一类具离散和分布时滞的捕食–食饵模型的稳定性

(
)
， p (j ) ( i 1, 其 中 τ i ≥ 0= = 2, , m; j 1, 2, , n ) 为 常 数 。 当 (τ 1 ,τ 2 , ,τ m ) 连 续 变 化 时 ， 指 数 多 项 式
i
才能发 P λ , e − λτ1 , , e − λτ m 的位于右半平面的零点的重数之和只有在虚轴上存在根或者有根穿过虚轴时， 生变化。 引理 3[7] 设 F (α , φ ) 关于 α , φ 有连续的一阶导数，对一切 α ， F (α , 0 ) = 0 ，并且满足以下两条件：
(1)
其中 G ( s ) = δ e −δ s ， δ > 0 ， r1 , r2 > 0 ， aij (= i, j 1, 2 ) > 0 ，函数 G ( s ) 是在 [ 0, +∞ ) 上的非负有界函数。下面 探讨系统(1)的正平衡点失去稳定性和 Hopf 分支的条件。
2. 引理
引理 1[4] [5] (Routh-Hurwitz 定理)多项式方程
定。当 r1a21 − r2 a11 < 0 时，所有特征值有负实部，平衡点 E1 是局部渐进稳定；反之，当 r1a21 − r2 a11 > 0 时， 特征值有正实部，平衡点 E1 是不稳定的。 下面讨论系统(4)的正平衡点。为保证系统(4)存在一正解，假设(4)的系数满足如下条件： (H1) r1a21 − r2 a11 > 0
( t ) = F (α , xt ) 的特征矩阵 ∆ (α , λ ) = λ I − L (α ) eλ I 是 α 的一阶连续可微函数， ∆ (α 0 , λ ) 存在一对 1) 方程 x
(
)
简单纯虚特征根 λ1,2 = ±iω0 ，所有其他的特征值 λ j ≠ mλ1,2 ， m 为任意整数；2) Re ( λ ′ ( 0 ) ) ≠ 0 ，则存在
Abstract
The stability in a predator-prey model with discrete and distributed delays is investigated. By using linearized methods for the positive equilibrium and analyzing the corresponding characteristic equations, sufficient conditions for asymptotic stability of the positive equilibrium and the Hopf bifurcation occurring are derived.
( t ) = F (α , xt ) 的一个解，并且 上述三个函数关于 a 连续可微，使得 x∗ ( a ) 是方程 x
∗ x0 (a) Pλ (α ) Q
0 > 0, δ 0 > 0 ， 函数 α ( a ) ∈ R ， 以及具有周期为 ω ( a ) 的函数 x∗ ( a ) ， 当 a < a0 是， 常数 a0 > 0, α ϖ (a) ∈ R ，
分离实部和虚部可得
( −d ω + d ) cosωτ + (ω ( d ω − ω ) cosωτ − ( d ω
λ n + a1λ n −1 + + an −1λ + an = 0
a1 1 0 0
定义 a j = 0 。 引理 2[6] 指数多项式
(2)
= ∆k 所有根具有负实部的充要条件是
a3 a2 a1 0
a5 a4 a3 0

a2 k −1 a2 k − 2 a2 k −3 > 0 ，k = 1, 2, , n ， 当 j > n 时， ak
= F ( s ) α e −α s ( α > 0 ) ， 时滞 τ 是参数， 他们得到了系统的正平衡点失去稳定性和 Hopf 分支的条件。 其中
本文我们将考虑如下具有离散和分布时滞的捕食—食饵系统
x = (t ) x (t ) r1 − a11 x ( t − τ ) − a12 y ( t − τ ) , t (= t ) y (t ) −r + a21 ∫−∞ G ( t − s ) x ( s ) ds − a22 y ( t ) y , 2
0 ， ω − ( 2π ω0 ) < δ 0 ，方程 <α
3. 主要结论
定义变量 u ( t ) = ∫ re − r ( t − s ) y ( s ) ds ，则系统(1)可转化为如下的等价系统 −∞
t
x = (t ) x (t ) r1 − a11 x ( t − τ ) − a12 y ( t − τ ) , ( t ) rx (T ) − ru ( t ) , u = (= t ) y (t ) y −r2 + a21u ( t ) − a22 y ( t − τ ) ,
