2022-2023学年北京市西城区北京第四十四中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（一模）一、单选题1．设全集U R =，集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，则集合()U C A B ⋃=A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【正确答案】C【详解】试题分析：∵集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，∴(,2]A B ⋃=-∞，∴()(2,)U C A B ⋃=+∞.集合的并集补集运算.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i 2i z z +=，则z 等于（）．A ．1i -B ．1i +C ．iD ．2i-【正确答案】B【分析】转化为复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意可知，()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-.故选：B3．设121ln ,2,2e a b c e -===，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a c b<<D ．a b c<<【正确答案】C引入中间变量0和1，即可得到答案；【详解】 121ln 0,21,012e a b c e -=<=><=<，∴a c b <<，故选：C.4．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A ．12B ．2C D 【正确答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为r ，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为2l r =，则圆锥和圆柱的高为h ==，所以圆锥的侧面积为2112π2π2S r l r =⨯⨯=，圆柱的侧面积为222πS r h r =⨯=，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为123S S =,故选:C.5．下列函数中，与函数()122xxf x =-的奇偶性、单调性均相同的是（）．A ．e xy =B ．tan y x =C ．2y x =D ．3y x =【正确答案】D【分析】判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再判断选项AC 的奇偶性，排除AC ，判断选项B 的单调性，排除B ，判断选项D 的奇偶性和单调性确定结论.【详解】函数()122xxf x =-的定义域为R ，定义域关于原点对称，由()()112222xx x x f x f x ---=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为函数2x y =为R 上的增函数，函数12xy =为R 上的减函数，所以函数()f x 为R 上的增函数，对于A ，设()e xg x =，函数()e xg x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，因为()1e g =，()11eg -=，因为()()11g g ≠--，所以函数e x y =不是奇函数，A 错误；对于B ，设()tan h x x =，则()()0π0h h ==，故函数tan y x =不是其定义域上的增函数，B 错误；对于C ，设()2x x ϕ=，函数()2x x ϕ=的定义域为R ，定义域关于原点对称，因为()()()22x x x x ϕϕ-=-==，所以函数()2x x ϕ=为偶函数，C 错误；对于D ，设()3F x x =，则()3F x x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，又()()()33x F x x F x =--=-=-，所以函数()3F x x =为奇函数，又函数()3F x x =为R 上的增函数，D 正确；故选：D.6．ABC 中，“A 为锐角”是“sin 0A >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】由三角形的几何性质和任意角的三角函数的定义结合充分性和必要性进行辨析即可.【详解】在ABC 中，由“A 为锐角”，易得“sin 0A >”，∴“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分条件；在ABC 中，由“sin 0A >”，不能得出“A 为锐角”（如sin 10A =>，A 为直角，实际上，当()0,πA ∈时，sin 0A >恒成立），∴“A 为锐角”不是“sin 0A >”的必要条件；综上所述，“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分不必要条件.故选：A ．7．已知{}n a 是首项为正数，公比不为1±的等比数列，{}n b 是等差数列，且1155,a b a b ==，那么（）A ．33>a bB ．33a b =C ．33a b <D ．33,a b 的大小关系不能确定【正确答案】C【分析】由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足11a b =，55a b =，由等差数列和等比数列的性质可得1532b b b +=，2153a a a =，由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，又公比1q ≠，故15a a ≠，上式取不到等号，所以3322b a >，即33a b <.故选：C8．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OB OC +=，则a 的值为（）．A ．1B C ．2D ．4【正确答案】C【分析】首先利用数量积公式求1cos ,2OA OB =- ，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由条件可知，OA OB OC === ，所以()22OA OBOC +=，则2222OA OB OA OB OC ++⋅= ，则2cos ,a a a OA OB a ++= ，解得1cos ,2OA OB =- ，0,180OA OB ≤≤oo uu r uu u r Q ,所以,120OA OB = ,所以圆心()0,0到直线1x y +=的距离2d ==，得2a =.故选：C9．12,F F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A B C ．2D【正确答案】B【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'1F 的坐标，写出以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【详解】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:bl y x a=因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点所以1F （-c ，0），2F （c ，0）因为1F 关于直线l 的对称点为'1F ，设'1F 为（x ，y ）则001,22y b y b x cx c a a -+-⋅=-=⋅+解得222,b a ab x y c c-==-所以'1F 为（222,b a abc c--）因为'1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()222x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得222222b a ab c bc c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得225a c =，所以e ==所以选B本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【正确答案】C【分析】根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误.【详解】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C.本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题.二、填空题11．抛物线220x y +=的准线方程为__________．【正确答案】12y =.【分析】将抛物线的方程化为标准形式，再求其直线方程.【详解】抛物线220x y +=的标准方程为22x y =-，所以其准线方程为12y =.故答案为.12y =12．在41⎛⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中，第四项为__________．【正确答案】3232x --【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.【详解】在41⎛ ⎝的二项展开式中，第四项为333244C 132T x -⎛=⋅⋅=- ⎝.故答案为.3232x --三、双空题13．在ABC 中，sinB =45C =︒，点D 在边BC 的延长线上，AD =1CD =，则sin DAC ∠=____________，AB =____________．【正确答案】102【分析】在ADC △中，利用正弦定理可求sin DAC ∠；由45ADC DAC ∠=︒-∠，结合两角差的正弦公式，求出sin ADC ∠，在ABD △中，利用正弦定理即可求解.【详解】在ADC △中，由sin sin AD DCACD DAC=∠∠，即1sin135sin DAC=︒∠，故sin 10DAC ∠=；因为045DAC ∠<<︒，所以cos DAC ∠==，又因为()sin sin 4522ADC DAC ∠=︒-∠==在ABD △中，sin sin AB ADADC B=∠∠，55=AB =故10；2.本题考查正弦定理和三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知函数1()2x f x x=-，则1(2f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(,)1n n n n -+上存在零点，则正整数n =_____.【正确答案】>2【分析】根据函数的单调性结合条件可得()112f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，然后根据零点存在定理结合条件即得.