优质金卷：江苏省南师附中等四校2018届高三下学期期初联考数学试题(解析版)

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南京师大附中2018期初数学调研测试卷(四校联考解析版)

南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________．【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =．答案：3 2.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________．【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-．答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值．【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =，满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =，满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =，此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =．故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=，所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15．答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________．【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==．答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2-由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=． ∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++．答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =________．【答案】22n n+ 【解析】由39S =，15225S =，得11323921514152252a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，可得()221111,2,2,,222n n n n n S n n n a d S n n n B n n -++===+⨯=⇒=∴=⨯=，故答案为22n n+. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________．【答案】16令224x ym-=，得2y x=±，故双曲线的渐近线方程为y x=．1()12-=-，解得16m=．答案：169.8，则其体积为________．【解析】设四棱锥斜高为,h'底面边长为,a因为正四棱锥的高为，正四棱锥的侧面积为8，所以22'2121122,=233334aha h V shah⎧=⎪⎪⇒===⨯=⎨+=⎩'⎪⎪'，故答案为310.设()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R∈．若()()55f f-=，则()2f a的值是________．【答案】1【解析】因为()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f-=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f-+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x=+-+在[]1,1-上单调递减，则a的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥，解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞．故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线，所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，(22,),(22,2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得512OM =-=，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则(22,1)N a +，且||2CD =．∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>，整理得2(1)1a +>，解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++，以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立．所以所求的最小值为6．答案：6二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．【答案】（1）3Aπ=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V 的面积为3，可得 4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=. ∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V 的面积为3，∴13sin 32bc A bc ==，∴4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别为,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点，所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点，所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，故PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=，因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米，矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米，由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，故阴影部分面积为8004800200033π-平方米．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==，所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'，令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v 建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程．试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=， 22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-，又4N x ，=2224643M N k MN x k k +∴=-==+，又M AAM x=-==，52AM MN=Q，=Q解得1k=或14k=．∴直线AM的方程为2y x=+或1142y x=+．19.已知函数()ln,(),f x x axg x ex a R=-=∈（e是自然对数的底数）（1）若直线y ex=为曲线()y f x=的一条切线，求实数a的值；（2）若函数()()y f x g x=-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e=⋅∈，若()H x在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a的取值范围.【答案】（1）1ee-；（2）(,][1,)e e-∞-⋃-+∞；（3）10ae<<或112ae<<.【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a的范围．（3）由题意得()2lnlnxH x x ax ex ex ax=-⋅=-，令()[]ln,1,xt x a x ex=-∈，然后对实数a的取值进行分类讨论，并根据()t x的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x的单调性，进而得到函数()H x有极值时实数a的取值范围．试题解析：（1）设切点()00,P x y，则()0000000ln,,lny x ax y ex x a e x=-==+（*）又()1,f x ax='-()1,f x a ex∴=-='1xa e∴=+，代入（*）得0ln1,x=0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>，当()h x 单调递增时，则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立，又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时，则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时，()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<，又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立．试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”，则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-，两式相减得：212n n a a ++=，又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数），故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立．所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=-，所以132n n S a ++=-，故有，132n n n a a a +++=-，又1n =时，132a a =-，故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ，所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++，两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，显然21,02nn n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．21.如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G ．求证：（1）∠BAC ＋∠EGF ＝1800；（2）∠EAG ＝∠EFG ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ，同理∠FGH ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800；2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG . 试题解析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ，同理∠FGH ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800；（2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG ．22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值=3λ所对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u v .（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线'C 的方程为2xy =，求曲线C 的方程．【答案】（1）见解析；（2）2632x xy += 【解析】试题分析：（1）可以利用矩阵特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论. 试题解析：（1）依题意,得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即31333a b -=-⎧⎨-=⎩ 1333a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线2xy =上一点，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'，即，2x y ''=Q ，()2)32x y x +=（整理得，曲线的方程为2632x xy +=23.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线2cos :3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)相交于两点,A B ，求,A B 两点的距离．【答案】AB ＝13．【解析】试题分析：利用平方法消去曲线2:3x cos C y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的参数可得曲线C 的普通方程，利用代入法消去曲线22:3x t l y t=-+⎧⎨=⎩的参数可得到线l 的普通方程，两普通方程联立可得交点坐标，利用两点间距离公式可得结果.试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=曲线l 的普通方程为332y x =-+，两方程联立得2320x x -+= 122,1x x ==，()32,0,1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭AB ＝．24.D ．（不等式选讲）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥.【答案】见解析【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=- 试题解析：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=-，所以2212232x y x xy y+≥+-+．考点：均值不等式25.如图，已知长方体1111ABCD A B C D - ，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o ，AE 垂直BD 于点E ，F 为11A B 的中点.（1）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段11C D 上是否存在点P ,使得二面角F BD P --余弦值为35？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由. 【答案】（125；（2）存在点P ，为11C D 的中点. 【解析】试题分析：（1）先利用直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o，求得1AE =, 以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，求出直线AE 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面BDF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则2322P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求出面BDP 的一个法向量，利用（1）中平面BDF 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：由11AD AA B B ⊥面, 得 BD 与面11AA B B 所成角为030DBA ∠=，2,3AB AD =∴=,由1AE BD AE ⊥⇒=,（1）以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12AE u u uv ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =v(),1,0,1,BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u uv()200x y n x z ⎧-=⎪⇒=⎨⎪-+=⎩v13cos ,AE n +∴==u u u v v 答：AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设面BDP 的一个法向量为()1,,n x y z =v，2,3BP u u u v λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()1202220x y n x y z λλ⎧-=⎪⎪⇒=-⎨⎪-+=⎪⎩u v13cos ,5n n ∴===u vv化简得211342813022λλλλ-+=⇒==或 1012λλ<<∴=Q答：存在点P ，为11C D 的中点.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角与二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.26.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-．【解析】试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论．试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21nnn kpn k-⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题(含详细解答)

