2022届济宁市高三第五次模拟考试数学试卷含解析
山东省济宁市2022届高三模拟考试(三模)数学试题(含答案解析)
山东省济宁市2022届高三模拟考试（三模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}22A x x =-≤<，{}ln 0B x x =≥，则A B =（ ） A ．[)2,2- B ．()0,1 C ．[)1,2D ．[]1,22．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．12-D ．123．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 4．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）A ．240B ．480C ．1440D ．28805．已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．4-D ．46．已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ．78D ．78-7．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ） A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:48．若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（ ）A ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n .按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16.则下列结论正确的是（ ）A ．样本容量1000n =B ．图中0.030x =C ．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D ．该市要对成绩由高到低前20%的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B ．直线1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴 C ．若()()122f x f x -=，则21x x -的最小值为2π D ．直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点11．已知直线y b =+与圆2216x y +=交于A 、B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），则实数b 的取值可以是（ ）12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}2n S 是等差数列B ．1n n a a +< C．1n S ≤D ．满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10 三、填空题13．设随机变量()2~,X N μσ，若()()02P X P X <=>，则()1P X ≤=________.14．已知函数()()2,05,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =________.15．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP =________. 四、双空题16．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF的最大值为________.五、解答题17．已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)在锐角ABC 中，若()f A =AC =BC =ABC 的面积. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =，数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和.19．如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =30BAD ∠=，以对角线BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且PC =(1)求证：PD BC ⊥；(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积. 20．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为34，23，12，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为35，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为25，且每关闯关成功与否互不影响.(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；(2)设小李所得总奖金为X ，求随机变量X 的分布列及其数学期望.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆E 的右焦点，点Q 在椭圆E 上，且QF 的最大值为3，椭圆E 的离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)若过点A 的直线与椭圆E 交于另一点P （异于点B ），与直线2x =交于一点M ，PFB ∠的角平分线与直线2x =交于点N ，求证：点N 是线段BM 的中点.22．已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .(1)当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；(2)若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合B ，再根据交集的定义即可得解. 【详解】解：{}{}ln 01B x x x x =≥=≥， 所以[)1,2A B =. 故选：C. 2．D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的概念可得出复数z 的虚部. 【详解】 由已知可得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+， 因此，复数z 的虚部为12. 故选：D. 3．A 【解析】 【分析】求出双曲线C 渐近线的斜率，与已知直线斜率的乘积等于-1，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的方程为：b y x a=±，斜率为1bk a = 和b a - ，直线210x y -+= 的斜率为22k = ，因为两直线垂直， 则有121k k =- ，即21ba⨯=- ，（0,0a b ＞＞ ，显然这是不可能的），或21,2b a b a ⎛⎫⨯-=-= ⎪⎝⎭ ，222222255,,44c c a b a e e a =+=∴===； 故选：A.4．B 【解析】 【分析】将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，将a 、b 元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果.【详解】因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a ，另外1个“冰墩墩”记为元素b ，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排，然后将a 、b 元素插入这4位运动员所形成的空中，且a 、b 元素不相邻，则不同的排法种数为4245A A 480=.故选：B. 5．B 【解析】 【分析】由二次函数的值域可得出101a c =>-，可得出1c >，则有1441c a c c+=+-，利用基本不等式可求得结果. 【详解】若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，因为二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，且()min 44114ac ac f x a a --===，所以，1ac a -=，可得101a c =>-，则1c >，所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，因此，14a c+的最小值为3.故选：B. 6．D 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求值.22517sin 2sin 2cos 22cos 1216323648πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 7．C 【解析】 【分析】正六棱柱有内切球，则O 到每个面的距离相等，即11OO O D =，可求内切球的半径，根据22211OA OO O A =+可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．【详解】如图：12,O O 分别为底面中心，O 为12O O 的中点，D 为AB 的中点 设正六棱柱的底面边长为2若正六棱柱有内切球，则11OO O D =r =222117OA OO O A =+=，即外接球的半径R =则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为22224π:4π:7:3R r R r == 故选：C ．8．A 【解析】由题意可得函数()f x 在[)2,+∞上递减，且关于2x =对称，则3522f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用作差法比较235log 31,,log 412++三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.【详解】解：由对[)12,2,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[)2,+∞上递减， 又函数()2f x +为偶函数， 所以函数()f x 关于2x =对称， 所以3522f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2233log 61log 32,log 121log 42=+>=+>，因为3222222253log 31log 3log 3log 2log 3log 022+-=-=-=-，所以25log 312+>，因为3233333353log 41log 4log 4log 3log 4log 022+-=-=-=-<，所以25log 312+<，所以235log 6log 1222>>>， 所以()()235log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 9．BC 【解析】 【分析】根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A ；根据频率之和等于1，即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意得()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，即可判断D.对于A ：因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量161000.01610n ==⨯，故A 不正确；对于B ：因为()0.0160.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.030x =，故B 正确； 对于C ：学生成绩平均分为：0.0161055+0.0301065+0.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ：因为()()100.0040.01080780.0400.220.20⨯++-⨯=>，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D 不正确. 故选：BC. 10．