【详解】因为1()2xf x x=-在()0,∞+上单调递减，所以()()11211122f f f f ⎛⎫⎛⎫==-⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令2n =，则1202f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，而2323(232f =-，又33233272=428⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以203f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()f x 在区间1,1n n n n -⎛⎫⎪+⎝⎭上存在零点，此时2n =.故>；2.四、填空题15．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ．下列结论中正确的是__________．①若曲线C 是一个点，则点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为4π；②若曲线C 是一个半径为2的圆，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为9π；③若曲线C 是一个长度为2的线段，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为π4+；④若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为54π+-【正确答案】①③④【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集D 构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，对于①，若曲线C 表示点(),a b ，则(),2d P C ≤，化简可得()()224x a y b -+-≤，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形是以点(),a b 为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为2π24π⨯=，①对；对于②，若曲线C 表示以点(),M a b 为圆心，半径为2的圆，设Q 为曲线C 上一点，当点P 在曲线C 内时，2PQ MQ MP MQ MP MP =-≥-=- ，当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，所以，(),21d P C MP =-≤，可得1MP ≥，此时12MP ≤<；当点P 在曲线C 外时，2PQ MQ MP MP MQ MP =-≥-=-，当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，所以，(),21d P C MP =-≤，可得3MP ≤，此时23MP <≤，当点P 在曲线C 上时，线段PQ 的长不存在最小值，综上所述，12MP ≤<或23MP <≤，即()()2214x a y b ≤-+-<或()()2249x a y b <-+-≤所以，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形是夹在圆()()221x a y b -+-=和圆()()229x a y b -+-=的区域（但不包括圆()()224x a y b -+-=的圆周），此时，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为()22π318π⨯-=，②错；对于③，不妨设点曲线C 为线段AB ，且2AB =，当点Q 与点A 重合时，由①可知，则点集D 表示的是以点A 为圆心，半径为1的圆，当点Q 与点B 重合时，则点集D 表示的是以点B 为圆心，半径为1的圆，故当点Q 在线段AB 上滑动时，点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形EFGD 和两个半径为1的半圆所围成的区域，此时，点集D 的面积为22π12π4⨯+=+，③对；对于④，若曲线C 是边长为9的等边三角形，设等边三角形为ABC ，因为π2BAD CAE ∠=∠=，π3BAC ∠=，则2π3DAE ∠=，由③可知，点集D 构成的区域由矩形ABRD 、ACFE 、BCWL ，以及分别由点A 、B 、C 为圆心，半径为1，圆心角为2π3的三段圆弧，和夹在等边三角形ABC 和等边三角形STU 中间的部分（包括边界），因此，且1SG =，πtan33AG SG ==293HG AB AG =-=-所以，点集D 所表示的图形的面积为(2223π1391992354π334⎡⎤⨯+⨯⨯+--=+-⎢⎥⎣⎦.故①③④.关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集D 所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.五、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若F 为线段BC 上靠近B 的三等分点，求二面角E AF B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)1111.【分析】（1）根据给定条件，证明PA BC ⊥，结合线面垂直的性质、判定证得⊥AE 平面PBC ，再由面面垂直的判断推理作答.（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】（1）因PA AB =，E 为PB 中点，则AE PB ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，而BC ⊂底面ABCD ，则有PA BC ⊥，又因BC AB ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，于是得BC ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAB ，因此BC AE ⊥，又BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，从而得⊥AE 平面PBC ，AE ⊂平面AEF 所以平面AEF ⊥平面PBC ．（2）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设6PA AB ==，则(0,0,0),(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)A E F P ，(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)AE AF AP ===，因PA ⊥底面ABCD ，则平面AFB 的法向量为(0,0,6)AP =，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则·330·620AE n x z AF n x y ⎧=+=⎨=+=⎩，令=1x -，得(1,3,1)n =-，设二面角E AF B --的平面角为θ，显然θ为锐角，则||cos |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==，所以二面角E AF B --的余弦值为11．17．已知函数()πsin 6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πs 6co g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得()f x 的最小正周期为π．求：(1)()f x 的单调递增区间；(2)()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围及零点．条件①：()()()f x h x x =+；条件②：()()()f x g h x x =⋅；条件③：()()()=-f x h x g x ．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)5ππ[π,πZ 1212k k k -+∈(2)1[]2，π3【分析】（1）选②，根据二倍角的正弦公式化简得1π()sin(2)23f x x =+，利用正弦型函数图像与性质求单调区间；（2）根据自变量范围求出23x π+的范围，利用正弦函数的图像性质求值域；【详解】（1）选①：ππππ()()()sin())2sin()6663f x h x x x x x =+=+++=++π2sin(2cos 2x x =+=，不满足()f x 的最小正周期为π．选③：πππππ()()()sin()cos()666412f x h xg x x x x x =-=+-+=+-=-，不满足()f x 的最小正周期为π．选②：ππ1π()()()sin cos sin(26623f x h x g x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()f x 的最小正周期为π．令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈,解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k -+∈（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2333x ≤+≤，所以πsin(213x +≤，所以1π1()sin(2[232f x x =+∈.π2π2π,Z 3x k k +=+∈且π[0,]2x ∈,所以零点是π3.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第k 天传统艺术活动的概率为()1,2,3,4,5k P k =，当k P 取得最大值时，写出k 的值，及对应的k P 值．（直接写出答案即可）【正确答案】(1)712(2)分布列答案见解析，()74E X =(3)2k =【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）结合相互独立事件概率公式求出12345,,,,P P P P P ，即可求解.【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A 为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为()175730012P A ==.