《平面向量复习小结》,课件

(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos 2、数量积的几何意义：
等于a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投影| b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
B
a b x1 x2 y1 y2
O B1 4、运算律: （ 1 ） a b b a （2）（ a ） b （a b ） a（ b ） θ A
（三）数乘向量 λ a
（1）长度： a a 1、 a 的大小和方向：
同向 （2）方向： 当 0时， a与a 当 0时， a与a异向
2、数乘向量的坐标运算 ：
a （x，y） （x，y）
当 0时， a 0
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a
2．已知 ABCD 的顶点 A(1, 2) , B(3, 1) , C (5, 6) ,求顶点 D 的坐标.

4：设 e1 , e2 是不共线的向量 ,已知向量 AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ,若 A、B、D 三点共线， 求 k 的值. 解:∵ A、B、D 三点共线,∴ AB BD ( 是待定系数)

（a b） a b
每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 OA OB OC 加法与 记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2)则 减法 OB OA AB OA OB =(x1+x2 , y1+y2) 平行四边形法则 OB OA =（x2-x1 , y2-y1）1、作图 平行Fra bibliotek边形法则： AB
C
AD DB
B
2、坐标运算：
设a （x1，y1） ， b （x2，y2）
则a b （x1 x2，y1 y 2）
3．已知梯形 ABCD 中， | AB | 2 | DC | ， M ， N 分别是 DC 、 AB 的中点，若 AB e1 ， AD e2 ， 用 e1 ， e2 表示 DC 、 BC 、 MN ．
（ 3）（ a b） c ac b c
五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
∵ CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 , ∴ BD CD CB e1 4e2
∴ AB e1 4e2 又∵ AB 2e1 ke2 2 ∴ ∴ k = 8 k = 4

坐标表示
2
1.已知 a (1,3), b ( x, 1), 且 a ∥ b ,则 x 等于( ) 1 1 (A)3 (B) 3 (C) (D) 3 3 2.已知 a (1,3), b ( x, 1), 且 a ⊥ b ,则 x =____. 3.已知 a (1,3), b ( x, 1), ,且 a 2b 与 2 a b 平行, 则 x 等于（ ）
C
-3
4、已知 a （ 1， 2）， b （ 3， 2），当 k 为何值时， （） 1 ka b与a 3b 垂直？ （2）ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
例：已知向量 a, b 满足 则



a 1, b 2, a b 3 ,


a b _____.
2
法一:由 ∴
a b a
2 2
2 2a b b 代入求得 a b =-2. 2 2a b b
OA （x，y）
y a j
O
A (x,y)
a
x i
x
二、向量的运算
（一）向量的加法 三角形法则：AB BC AC 1、作图 平行四边形法则：
2、坐标运算： A C
a +b a
B
b
设a （x1，y1） ， b （x2，y2） （x1 x2，y1 y2） 则a b D a +b b （二）向量的减法 A a

OA AB OB
三角形法则
实数与 向量的 乘积
AB =λ a λ ∈R


记 a =(x,y)


两个向 量的数 量积
则 a =(λ x,λ y) a b a b cos a, b 记 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 则 a · b =x1x2+y1y2
2
2
a b a
2
得

ab 1
法二:发现
a b a b 2( a b ) 代入求得.
2
2
1.下面五个命题： ⑴所有的单位向量相等； ⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ⑶若 a， b 满足 | a || b | 且 a， b 同向，则 a b ； ⑷由于零向量的方向不确定，故 0 与任何向量不平行； ⑸对于任何向量 a， b ，必有 | a b | ≤ | a | | b | ． 其中正确命题的序号为(B ) （A）⑴,⑵,⑶ （B）⑸ （C）⑶,⑸ （D）⑴,⑸
一、向量的基本概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量等.
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的大小又叫向量的模 ( 也就是用来表示向 量的有向线段的长度).
2、向量的表示 B
1、字母表示：AB或a
2、坐标表示：
A
y
a xi y j （x，y）
D M
C
A
N
B
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理

有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
七、向量的长度
（ 1 ） a a | a | ， | a | a （ 2 ）设 a （x，y），则 | a | x 2 y 2
2
2 2 （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则| AB | （x1 x 2） （y1 y 2） x1 x2 y1 y2 八、向量的夹角 cos a b 2 2 x12 y12 x2 y2 | a || b |
例：已知 a 、 b 是非零向量且满足 ( a 2 b ) a ，
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120








（D） 150
2 2 分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① 2 2 ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b a b 1 ∴ cos a, b ,∴选(B) ab 2