｛冷｝的前科项和，则总二 A 2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题I 必做題部分注慮事项苇生在答蠅前请认莫闻爆本注盘爭琨恳备題答越宴求1. 本试卷扶4頁包含战宅蛊£弟1理一第“題）、解浮題f 第沽題一第20題）.事卷满分 160分*考试时间为no 分钟.考试站虑后谥将裁鬆卡交冋.2. 答廳前诸您的必将自己的姓".廉专吒号用03亳能朋色團水的签宁笔壇斗在试雄戾答昭 I ：的规址位賈一乱请在答题卡卜战照脚存存对晦的袴題区域内作欝.衣共他位置作菩一律尤效.作答愛薇用 0.5老贰/色眾水的徒了遼.请注盘字怵工整乜址消建・4. 如盂杵：圈锁用2BM 笔绘.写仙楚线峯、符号弊锁加黑、加UL5. 请保持裁題卜左面時洁不輕折«. tt-tn ，押不准使川般带紙、髀止液、叮擦洗的岡珠笔. 躊考金式植那的徉积食“十討八氏中为3施邯的底面积”"为植协的向.、埴宁題；羸大題共M 小4T 每•卜趣F 分”共刑分.请把茬案塡吁在警趣卡相应位总上.1.已A = ｛1^｝, B = ｛13）,且/口左=｛3｝,刚实数应的值是 ______________ A Z 已如^7 = — ,其中f 是虚樹单位』贝虹餉丈邹是▲ •-1 — i 3. 根据如匱餅示的伪代與，可知输出的结異£为鱼 •.门二2I 5^0! While U1+2；End whileI Print 5;Jiod4. 如图所环，二面旦销害店根播以往某种面色的銷售记弧，绘制“日销匡里的頻率井布直方图•若 —个月以迫天计算，估计这冢面迈店一个月内日销WslOO 个到20D 个的天数为企一5. 有一个质地均匀的正四面体木块电于面分别标有数字1,乙鼻眼椅此木抉在水平桌面二抽两次，则两女看卞到前数宇部大于2的概車为 ▲ . *b.已 Mlzn 二亠H 二」：测 bill - d co J '肖力 ▲ •・化设数列｛务｝为等差数列』»列数列｛乐｝的前理呗和，已^3. =9,= 225 f 色為数別5.〔第3强圏）*8. 在平面直角坐标系xO）中，双曲^C:—-£--l（m>0）的一条渐近线弓直^x + 2j-l = 0垂直，则实數加的值为▲• “9. 高为的正四棱推的侧直积为8,则其体枳为▲• ♦10・谖/（刘是定义在R上且周朗为4的羽数’在区间（一2,2］上，貝函繳解祈式是< 、x十a -2 <x<0 / 、/ 、,、/«=<!!_ .，亘口处八若几-沪用）'则门加）的色定一▲・211. 已純函数/（x） = x'+ax'-a‘丫+ 1在［-1,1］上电调递屜，则a的取 <值范围是▲•・，12. 如图,在匹边形-15CD中,-4B = CD = 1,点3A N分别是边.4D.BC的中点，延长B4和CD交的延长线于不同的两点P.Q ,则“-迈的值为▲・213•已知圆O：A2 +>2=5 ,儿刀为圆O丄的两个动点，且AB^2；M为弦曲的中点，CQ逅CQQ 辰 2）・当儿〃存是O上运或盯.始终有ZCVD79锐吊，则实数"的取值范團九▲・门14•已純d>lb>2,则=的最小伯為▲茜一1 +J沪一 4二、解答題：木人題共6小題，共90分・诸仗答題卡指宦区域内作答.解答时应写出文了• ••••••说明、证明过稈或演氮步骤.■■■ ■ ■ ■ ■15.（本小題满分14分〉卩在△‘IBC 中，A.B.C的对边分别为a.b.c .已知acosS + bcosA = 2ccosC ・ a（1）求角C的大小；2（2）若c = 2bQC的直积为JJ ,求443C的周长.卩16.（本小題満分丄4分〉卩如图，在三棱锥P—ABC中，ZABC = 90^, PA = PC f^面PXC丄平面ABC , D,E分别为AC.B C中点•卩（1）求证：DE"平面P4B —（2）求证：平面P3C丄平面PDE.17.(木小題满分14分)如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD, AB = 120米八4D = 80米，以.Q/C 为直径的半圆O和半圆Q (半圆在矩形肋CD內部)为两个半圆形水上主题乐园，3C.CD.DA都建有围埴，游吝只能从结段曲处进出该王题乐园.力了逬一步提高经济效益，水上乐园菅埋部门决走沿看AE .侖修建不锈钢护栏，沿看线段Ef■修建该主进乐园大门并设贸檢票口，其中E：尸分别为百•炭上的动為EF7AB ,且线段EF与线段曲在园心O：和Q逹线的同测.已知弧线却分口修建费用为200元/米，直绒却分的平均修建費用为400元/米・a(1) 若EF=80米，则检票等候区域(图中匪影部分)面积为多少平方米？a(2) 试确走点£的位蚩，使得修建费用最低・“18.(本小題滿分16分)已知椭圆C的方程：^ + 4 = 1(^>6>0)，为准线/方程为x = 4,右焦点F(1.0)，/为椭圆的左顶点.亠(1)求椭圆C的方程；3<2)设点为梆圍在工轴上方一点…点N在右准线上旦満足= 0且“5|玄7|=2|莎|,求直线旳/的方程.P19.(本小世满分16分)已知囲数f (x) = Inx - ax.g(x) = ex.ae R, ( e是自然对数的底数)小(1)若直线y = &为曲线的一条切线，求实数a的值；"<2)若函数y = f(x) - g(x)在区间(l.+oc)±为单週函数，求实数a的取值范围丿"(3)设H(x) =|/(x) |・g(x), xe[l:e],若H(x)在定义域上有极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围.220.（本小題满分16分〉设数列｛$｝的首项为1,前n 顷和为S"若对任意的，均有S 广a“ — k 魏是常数且 keN 9）成立，则称数列｛冬｝为“P （/c ）数列“（1）若数列｛务｝为“P ⑴数列”，求数列｛$｝的通项公式；"（2）是否存在数列｛$｝既是“P （k ）数列二也是“P（k ・2）数列叩若存在，求出符合条件的数歹的通项公式及对应的去的值；若不存在，请说明理由；“附加题21 •［述做腿］任A 、B 、C> DPU 小■中只能选做2風每小題10分，堵把答案写在晋辱f 追乍孚域内...........A.选修i 几何证明选讲如图.D 人）44BC 的8C 边上的一点.OO 】经过点D.交曲于另一点E. 0O,经过点C, D 交AC f 点只OOi 400:交「•点G ・a 1一 1 已知二阶矩Q 特征值2・3所对应的一个特征冋量勺一』 J C/1（1）求矩阵M ; a （2）设曲线C 在突换矩阵M 作用下得到的曲线C •的方程为型=2,求曲线C 的方程.“C. 4-4：坐标系h 参数力程"JC = —° i 十 2 处缈和跑“绅）相交于两求D.选修4・5：不等式选讲己知x,y 均为正数，11 x > v ,求证：2x4-— -------- ---- 鼻2卩+ 3. ■ T 2-2XI + / "<3）若数列｛$｝为“P （2）数列J已知曲线C: 工-2cos0 y = \^3 sin 6 证明:22•如图，己知长方体ABCD_4B、C\D，AB = 2.AA y=l,直线BDW平面所成角为30*, HE垂宜BD于点上，F为4耳的中点.》<1）求^AE与平面万莎所成角灰正弦直；卩23.如亂一只蚂蚁从单位世方体ABCD-ABg的顶点/出发.每一步（均为等可能件的〉经过-条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过"步冋到点/的概率以.（1）分别马岀P-P2的值；（2）设顶点T出发经过"步到达点C的槪率为％,求几十規的值；（3）求必・。