（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为15，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为45，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为34，由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，所以，()1431011155425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()143143143291111111554554554100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-⋅⋅-+--⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()14314314311211155455455420P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1433355425P X ==⋅⋅=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P125291001120325因此，()129113701232510020254E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：由题可知，10.80.40.150.048P =⨯⨯=，20.450.60.50.135P =⨯⨯=，30.550.60.40.132P =⨯⨯=，40.20.80.750.12P =⨯⨯=，50.450.40.30.054P =⨯⨯=，故15432P P P P P <<<<，所以当k P 取得最大值时，2k =.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()12,0A -和(0,B 两点，点2A 为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线1PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)比较1MNA 的面积与2NA B △的面积的大小，并说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=，离心率12c e a ==；(2)相等，理由见解析【分析】（1）根据,a b求椭圆方程，以及离心率；（2）首先设点P 的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.【详解】（1）由题意可知，2,a b ==，1c ==，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；（2）设()00,P x y 直线()010:22y PA y x x =++，令0x =，得0022M yy x =+，直线:PB 0033y y x x +=-，令0y =，得0033N x x y =+，所以100003212223MNA x y S x y ⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭ ()()00000032223x y y x x y =++++()()()00000032323x y y y x y ++=++，()200003312332323NBA x x S y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭()()000233323y x y +-=+12MNA NBA S S - ()()()00000032323x y y y x y ++=++()()00233323y xy +--+()()2200004312223y x x y +-==++所以12MNA NBA S S = 20．已知函数()sin cos =-f x x x x ．(1)求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；(2)求证：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，31()3f x x <；(3)若()cos f x kx x x >-对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的最大值．【正确答案】(1)π0y -=(2)见详解(3)见详解【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求()πf '的值；（2）首先设函数()()313g x f x x =-，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数()max 0g x <，（3）首先不等式等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，参变分离后转化为sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，利用导数求函数sin ()xh x x=的最小值，转化为求实数k 的最大值.【详解】（1）()cos (cos sin )sin f x x x x x x x'=--=()π0f '=，即切线的斜率为0，又因为()πsin ππcos ππf =-=所以切线方程为：()π0πy x -=-，即π0y -=.（2）令31()()3g x f x x =-，则()()()22sin sin g x f x x x x x x x x ''=-=-=-，当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-<所以()t x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<=即sin x x <，所以()0g x '<所以()g x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，所以()(0)0g x g <=，所以31()3f x x <.（3）原题等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，即sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，令sin ()xh x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-.易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<，故()h x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，所以π22πk h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.综上所述，k 的最大值为2π.21．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．【正确答案】（Ⅰ）生成列为0,1,2,1,4,3--；母列为3,2,4,1,6,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）根据所给定义计算可得；（Ⅱ）设1a ，2a ，⋯，n a 的生成列是1b ，2b ，⋯，n b ；1a '，2a '，⋯，n a '的生成列是与1b '，2b '，⋯，n b '，从右往左数，设排列1a ，2a ，⋯，n a 与1a '，2a '，⋯，n a '第一个不同的项为k a 与k a '，由满意指数的定义可知i a 的满意指数，从而可证得且k k a a ≠'，于是可得排列1a ，2a ，⋯，n a 和1a '，2a '，⋯，n a '的生成列也不同．（Ⅲ）设排列1a ，2a ，⋯，n a 的生成列为1b ，2b ，⋯，n b ，且k a 为1a ，2a ，⋯，n a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，10b ⇒，20b ，⋯，10k b -，1k b -，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用i a 的满意指数1i b i -，可知整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -+++⋯+-=，从而可使结论得证．【详解】（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--；排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，L ，11k k a a ++'=，k k a a '≠．显然n nb b '=，11n n b b --'=，L ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以l l '≠，从而k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ．进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ．所以1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。
2025届北京市西城区北京第四十四中学高三适应性调研考试数学试题含解析
2025届北京市西城区北京第四十四中学高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．5C ．6D ．72．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位3．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1204．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C 15D 2156．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =32x y ++的取值范围为（ ）A ．[2453，]B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 7．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)8．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 9．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 10．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n11．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +12．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年春学期北京西城区高三数学高考零模试题卷附答案解析