Stability in a Predator-Prey Model with Discrete and Distributed Delays
Huantao Zhu, Zhongde Zhang, Wuli en
Hunan College of Information, Changsha Email: zhu-huan-tao@ Received: May 28th, 2014; revised: Jun. 27th, 2014; accepted: Jul. 8th, 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
其中 x ( t ) 和 y ( t ) 分别表示 t 时刻食饵和捕食种群的密度， ri 和 aij ( i, j = 1, 2 ) 是正常数， F 和 G 是非负连 续的时滞函数且
= ∫0 F ( s ) ds 1,= ∫0 G ( s ) ds 1
∞ ∞
Song 和 Yuan 研究了如下一类具有离散和分布时滞的捕食—食饵系统[3]
t x t = x ( t ) r1 − a11 x ( t ) − a12 ∫ F ( t − s ) y ( s ) ds , −∞ ( ) t y (= t ) y ( t ) −r2 + a21 ∫−∞ G ( t − s ) x ( s ) ds − a22 y ( t ) ,
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一类具离散和分布时滞的捕食–食饵模型的稳定性
0 ( 0) ( 0 ) (1) n −1 (1) (1) − λτ1 P λ , e − λτ1 , , e − λτ m = λ n + p1( ) λ n −1 + + pn + + pn −1λ + pn + p1 λ −1λ + pn e m ( m) ( m ) − λτ m + p1( ) λ n −1 + + pn , −1 λ + pn e
∗ ∗ = Φα (α ) y ∗ ( a ) , x0 z0 (a) ( a ) λ (α ) =
(3)
∗ = 其中当 a → ∞ 时， y (a)
( t ) = F (α , xt ) 满足 xt < δ 0 的 ω 周期解相差某个时间的相移外，必有(3)的形式。 x
T ( a, 0 ) + ο ( a ) ， z ∗ ( a ) = ο ( a ) 。此外，对于 α
(4)
r r 其边界平衡点为 E1 = 1 , 0, 2 ， 下面我们将研究系统(4)， 经计算系统(4)的平凡平衡点 E0 = ( 0, 0, 0 ) ， a11 a11 则有一下结论：
−r < 0 ，故 E0 是不稳定的； = r1 > 0 ， λ2 = −r2 < 0 ， λ3 = 1) 系统(4)在平凡平衡点 E0 的特征根为 λ1 r1 2) 系统(4)在边界平衡点 E1 的特征根为 λ1 = r ， λ2 =−r + a21 ，其它特征值由方程 λ + r1e − λτ = 0决 a11
摘
要
研究了一类具有离散和分布时滞的捕食–食饵模型系统，通过在正平衡点处线性化模型，并分析相应的
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一类具离散和分布时滞的捕食–食饵模型的稳定性
特征方程，得到了正平衡点的渐近稳定性和模型产生Hopf分支的条件。
关键词
时滞，捕食模型，稳定性，Hopf分支
1. 引言
经典的 Lotka-Volterra 捕食—食饵模型是生物数学研究领域中最重要的模型之一。Volterra 最先提出 含有时滞的捕食—食饵模型[1]，随后，Brelot 对其进行了修正并得到如下具分布时滞的模型[2]
λ 3 + d1λ 2 + ( d 2 λ 2 + d3 λ + d 4 ) e− λτ + ( d5 λ + d 6 ) e−2λτ = 0
(5)
其中
d1 = r, d2 = a11 x∗ + a22 y ∗ , d3 = ra11 x∗ + ra22 y ∗ , d 4 = ra21a12 x∗ y ∗ , d5 = a11a22 x∗ y ∗ , d 6 = ra11a22 x∗ y ∗ .
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2014, 3, 149-154 Published Online August 2014 in Hans. /journal/aam /10.12677/aam.2014.33022