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学含答案

江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学2020届高三下学期四校4月联考数学试题参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),n i i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____. 8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____. 9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____ 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.16.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知角a 的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过一点P(-3,t)｡(1)若t=4,求:sin()4πα+的值; (2)若3t =且α∈(0,2π),求f(x)= sin(x + α) + cos x 的单调增区间.17. (本小题满分14分)如图,某大型厂区有三个值班室A,B,C.值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处,值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处｡(1)保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处,此时PC=2,求PB 的距离;(2)保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A,保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B,甲乙同时出发,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,若甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米),试问有多长时间两人不能通话?18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的方程为2221(02)4x y b b+=<<,且直线2y x =+与以原点为圆心,椭圆C 短轴长为直径的圆相切.(1) 求b 的值;(2)若椭圆C 左右顶点分别为M,N,过点P(-2,2)作直线l 与椭圆交于A, B 两点,且A,B 位于第一象限,A 在线段BP 上.①若△AOM 和△BON 的面积分别为12,,S S 问是否存在这样的直线l 使得121S S +=?请说明理由;②直线OP 与直线NA 交于点C,连结MB,MC,记直线MB,MC 的斜率分别为1,k 2.k 求证:12k k 为定值.19. (本小题满分16分)已知数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和为S n ,()2nn n S a λ=+(λ为常数)对于任意的*n ∈N 恒成立. (1)若11,a =求λ的值;(2)证明:数列{}n a 是等差数列; (3)若22,a =关于m 的不等式|2|1m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解,求λ的取值范围.20. (本小题满分16分) 已知函数ln ()(1x f x a ax =∈+R ,且a 为常数). (1)若函数y=f(x)的图象在x=e 处的切线的斜率为21(1)e e -(e 为自然对数的底数),求a 的值; (2)若函数y= f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a 的取值范围;(3)已知x,y ∈(1,2), 且x+y=3.求证:(23)ln (23)ln 011x x y y x y --+≤--.21. [选做题]本题包括A ､B ､C 共3小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A. [选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 曲线221x y +=在矩阵0(0,0)0a A a b b ⎡⎤=>>⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到曲线22 1.9x y += (1)求矩阵A;(2)求矩阵A 的特征向量.B. [选修4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程:12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以原点为极点,x 轴非负半轴为极轴(取相同单位长度)建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为: ρ+ 2cosθ=0.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.C. [选修4-5:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a,b,c 为正实数,满足a+b+c=3,求149a b c++的最小值.[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)五个自然数1､2､3､4､5按照一定的顺序排成一列.(1)求2和4不相邻的概率;(2)定义:若两个数的和为6且相邻,称这两个数为一组“友好数”.随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数"的组数,求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)已知*,n ∈N 数列T 12:,,,n a a a L 中的每一项均在集合M ={1,2,…,n}中,且任意两项不相等,又对于任意的整数i,j(1≤i<j≤n),均有.i j i a j a +≤+例如n=2时,数列T 为1,2或2,1.(1)当n=3时,试求满足条件的数列T 的个数;(2)当*,n ∈N 求所有满足条件的数列T 的个数.。

江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试数学试题(解析版)