2023年春学期北京西城区高三数学高考零模试题卷一、单选题1．函数()21x x f x e-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B ⋂元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（）A ．23，-2B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-24．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（）A ．9B ．7C ．92D ．725．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（）A ．3nC B ．21n C +C ．1n nC -D ．3112n C +6．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（）.A ．33B ．72C ．3D ．77．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =A ．8B ．4C ．2D ．18．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-9．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．310．已知函数()2211log 13f x x x⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，则不等式()lg 3f x >的解集为（）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,10,10⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．()1,10D ．()1,11,1010⎛⎫⎪⎝⎭11．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+12．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q ð为（）A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]二、填空题13．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为_______________.14．命题“对任意1x >，21x >”的否定是________．15．在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．16．已知224()ln ,()()e f x x g x x a ==-，如果函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________三、解答题17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90,2ACB AC CB ∠=== ，M ，N 分别为AB ，1AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若平面CMN ⊥平面1B MN ，求直线AB 与平面1B MN 所成角的正弦值.18．已知矩阵1323,2111A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PAD 为等边三角形，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）证明：CM ⊥平面PNB ；（2）问棱PA 上是否存在一点E ，使//PC 平面DEM ，求PEEA的值20．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180︒而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02πθ<<，圆锥的侧面积为2cm S （S 圆锥的侧面积R I π=（R -底面圆半径，I -母线长））（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度21．已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，()*12n n a a n N +=∈，()*1231111123n n b b b b b n N n+++++=-∈ .（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n c 的前n 项和为n T ，且21,,1,,n n n nn b b c n a +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，若对*n ∈N ，22n k T T ≥恒成立，求正整数k 的值.22．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，2PC CD ==，E 为AB 的中点，底面四边形ABCD 满足90ADC DCB ∠=∠=︒，1AD =，3BC =．(1)求证：平面PDE ⊥平面PAC ；(2)求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值；(3)求二面角D PE B --的余弦值．一、单选题1．D【分析】由题意可得函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．【详解】解： ()()()21xx f x f x e ----=≠，所以()f x 的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C ，又因为()22212320f e e--==<，排除A.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.2．B【解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2x y =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B ⋂元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.3B【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值.【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-，当2x =-时，()f x 有最小值9-.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.4．C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥.又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知23AE x =+，23ED y =+.在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=，即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，212SE x =+，22933ED y x =+=+.所以221110834522SED S SE ED x x∆=⋅=++.因为222210810832336x x x x+≥⋅=，当且仅当6x =，62y =时等号成立，所以19364522SED S ∆≥+=.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.5．B【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++== ．故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．6．C【解析】易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2FO FB FA =+，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形，所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，故||2AF a =，||4BF a =，1()2FO FB FA =+，所以2221(41624)4c a a a a =+-⨯，即223c a =，故离心率为3e =.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题.7．B【分析】根据抛物线定义得62pAF =+，即可解得结果.【详解】因为262pAF p ==+，所以4p =.故选B【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.8．B【解析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意；当0m >时，直线10x my ++=的斜率10m-<，不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意；当0m <时，直线10x my ++=的斜率10m->，不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率12AD k m -≤=，解得12m ≤-.综上可得实数m 的取值范围为1(,]2-∞-，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题9．A【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD △为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE t DC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2025届北京市西城14中高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2025届北京市西城14中高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．222．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤3．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．64．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ∉∉，且B ．2223S S ∉∈，且C ．2223S S ∈∉，且D ．2223S S ∈∈，且5．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156B ．124C ．136D ．1806．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 7．在等腰直角三角形ABC 中，,22C CA π∠==D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）. A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π8．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．239．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos 2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．4510．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．12．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届北京西城44中高考数学倒计时模拟卷含解析
