FG⊥CD，∴∠AEB=∠GFD=90°，在△AEB和△GFD中，，∴△AEB≌△GFD，∴AB=DC，∴DG=DC．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平行四边形的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2015•吉林）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．考点：作图—应用与设计作图．分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．解答：解：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：；（3）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．．点评：本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．20．（7分）（2015•吉林）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差s甲2，s乙2哪个大；（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．考点：方差；折线统计图；算术平均数．分析：（1）根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案；（2）根据图形波动的大小可直接得出答案；（3）根据射击成绩都在7环左右的多少可得出甲参赛更合适；根据射击成绩都在9环左右的多少可得出乙参赛更合适．解答：解：（1）乙的平均成绩是：（8+9+8+8+7+8+9+8+8+7）÷10=8（环）；（2）根据图象可知：甲的波动小于乙的波动，则s甲2＞s乙2；（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．故答案为：乙，甲．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．21．（7分）（2015•吉林）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33，=1.41）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA•sin∠PAC=80，再解Rt△PBC，得出PB=PC=1.41×80≈113；（2）由∠CBP=45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B 处约113海里．解答：解：（1）如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA=100，∠PAC=53°，∴PC=PA•sin∠PAC=100×0.80=80，在Rt△PBC中，∵PC=80，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=PC=1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；（2）∵∠CBP=45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（7分）（2015•吉林）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y （单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；（2）直接写出每分进水，出水各多少升．考点：一次函数的应用．分析：（1）用待定系数法求对应的函数关系式；（2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解．解答：解：（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴y=x+15 （4≤x≤12）；（2）根据图象，每分钟进水20÷4=5升，设每分钟出水m升，则5×8﹣8m=30﹣20，解得：m=．故每分钟进水、出水各是5升、升．点评：此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2015•吉林）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C 作y轴的平行线，与反比例函数y=（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可．解答：解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），∴设直线AE的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+2，∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a=﹣3+2=﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y=（0＜k＜15）的图象经过点D，∴k=﹣3×（﹣1）=3；（2）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影=4×3=12．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是能够确定点D的坐标，难度不大．24．（8分）（2015•吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？考点：圆的综合题．分析：（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．解答：（1）S扇环=（l1﹣l2）h，证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=，得R=，r=所以图中扇环的面积S=×l1×R﹣×l2×r=l1•﹣l2•=（l12﹣l22）=（l1+l2）（l1﹣l2）=••（R﹣r）（l1﹣l2）=（l1﹣l2）（R﹣r）=（l1+l2）h，故猜想正确．（2）解：根据题意得：l1+l2=40﹣2h，则S扇环=（l1+l2）h=（40﹣2h）h=﹣h2+20h=﹣（h﹣10）2+100∵﹣1＜0，∴开口向下，有最大值，当h=10时，最大值是100，即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．点评：本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，二次函数的顶点式的应用，能猜想出正确结论是解此题的关键，有一定的难度．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2015•吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE 方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= 15 cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可得GE的长，根据矩形的性质，可得答案；（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．解答：解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得BC==6．在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为：15；（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2②当6≤x＜12时，如图3所示．，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．。