1．【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，根据交集的定义写出即可.详解：集合，，，故答案为.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或不属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.点睛：考查复数的四则运算，属于基础题.3．10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4．5【解析】分析：画出可行域，平移直线，当直线经过时，可得有最大值.详解：画出束条件表示的可行性，如图，点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．【解析】分析：先求出基本事件总数，A 、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A 、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A 、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A 、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 6．7【解析】由程序框图，得运行过程如下： 23624,3;4642,5A n A n =======；530A n==>=，结束循环，即输出的n的值是7.6422017,7点睛：本题主要考查棱柱的性质以及棱锥的体积公式，属于中档题.求三棱锥的体积公式时，一定注意“等积变换”的应用.8．【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.9．【解析】分析：先设出切点坐标，再利用导数的几何意义写出过的切线方程，利用直线与所求切线重合，可求出实数的值.详解：，设切点为，则过的切线方程为，整理，得，直线是是曲线的一条切线，，，故答案为.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.点睛：考查充分必要的定义和判断，对a的适当取值是解题关键.属于基础题.11．9【解析】分析：将中，换为，两式相减可得数列的周期为的数列，先求出，的值，再求出，从而可求出得到.详解：由题意可得，将换为，可得，可得数列为周期为的数列，，即有，由任意连续三项的和都是可得可得，故答案为.点睛：本题主要考查递推公式求数列中的项以及周期数列的性质，属于中档题.利用递推公式求通项时，有两个思路：一是利用递推公式变形构造特殊数列，利用等比等差数列求解；二是求出数列的周期.12．【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.14．【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，由g[f （x ）]-a=0（a ＞0）得g[f （x ）]=a ，（a ＞0）设t=f （x ），则g （t ）=a ，（a ＞0）由y=g （t ）的图象知，①当0＜a ＜1时，方程g （t ）=a 有两个根-4＜t 1＜-3，或-4＜t 2＜-2，由t=f （x ）的图象知，当-4＜t 1＜-3时，t=f （x ）有0个根，当-4＜t 2＜-2时，t=f （x ）有0个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有0个根，②当a=1时，方程g （t ）=a 有两个根t 1=-3，或t 2=，由t=f （x ）的图象知，当t 1=-3时，t=f （x ）有0个根，当t 2=时，t=f （x ）有3个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有3个根，③当1＜a ＜时，方程g （t ）=a 有两个根0＜t 1＜，或＜t 2＜1，由t=f （x ）的图象知，当0＜t 1＜时，t=f （x ）有3个根，当＜t 2＜1时，t=f （x ）有3个根，此时方程g[f （x ）]-a=0（a ＞0）有3+3=6个根，当a=由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a ＝0（a ＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a 的取值范围是点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．15．（1）3A π=；（2．试题解析：（1）∵1m n ⋅=，∴((cos ,sin )1A A -⋅=cos 1A A -=，12(cos )122A A -=，1sin()62A π-=， ∵0x π<<，5666A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）由题知：2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=， ∴cos 0B ≠，∴2tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或tan 1B =-，而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B =，∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A B C A B A B A B π+=-+=-+=-==- 考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式． 16．（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）推导出AB ∥CD，从而AB ∥平面PDC ，由此能证明AB∥EF．（2）结合（1）可证AB ⊥AF ，AB ⊥平面PAD ，从而得平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，所以AB⊥AF，又AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．17．（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.18．（1）；（2）；（3）定点【解析】分析：（1）由椭圆经过点，离心率为，可得，又因为，所以，解得，从而可得结果；（2）因为点为的内心，所以点为的内切圆的圆心，设该圆的半径为，则；（3）设直线的方程为，化简得，直线的方程为，令，结合韦达定理可得, 所以点在直线上，同理可证，点在直线上,从而可得结论.（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点，下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点设直线的方程为，化简得因为直线经过椭圆内的点，所以，设，则由题意，，直线的方程为，令，此时，所以点在直线上，同理可证，点在直线上，所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点.点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 19．（1）见解析；（2）；（3）见解析，则设，则，构造函数令，利用导数研究函数的单调性，只需证明即可得结论.（2）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点；当时，函数有极大值，令（），，，，在上单调递减；，，在上单调递增；函数有最小值要使函数有两个零点，必须满足且，下面证明：且时，函数有两个零点.因为，所以下面证明还有另一个零点.①当时，，令，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有唯一零点，从而有两个零点②当时，，，易证，可得，所以在在上有零点，又在上单调递减，所以在上有唯一零点，从而有两个零点综上，的取值范围是.不妨设，，则，则令，则，因此在上单调递减，所以又，所以，所以，即.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 20．（1）；（2）见解析；（3）见解析，所以，利用导数可得，由此，从而可得结果.（1）（2）（1）-（2）得，求得，所以设，则，详解：（1）设等差数列的公差为（），等比数列的公比为，由题意得解得，所以.（2）由成等差数列，有，即由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，（3）由题意得…（1）（2）（1）-（2）得，求得，所以设，则，所以在上单调递增，有，可得当，且时，，有，所以可得，所以.点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.21．见解析【解析】分析：由角平分线定理可得，从而得，由切割线定理可得，两式结合即可的结果.点睛：本题主要考查角平分线定理以及切割线定理，意在考查抽象思维能力以及利用所学知识解决问题的能力.【解析】分析：矩阵的特征多项式为,由是方程的一个根可得结果.详解：矩阵的特征多项式为因为是方程的一个根，所以，解得，由，得或3，所以.点睛：本题主要考查矩阵的特征值，意在考查学生对基本概念与性质掌握的熟练程度，属于简单题.23．点睛：利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．【解析】分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．证明：证法一因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以．证法二因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 ()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以．点睛：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题． 25．（1）35；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由排列组合可求得从六外点任选三个不同点构成一个三角形的所有选法，的是一个角为30的直角三角形，由古典概型可求得概率；（2）先写出S 的所有可能取值，再求出所对应的概率，可写出S 的分布列，进一步求出数学期望．（2）S的所有可能取值为,,424，4S =的为顶角是0120的等腰三角形（如123PP P ∆），共6种，所以3663410P S C ⎛=== ⎝⎭，S =135PP P ∆）共2种，所以362110P S C ⎛=== ⎝⎭，又由（1）361235P S C ⎛=== ⎝⎭，故S 的分布列为：所以()33110510E S =+=. 26．（1）5；（2）【解析】分析：（1）若集合含有个元素，的个数为；集合含有个元素，的个数为，的个数为；（2）集合有子集，又集合是非空集合的两个不同子集，则不同的有序集合对的个数为，当的元素个数与的元素个数一样多时，有序集合对的个数为，的元素个数比的元素个数少时，有序集合对的个数为.（2）集合有子集，又集合是非空集合的两个不同子集，则不同的有序集合对的个数为若的元素个数与的元素个数一样多，则不同的有序集合对的个数为又的展开式中的系数为，且的展开式中的系数为所以因为，所以当的元素个数与的元素个数一样多时，有序集合对的个数为所以，的元素个数比的元素个数少时，有序集合对的个数为.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．（4）求子集问题时，要结合排列组合知识与二项展开式定理解决.。

优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)

1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。

江苏省南京师范大学附属中学四校2018届高三联考数学调研测试---精校解析Word版

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研数学测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，且，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．答案：32. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部是__________．【答案】【解析】∵，∴的实部是．答案：3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________．【答案】【解析】执行循环得结束循环，输出4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为__________．【答案】【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为，所以．故估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为．答案：5. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：6. 已知，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得，解得．∴．答案：点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7. 设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴，∴，∴．答案：8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】令，得，故双曲线的渐近线方程为．由题意可得，解得．答案：9. 高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为__________．【答案】【解析】设正四棱锥的底面边长为，斜高，则．由题意得，整理得，解得或（舍去）．∴．∴．答案：10. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是__________．..........................................【答案】【解析】∵是周期为的函数，，∴，∴，∴．∴，∴．答案：111. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴．又函数在上单调递减，∴在上恒成立，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是．答案：12. 如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同．．的两点，则的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,所以．由与共线，所以，故．答案：0点睛：（1）根据题中的，添加辅助线是解题的突破口，得到是解题的关键，然后根据向量的共线可得，再根据向量的数量积运算求解。