2025届北京西城44中高考数学倒计时模拟卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的2，则E 的离心率为( ) A 3B ．12 C ．22 D ．234．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．8 5．下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x =6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 7．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④8．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李 9．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( )A ．－30B ．－40C ．40D ．5010．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅11．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) ABCD12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12 B ．32 C ．12± D ．32± 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京四中2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
北京四中2025届高三下学期第五次调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A ．点M 在圆C 上B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能2．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23B ．17C ．20D ．633．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max372a c+-=B ．max372a c-+=C ．min372a c+-= D ．min372a c-+=5．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直6．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差7．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定8．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅9．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆，但要去掉两个点B ．椭圆，但要去掉两个点C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点10．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要11．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ） A ．22- B ．1C ．0D ．2-12．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023_2024学年北京市西城区高三下册数学仿真模拟测试卷(一模)含解析
2023_2024学年北京市西城区高三下册数学仿真模拟测试卷（一模）一、单选题1．函数的图象大致为（ ）()21xx f x e -=A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判()f x y 断可得结果．【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项 ()()()21x x f x f x e ----=≠()f x y B ，C ，又因为，排除A.()22212320f e e --==<故选：D.本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.2．已知集合，则元素个数为{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===A B ⋂A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数的2xy =图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，A B ⋂故选：B.本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.3．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）()231f x x x =-+[]2,1-A ．，-2B ．，-9C ．-2，-9D ．2，-22323-【正确答案】B【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.[]2,1-【详解】依题意，，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩作出函数的图象如下所示；()f x 由函数图像可知，当时，有最大值，13x =-()f x 23-当时，有最小值.2x =-()f x 9-故选：B.本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.4．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径S ABCD -SA ⊥ABCD E BC AD的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）E 3SA ==SED ∆A ．9B ．7C ．D ．9272【正确答案】C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量,BE EC 关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.,BE EC SED 【详解】设，，则.BE x =EC y =BC AD x y ==+因为平面，平面，所以.SA ⊥ABCD ED ⊂ABCD SA ED ⊥又，，所以平面，则.AE ED ⊥SA AE A ⋂=ED ⊥SAE ED SE ⊥易知AE =ED =在中，，Rt AED ∆222AE ED AD +=即，化简得.22233()x y x y +++=+3xy =在中，，.Rt SED ∆SE =ED ==所以.12SED S SE ED ∆=⋅=因为，22108336x x +≥=当且仅当，.x =y =92SED S ∆≥=故选：C.本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.5．的展开式中的一次项系数为（ ）()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈xA ．B ．C ．D ．3nC21n C+1n nC-3112n C +【正确答案】B【分析】根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合x n 数公式得出结论．【详解】由题意展开式中的一次项系数为．x 21(1)122n n n n C +++++== 故选：B ．本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．6．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>F C A 它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是O B 120AFB ∠=︒||2||BF AF =C （ ）.A B C D 【正确答案】C易得，，又，平方计算即可得到答案.||2AF a =||4BF a =1()2FO FB FA =+ 【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得为平行四边形，AEBF 所以，又，||||||||2BF AF BF BE a -=-=||2||BF AF =故，，，||2AF a =||4BF a =1()2FO FB FA =+所以，即，2221(41624)4c a a a a =+-⨯223c a =故离心率为e =故选：C.本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.,,a b c7．抛物线的焦点为，点是上一点，，则2:2(0)C y px p =>F ()06,A y C||2AF p =p =A ．B ．C ．D ．8421【正确答案】B【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.62pAF =+【详解】因为，所以.262pAF p ==+4p =故选B本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.8．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩()00,x y 不等式成立，则实数的取值范围为（ ）0010x my ++≤m A ．B ．C ．D ．5(,]2-∞-1(,]2-∞-[4,)+∞(,4]-∞-【正确答案】B依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负0010x my ++≤()1,0D -m 进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，()2,6A 10x my ++=()1,0D -当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；0m =10x +≤10x +=当时，直线的斜率，0m >10x my ++=1m -<不等式表示直线下方的区域，不满足题意；10x my ++≤10x my ++=当时，直线的斜率，0m <10x my ++=1m ->不等式表示直线上方的区域，10x my ++≤10x my ++=要使不等式组所表示的平面区域内存在点，()00,x y 使不等式成立，只需直线的斜率，解得.0010x my ++≤10x my ++=12AD k m -≤=12m ≤-综上可得实数的取值范围为，m 1(,]2-∞-故选：B.本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题9．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21163225163【正确答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积ABD △BCD △分拆，设，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