江苏省南师附中等四校高三下学期期初教学质量调研数学试题含答案

2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学试卷2013．02注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ={－1,0,1, 2}，B ={x |x 2－x ≤0}，则A ∩B = ▲ ．2．设a 为实数，若复数 (1＋2i)(1＋a i) 是纯虚数，则a 的值是 ▲ ．3．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间 [96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)的产品个数是 ▲ ．4．如图所示的流程图的输出S 的值是 ▲ ．（第3题）（第4题）5．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则两次点数之和为偶数的概率是 ▲ ．6．设k 为实数，已知向量a →＝(1，2)，→b ＝(－3，2)，且(ka →＋→b )⊥(a →－3b →)，则k 的值是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边在射线y ＝－3x （x ＞0）上，则sin5α＝ ▲ ． 8. 已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ，则z ＝2x ＋y 的最小值是 ▲ ．开始结束S输出Y N 4≥a 1,5←←S a a S S ⨯←1-←a a9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的离心率的值是 ▲ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．11．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f (1)＜f (ln x )，则x 的取值范围是 ▲ ．12．若点P 、Q 分别在函数y ＝e x 和函数 y ＝ln x 的图象上，则P 、Q 两点间的距离的最小值是 ▲ ．13．已知一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b ＝2aca ＋c，则此数列的第15项是 ▲ ．14．设a 1，a 2，…，a n 为正整数，其中至少有五个不同值. 若对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，存在k ，l （k ≠l ，且异于i 与j ）使得a i ＋a j ＝a k ＋a l ，则n 的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m?(第15题)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，CD =13，AB=12，BC =10，AD ＝12 BC . 点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点.（1）求证：AB ⊥面P AD ；（2）求证：EF ∥面P AD .（（第16题） 17．（本小题满分14分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a 的值；（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N . （1）设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；（2）求线段MN 长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．（第18题）设非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|} (n ∈N*，n ≥2)与数列{n ＋12} (n ∈N*)中没有相同数值的项.20. （本小题满分16分）设函数f (x )的定义域为M ，具有性质P ：对任意x ∈M ，都有f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1). （1）若M 为实数集R ，是否存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1，x ∈R ) 具有性质P ，并说明理由；（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意x ∈M ，都有f (x )∈N . 记d (x )＝f (x ＋1)－f (x ).(ⅰ) 求证：对任意x ∈M ，都有d (x ＋1)≤d (x )且d (x )≥0；(ⅱ) 求证：存在整数0≤c ≤d (1)及无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c .2012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学（附加题） 2013.0221、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、（几何证明选讲选做题）如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE ．B 、（矩阵与变换选做题）已知M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C 、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t y ＝－3＋22t（t 为参数）；在以O 为极点、射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． D 、（不等式选做题）设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．22、【必做题】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.（1）求异面直线AE 与A 1 F 所成角的大小；（2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.23、【必做题】在数列{a n }（n ∈N *）中，已知a 1＝1，a 2k ＝－a k ，a 2k －1＝(－1)k +1a k ，k ∈N *. 记数列{a n }的前n 项和为S n .（1）求S 5，S 7的值；（2）求证：对任意n ∈N *，S n ≥0.A12012－2013学年第二学期期初高三教学质量调研数学参考答案一、填空题：·1. {0, 1}2. 123. 604. 205. 126. 197. 328. 29.2 10. 2 11. (0, 1e )∪(e, ＋∞) 12. 2 13. 10100714. 13二、解答题：15. （1）解：设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b . 由题设可知A ＝50，b ＝60. ………………2分又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60. ………………4分再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π2.……………… 6分因此，y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0). ………………8分（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－12.………………10分于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π3，即1＜t ＜2. ………………12分所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟.………………14分16. 证明：（1）因为PD ⊥面ABCD ，所以PD ⊥AB . ………………2分在平面ABCD 中，D 作DM //AB ，则由AB =12得 DM =12.又BC =10，AD ＝12BC ，则AD =5，从而CM =5.于是在△CDM 中，CD =13，DM =12，CM=5，则由22251213+=及勾股定理逆定理得DM ⊥BC .又DM //AB ，BC //AD ，所以AD ⊥AB . 又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥面P AD . ………………6分（2）[证法一] 取AB 的中点N ，连结EN 、FN . 因为点E 是棱PB 的中点，所以在△ABP 中，EN //12P A .又P A ⊂面P AD ，所以EN //面P AD . ………………8分因为点F 分别是边CD 的中点，所以在梯形ABCD 中，FN //AD .又AD ⊂面P AD ，所以FN //面P AD . ……………10分又EN ∩FN ＝N ，P A ∩DA ＝A ，所以面EFN //面P AD . ………………12分又EF ⊂面EFN ，则EF //面P AD . ………………14分 [证法二] 延长CD ，BA 交于点G .连接PG ，EG ，EG 与P A 交于点Q.由题设AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，所以CD ＝DG ，BA＝AG ，即点A 为BG 的中点. 又因为点E 为棱PB 的中点，所以EA 为△BPG 的中位线，即EA ∥PG ，且EA :PG ＝1:2，故有EA :PG ＝EQ :QG ＝1:2. ………………10分又F 是边CD 的中点，并由CD ＝DG ，则有FD :DG ＝1:2. ………………12分在△GFE 中，由于EQ :QG ＝1:2，FD :DG ＝1:2，所以EF ∥DQ .又EF ⊄面P AD ，而DQ ⊂面P AD ，所以EF ∥面P AD . ………………14分17. 解：（1）由题设知x ＝5时y ＝11，则11＝a5－3＋10(5－6)2，解得a ＝2. ………………3分（2）由（1）知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3) [2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3) (x －6)2，3＜x ＜6. ………………6分对函数f (x )求导，得f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．令f ′(x )＝0及3＜x ＜6，解得x ＝4． ………………10分当3＜x ＜4时，f ′(x )＞0，当4＜x ＜6时，f ′(x )＜0，于是有函数f (x )在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x ＝4时函数f (x )取得最大值f (4)＝42. ………………13分答：当销售价格x ＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.