北京市西城区第四十四中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
北京市西城区第四十四中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度2．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．563．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．若圆锥轴截面面积为2360°，则体积为( )A 3B 6C 23D 265．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．636．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-B ．25或25- C ．1或25-D ．1-或257．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++8．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．23C ．33D ．7339．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦10．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．89-11．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020 B ．4038C ．4039D ．404012．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为A ．14B ．58C ．38D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2023年高考数学模拟试卷 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．123．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12 D ．62564．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位5．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AFBF=（ ）A ．54B ．43 C ．32 D ．26．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种 C ．37种 D ．47种8．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ） A ．54 B ．5C ．5D ．529．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021 B ．2021 C ．919 D ．181910．函数()32f x x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．211．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设nS 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______.14．函数()x f x e x b =--（e 为自然对数的底数，b R ∈），若函数()()12g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恰有4个零点，则实数b 的取值范围为__________________.15．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，2a =3sin A =，6b =，则ABC 的面积为__________.16．在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．18．（12分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-. （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程；②比较()f m 与1()f m 的大小;（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x ，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,43x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 20．（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值. 21．（12分）已知函数()()ln 1f x m x x=+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.22．（10分）已知数列{}n a 满足()12122n n n a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和()12n n n b b S +=，（*n N ∈），且11b =，22b =．（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）求数列{}n b 的通项公式．（3）设111n n n n c a b b +=-⋅，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的*n N ∈均有m n T T ≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B 【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图． 2、A 【解析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =，方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰，矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='.故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 3、A 【解析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===.因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题. 4、A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.5、C【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH=，所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFBπα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 6、C 【解析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠．【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴1522PC -+==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．7、C 【解析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 8、C 【解析】 由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，102m m -=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C的离心率为c e a ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9、A 【解析】分析：通过对an ﹣an+1=2anan+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10、A 【解析】求出函数在1x =处的导数后可得曲线在()()1,1f 处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】()2321f x x x '=-+，故()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()()21121y x f x =-+=-.令0x =，则1y =-，故切线的纵截距为1-.故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与y 轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题. 11、A 【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.12、C 【解析】 当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a =-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意； 当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且32011(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-．故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。