………………14分 18. 解：（1）由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1x 0. ………………2分又点P 在椭圆上，所以220014x y +=（x 0≠0），从而有 k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14. ………………4分（2）由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)，直线PB 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0).由⎩⎨⎧-==-211y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y k x ；由⎩⎨⎧-==+212y x k y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=212y k x .所以，直线AP 与直线l 的交点13(,2)N k --，直线PB 与直线l 的交点21(,2)M k --. ………………7分于是|13|21k k MN -=，又k 1·k 2＝－14，所以 111133|4|4||||MN k k k k =+=+≥43，等号成立的条件是1134||||k k =，解得1k =.故线段MN 长的最小值是4 3. ………………10分（3）设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN →＝0，故有1231()()(2)(2)0x x y y k k +++++=.又1214k k ⋅=-，所以以MN 为直径的圆的方程为 22113(2)12(4)0x y k x k ++-+-=. ………………13分令22(2)120x x y =++-=⎧⎨⎩，解得02x y ==-+⎧⎨⎩02x y ==--⎧⎨⎩所以，以MN 为直径的圆恒过定点)322,0(+-（或点)322,0(--）．………………16分注：写出一点的坐标即可得分. 19. （1）解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列. ………………4分②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. ………………8分（2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-. ………………10分又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）. ………………12分由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.………………16分20．证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).………………2分由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)，这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . ………………4分（2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ). ………………6分下面用反证法证明：对任意x ∈N ，d (x )≥0.假设存在某个非负整数k 使d (k )＜0，则由题设对任意x ∈N ，f (x )∈N ，得d (x )∈Z ，于是有d (k )≤－1. ………………8分由任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x )，所以－1≥d (k )≥d (k ＋1)≥d (k ＋2)≥…≥d (k ＋n )≥….，这里n 是自然数. 于是有d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )≤(n ＋1) d (k )≤(n ＋1)×(－1). 而d (k ＋n )＋d (k ＋(n －1))＋d (k ＋(n －2))＋…＋d (k )＝f (k ＋n ＋1)－f (k )，所以f (k ＋n ＋1)－f (k )≤－(n ＋1).取n ＝f (k )，得f (k ＋f (k )＋1)≤－f (k )－1＋f (k )＝－1，这与f (k ＋f (k )＋1)∈N 矛盾. 因此，必有对任意x ∈N ，d (x )≥0. ..................12分 (ⅱ)由(ⅰ)可知 d (1)≥d (2)≥d (3)≥...≥d (n )≥ 0当d (1)＝0时，则有d (1)＝d (2)＝d (3)＝…＝d (n )＝0，结论成立. 当d (1)≠0时，对任意n ∈N ，有d (n ) ∈N ，且d (n ) ∈[0, d (1)]. 因为在区间[0, d (1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d (n )有无数多个，所以，必存在自然数c ∈[0, d (1)]和无穷多个正整数n ，满足d (n )＝c . ……………16分【附加题答案】21.A. 解：因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°． …………2分在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3． …………5分又因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝∠4． ……………7分因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1+∠2=90°，从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE ＝90°． ………………9分所以OP ⊥PE ． ………………10分B. 解：由题设得1110022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ………………4分设所求曲线F 上任意一点的坐标为（x ,y ），x y sin =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212. ………………7分把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=. 所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=. ………………10分C. 解：直线m 的普通方程为6=-y x . ………………2分曲线C 的普通方程为x y 82=. ………………4分由题设直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，可令),(11y x A ,),(22y x B .联立方程⎩⎨⎧=-=682y x x y ，解得)6(82+=y y ，则有821=+y y ，4821-=⋅y y .………………7分于是AB ====故 216=AB . ………………10分D ．证明：由题设x ＞0，y ＞0，x ＞y ，可得x －y ＞0. ………………2分因为2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1 (x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2.………………5分又(x －y )＋(x －y ) ＋1 (x －y )233=≥，等号成立条件是x －y ＝1 .………………9分所以，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ≥3，即2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3． ……………10分22．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(A ,)2,0,2(E ,)6,0,0(1A ,)4,2,0(F ，从而(2,0,2)AE =u u r,1(0,2,2)A F =-u u u r. ………………2分记与A 1的夹角为θ，则有111cos 2||||AE A F AE A F θ⋅===-⋅u u r u u ru ur u u r .又由异面直线AE 与F A 1所成角的范围为),0(π，可得异面直线AE 与F A 1所成的角为60º. ………………4分（2）记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令(1,,)y z =n ，且有平面ABC 的法向量为1(0,0,6)AA ==u u u rm , )4,2,0(=AF ,)2,0,2(=AE .由0AF ⋅=u u u r n ，得042=+z y ；由0AE ⋅=u u u rn ，得022=+z .所以2,1=-=y z ，即(1,2,1)=-n . ………………8分记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有6cos ||||6β⋅-===-⋅n m n m .由题意可知β为锐角，所以cos 6β=. ………………10分23. 解：（1）S 5＝3，S 7＝1. ………………2分（2）由题设i a 的定义可知，对于每个正整数k ，有A241234----==k k k a a a . ①k k k k a a a a =-==-2414. ② ……………4分则 ∑=---+++=ki i i i i k a a a aS 141424344)]()[(k ki i S a 2)20(1=+=∑=，③k k k k k S a a S S 42414424)(=++=+++. ④ ……………6分下面证明对于所有的n ≥1，S n ≥0. 对于k ，用数学归纳法予以证明.当i ＝1，2，3，4，即k =0时，S 1＝1，S 2＝0， S 3＝1， S 4＝2. 假设对于所有的i ≤4k ，S i ≥0，则由①、②、③、④知，S 4k +4＝2S k +1≥0， S 4k +2＝S 4k ≥0，S 4k +3＝S 4k +2＋a 4k +3＝S 4k +2＋a 4k +4＝S 4k +2＋(S 4k +4－S 4k +3)，S 4k +3＝S 4k +2＋S 4k +42≥0.接下来证明：S 4k +1≥0.若k 是奇数，则S 4k ＝2S k ≥2.因为k 是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知S k 也是一个奇数. 于是S 4k ≥2. 因此，S 4k +1＝S 4k ＋a 4k +1≥1.若k 是偶数，则a 4k +1＝a 2k +1＝a k +1. 所以S 4k +1＝S 4k ＋a 4k +1＝2S k ＋a k +1＝S k ＋S k ＋1≥0.综上，对于所有的n ≥1，S n ≥0. ………………10分。

南师大附中2018届高三第四次模拟考试—答案精品

南师大附中2018届高三第四次模拟考试一：填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分） 1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则AB =(](),20,-∞-+∞2．若复数(1)()i a i -+是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 13．下图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[]6,10内的频数为 64 .（第7题）4．连续3次抛掷一枚硬币，则恰有两次出现正面的概率是38． 5．已知函数4()log (41)xf x kx =++()k R ∈是偶函数，则k 的值为 12- ．6．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且17611,35S S S 则+=的值为 119 ． 7．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为 2 ．8．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 )102sin(π-=x y ．（1）已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －4cosx ，x ∈R ，则函数f(x)的最大值为 6 ．（2）已知4cos()25πθ+=，则cos2θ的值是 725- ．9．已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 π17 ．（1）已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则正四棱柱的体积为10．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则AFK ∆的面积为 8 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1x ＋1) x ≥0，(12)x－1 x ＜0．若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是 123>-<a a 或（1）若关于x 的不等式||22a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．Rt △ABC 中，AB 为斜边，AB ·AC =9，ABC S ∆＝6，设P 是△ABC （含边界）内一点，P 到三边,,AB BC AC 的距离分别为,,x y z ，则x y z ++的取值范围是 12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为． 14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1352n n n ka a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为___1或5___.二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16（1）取BC 中点M ，连AM ，DM ．因△ABC 及△BCD 均为正三角形，故BC ⊥AM ，BC ⊥DM ．因AM ，DM 为平面ADM 内的两条相交直线，故BC ⊥平面ADM ，于是BC ⊥AD ．（2）连接EM ，并取AC 的中点Q ，连QE ，QM ．于是EQ ∥AD ，故EQ ∥平面ABD ．同理MQ ∥平面ABD ．因EQ ，MQ 为平面QEM 内的两条相交直线，故平面QEM ∥平面ABD ，从而点P 的轨迹为线段QM ．（3）依题设小虫共走过了4条棱，每次走某条棱均有3种选择，故所有等可能基本事件总数为34=81．走第1条棱时，有3种选择，不妨设走了AB ，然后走第2条棱为：或BA 或BC 或BD ．若第2条棱走的为BA ，则第3条棱可以选择走AB ，AC ，AD ，计3种可能；若第2条棱走的为BC ，则第3条棱可以选择走CB ，CD ，计2种可能；同理第2条棱走BD 时，第3棱的走法亦有2种选择．故小虫走12cm 后仍回到A 点的选择有3×(3+2+2)=21种可能．于是，所求的概率为2178127=． 17、（1）⎩⎨⎧≤<+-≤≤=)4030(2406)300(2)(t t t tt f)400(6203)(2≤≤+-=t t t t g（2）设每件产品A 的销售利润为)(t q则⎩⎨⎧≤<≤≤=)4020(60)200(3)(t t tt q从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+-≤≤+-=)4030(144009)3020(4809)200(24209)(2223t t t tt t t t t Q ①020)274820(482027)('2002≥-⨯=+-=≤≤t t t t t Q t 时当 ∴)(t Q 在区间]20,0[上单调递增此时6000)20()(max ==Q t Q②当3020≤<t 时 6400)380(9)(2+--=t t Q ，+∈N t ∴27=t 时 6399)27()(max ==Q t Q ③当4030≤<t 6300)30()(=<Q t Q 综上所述6399)27()(max ==Q t Q19．解：（I ）),3[33)(2+∞-∈-='a a x x f ， …………2分∵对任意R ∈m ，直线0=++m y x 都不与)(x f y =相切，∴),3[1+∞-∉-a ，a 31-<-，实数a 的取值范围是31<a ； …………4分（II ）存在，证明方法1：问题等价于当]1,1[-∈x 时，41|)(|max ≥x f ，…………6分设|)(|)(x f x g =，则)(x g 在]1,1[-∈x 上是偶函数，故只要证明当]1,0[∈x 时，41|)(|max ≥x f ，①当]1,0[)(,0)(,0在时x f x f a ≥'≤上单调递增，且0)0(=f ，)()(x f x g =41131)1()(max >>-==a f x g ； …………8分②当,10时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：(f注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =， ∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，…………12分由1(1)134f a =-≥及103a <<，解得104a <≤，此时(1)f f -≤成立． ∴max 1()(1)134g x f a ==-≥．由124f -=及103a <<，解得1143a ≤<，此时(1)f f -≥成立．∴max 1()24g x f =-=≥．∴在]1,1[-∈x 上至少存在一个0x ，使得41|)(|0≥x f 成立． …………14分②当,310时<<a ))((333)(2a x a x a x x f -+=-='，列表：(f 注意到(0)0f f ==，且13<<a a ，∴)3,0(a x ∈时，)()(x f x g -=，)1,3(a x ∈时，)()(x f x g =， ∴)}(),1(max{)(max a f f x g -=，……………12分注意到103a <<，由： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=≤-4131)1(31)1()(a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<41410a a 矛盾；⎪⎩⎪⎨⎧<=--=≥-412)(31)1()(a a a f a f a f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥4141a a 矛盾； ∴∀]1,1[-∈x ，41|)(|0<x f 与31<a 矛盾，∴假设不成立，原命题成立． …………14分20．（1）证明：假设存在一个实数，使｛a n ｝是等比数列，则有2122a a a =,即（233λ-）2=44499λλλ⎛⎫-⇔ ⎪⎝⎭22449490,9λλλ-+=-⇔= 矛盾.所以｛a n ｝不是等比数列.（2）因为b n+1=(-1)n+1［a n+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(32a n -2n+14) =-32(-1)n·（a n -3n+21）=-32b n 当λ≠－18时，b 1=-(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0， ∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列。

南师附中等四校联考试题及数学答案

南京师大附中初数学调研测试卷（四校联考）Ⅰ必做题部分棱锥的体积公式V棱锥13Sh =，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ．答案：3解析：{3}{1,3}3A B A a =⇒=⇒= 点评：考查集合的运算，属于容易题. 2.已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ．答案：12-解析： 1322z i =-+ 点评：考查复数的概念及运算，属于容易题.3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．答案：42解析：先判断，后执行，易得S=42 点评：考查算法、伪代码，属于容易题.（第3题图）4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为 ▲ ．答案：15解析：频率之和为0.5，则天数为300.515⨯= 点评：考查频率分布直方图，属于容易题.5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ ．答案：14解析：基本事件总数为16，符合条件的有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）四种情况，所以概率为41164= 点评：考查古典概型及其相关计算公式，属于容易题. 6.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos 3cos θθθ2-的值为 ▲ ．答案：-2解析：222221sin cos 3cos tan 3tan ,sin cos 3cos 22sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ--=-===-++ 点评：考查两角和的正切、同角的三角函数关系、构造关于tan θ的齐次式，属于容易题. 7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B = ▲ ．答案：22n n +解析：代入基本量运算，可得2211,2,,,2n n n S n na d S n n B n +===⇒=∴=点评：考查等差数列的求和公式以及通项公式，基本量运算，属于容易题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22:104x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为 ▲ ．答案：16解析：渐近线方程为：y =1()1162m -=-⇒= 点评：考查双曲线的渐近线方程、两直线垂直的条件，属于容易题. 9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为 ▲ ．解析：设四棱锥斜高为',h底面边长为''2'21212,2,3334ah a a h V sh a h ⎧=⎪⎪⇒====⎨⎪+=⎪⎩点评：考查棱锥的体积公式、侧面积公式，利用方程思想求未知数，属于中等难度题. 10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是 ▲ ．答案：1解析：(5)(5)(1)(1)1(2)1f f f f a f -=⇒-=⇒=⇒= 点评：考查函数的性质、分段函数，属于中等难度题.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减，则a 的取值范围是 ▲ ．答案：33a a ≤-≥或解析：易得'22()320f x x ax a =+-≤在[-1，1]上恒成立，所以''(1)0(1)033f f a a -≤≤⇒≤-≥且或点评：考查三次函数的性质、导数研究函数单调性、二次函数图象解决二次不等式恒成立问题，属于中等难度题. 12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()PQ AB DC -的值为 ▲ ．答案：0解析：1122MN MN MN λλ==⇒⋅=⋅-（AB+DC），PQ PQ （AB+DC ）（AB DC ）=0 点评：考查向量的数量积、线性运算、共线定理等，属于中等难度题.13.已知圆O ：225x y +=，,A B 为圆O 上的两个动点，且2AB =，M 为弦AB的中点，),2)C a D a +．当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为 ▲ ．答案：0a >或2a <-解析：由2,OM =M 点的轨迹方程为圆221:4C x y +=，要使得始终有CMD ∠为锐角，则以CD 为直径的圆2C 与圆221:4C x y +=3>点评：考查圆中弦长公式、轨迹思想、两圆位置关系、平几知识以及等价转化思想，属于较难题.14.已知1,2a b >>2的最小值为 ▲ ．MAPQDCNB答案：6解析：令221a x-=，224b y-=，有ab2==22252(2)()96()6x y xy x y x yx y x y x y+++++++≥=≥=+++点评：考查基本不等式、换元思想等，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c．已知cos cos2cosa Bb Ac C+=．（1）求角C的大小；（2）若2,c ABC=∆ABC∆的周长．解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及cos cos2cosa Bb Ac C+=，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C，………2分因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，………4分所以cos C＝12，所以C＝π3. ………7分（2）1sin2ab C=又C＝π3，所以4ab=，………9分由已知及余弦定理得222cos4a b ab C+-=故228a b+=，从而2()16a b+=………12分所以ABC的周长为6. ………14分点评：本题考查三角变换、正弦定理、余弦定理，属于基础题．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，90ABC∠=，PA PC=,平面PAC⊥平面ABC，,D E分别为,AC BC中点．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PBC⊥平面PDE．解析：证明：（1）因为D，E分别为AC，BC中点．所以DE∥AB，………2分又DE⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以DE∥平面P AB.（2）因为P A＝PC，D为AC中点，所以PD⊥AC，又平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PD⊂平面P AC，故PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ． ………9分因为∠ABC ＝90°，DE ∥AB ，因此DE ⊥BC ． ………11分因为PD ⊥BC ，DE ⊥BC ，PD ∩DE ＝D ，PD ，DE ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ． ………14分点评：本题考查立体几何中直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直，属于基础题． 17.（本小题满分14分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，120AB =米，80AD =米，以BC AD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形A B C D 内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE 、FB 修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为,AD BC 上的动点，//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF =米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低．解析：（1）如图，20ME =米，12O M =米，梯形12O O FE 的面积为1(1208020200032+⨯= 矩形12AO O B 的面积为4800平方米． 16AO E π∠=，扇形1O A E 和扇形2O F B 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，所以阴影部分面积为80048003π-平方米． ………5分答：检票等候区域（图中阴影部分）面积为80048003π-平方米．………6分（2）设1,(0,)2AO E πθθ∠=∈，则40AE BF θ==， 120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()20080400(12080sin )16000(32sin )f θθθθθ=⨯+⨯-=+-………9分MN'()16000(12cos )f θθ=-，令'()0f θ=，则πθ=，所以，当3θ=时，即13AO E ∠=，修建费用最低． ………13分答：当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． ………14分点评：本题考查扇形中的常见运算，利用导数求函数最值，本题较为基础，难度适中． 18.（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程:22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点1,0F （），A 为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=且|2|5||AM MN =,求直线AM 的方程．解析：（1）,1,42==c c a3,422==∴b a 13422=+∴y x C ：椭圆， ………4分（2）设()2:+=x k y AM ()()()()()42241321324134222222222x x x x k x k x yx x k y +-=-=+⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=2-≠p x ()()42322x x k -=+∴，64332211234222k k x k -=-=+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=∴34123486222k k y k k x M M………8分而k k MN 1-=，又,4=N x N M x x kMN -+=∴2113462413462411222222+++=+++=∴k k k k k k k MN………10分又3412134121122222++=++=-+=k k k k x x k AM A M………12分 MN AM 25= 346241234121522222+++=++∴k k k k k k 411或=∴k ………14分 21412+=+=∴x y x y 或………16分点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、方程思想、弦长公式，本题较为基础，运算量适中．19.（本小题满分16分）已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈，（e 是自然对数的底数）（1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()|()|()[1,]H x f x g x x e =∈，，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围．解析：（1）设切点),(00y x P ，则00000,ln ex y ax x y =-=，00ln ()x a e x =+（*）又,1)('a x x f -=e a x xf =-=∴001)('，e a x +=∴10代入（*） ⇒1ln 0=x ，e x =∴0ee a -=∴1………3分（2）设)1()(ln )()()(≥+-=-=x xe a x x g xf x h ，当)(x h 单调递增时则())(10)(1'e a x e a x x h +≥⇒≥+-=，又]1,0(1∈x，e a e a -≤∴≤+∴,0当)(x h 单调递减时())(10)(1'e a x e a x x h +≤⇒≤+-=ea e a -≥∴≥+∴1,1综上()h x 单调时，(,][1,)a e e ∈-∞-⋃-+∞ ………6分（3）a xxex ex ax x x H -=⋅-=ln ln )(2，令],1[,ln )(e x a x xx t ∈-=，2ln 1)('x xx t -=，当],1[e x ∈时，0)('≥x t ，]1,[)(a ea x t --∈∴，1）当0≥-a ，即0≤a 时，0)(≥x t ，],1[),ln ()(2e x ax x x e x H ∈-=∴0)21(ln )('>-+=ax x e x H ，)(x H ∴在],1[e 上无极值点。