BCD 【解析】 【分析】由图象求出函数()f x 的解析式，利用三角函数图象变换可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；利用正弦型函数的周期性可判断C 选项；求出()12f x =在100,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时23x π+的可能取值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由图可知，函数()f x 的最小正周期为4126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则22πωπ==， 又因为sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22ππϕ-<<，则2363πππϕ-<+<，所以，62ππϕ+=，则3πϕ=，所以，()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到，A 错；对于B 选项，11113sin sin 112632f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，直线1112x π=-是()f x 图象的一条对称轴，B 对； 对于C 选项，因为()()()()12max min 2f x f x f x f x -==-，所以，21x x -的最小值为22T π=，C 对； 对于D 选项，当1003x π≤≤时，2733x πππ≤+≤，由()1sin 232f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可知23x π+的可能取值集合为5131725293741,,,,,,6666666πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，所以，直线12y =与函数()y f x =在100,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有7个交点，D 对. 故选：BCD. 11．BC 【解析】 【分析】设2AOB θ∠=，可得04πθ<<，求得()4cos d θ=∈，利用点到直线的距离公式可得出关于b 的不等式，解出b 的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设2AOB θ∠=，则022πθ<<，可得04πθ<<，设圆心到直线AB 的距离为d ，圆2216x y +=的圆心为原点，半径为4，所以，()4cos d θ=∈，由点到直线的距离公式可得2b d ==，所以，42b<，解得8b -<<-8b <. 故选：BC. 12．ACD 【解析】 【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断A ；由A 知，n S ，所以n a =，1n a +=B ；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10xx x ≥+≥，构造函数()()e 10x f x x x =--≥，求解判断即可；根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解判断即可. 【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，所以()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，所以=n S ，故A 正确；当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a 又111S a ==，所以n a ==1n a +=>1n n a a +<，故B 不正确；因为1n S ≤，n S1，令()10x x ≥，所以原不等式为：()e 10x x x ≥+≥，即()e 100xx x --≥≥，令()()e 10x f x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，所以1n S ≤成立，故C 正确；因为n S，所以2n S +=1222222log log log n n n S n b S n ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥， 当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>， 所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故D 正确. 故选：ACD.给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 13．0.5##12【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求得μ，即可得出答案. 【详解】解：因为随机变量()2~,X N μσ，()()02P X P X <=>，所以1μ=， 所以()10.5P X ≤=. 故答案为：0.5.14．18##0.125【解析】 【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()2022f 的值. 【详解】因为()()2,05,0x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()31202220222025328f f f -=-=-==.故答案为：18.15 【解析】 【分析】根据题意得34AP mAC AD =+，求出14m =，所以1142AP AC AB =+，即21142AP AC AB ⎛⎫=+ ⎪，求解即可.因为23AD AB =，所以32AB AD =，又12AP mAC AB =+，即1324AP mAC AB mAC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上， 所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形， 所以222211111cos60421644AP AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故7AP = 16．32##1.5 【解析】 【分析】空1：设直线联立方程可得2124p y y =，根据题意可得211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入可解得32p =；空2：根据抛物线定义1sin MFMDMN MN MND==∠取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切，利用导数求切线分析求解． 【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 为2py kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去x 得()2222104p y k py -++=，可得2124p y y = ∵33AF BF ==，则可得：211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1sin MFMDMN MN MND==∠若MN MF取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切23x y =，即23x y =，则23y x '=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2000233x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得22023433x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4MND ∠=则1sin MFMDMN MN MND==∠故答案为：32．17．(1)π【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由已知条件结合角A 的取值范围可求得角A 的值，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. (1)解：因为()21sin cos cos sin sin sin cos 332f x x x x x x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭)1cos 2111sin 2sin 22sin 244423x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以，函数()f x 的最小正周期为22ππ=. (2)解：因为()1sin 223f A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 23A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为02A π<<，则22333A πππ-<-<，233A ππ∴-=，可得3A π=，由余弦定理可得222232cos23BC AB AC AB AC AB π==+-⋅=+，即210AB -=，因为0AB >，解得AB =， 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222cos 02AC BC AB C AC BC +-=>⋅，则角C 为锐角，所以，11sin 22ABC S AB AC A =⋅==△ 18．(1)3n n a =，2n n b =(2))187n -【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{}n a 的通项公式，利用前n 项和与通项的关系可求得数列{}n b 的通项公式；（2）设32313n n n n p c c c --=++，推导出数列{}n p 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{}n c 的前3n 项和. (1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3161216157a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d ==，所以，()111333n na n =+-=，当1n =时，21222b ，当2n ≥时，112122n n n b b b b +-++++=-，可得12122n n b b b -+++=-，上述两个等式作差可得1222n n nn b +=-=，12b =也满足2n n b =，故对任意的N n *∈，2n n b =.(2)解：由（1）可得2tan3nn n c π=，设(323132323132202n n n n n n n p c c c -----=++=⨯+=，所以，18n n p p +=，所以，数列{}n p 是等比数列，且首项为1p =-为8，因此，数列{}n c的前3n项和为))31818187n n n T ---==-.19．(1)证明见解析(2)14【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得AD BD ⊥，结合平形四边形的几何性质可得出BC BD ⊥，利用勾股定理可得出PD CD ⊥，利用线面垂直的判定和定义可证得结论成立；（2）以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PE PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，确定点E 的位置，然后利用锥体的体积公式可求得结果. (1)证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠43221=+-⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，在PCD 中，PC =PD =2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥，因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥. (2)解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，BC 、BD 、DP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B、)C 、()0,1,0D、(P ，设()1,,,PE PC λλλ==-=-，其中01λ≤≤，()),,,1BE BP PE λλ=+=+-=-，设平面BDE 的法向量为(),,m x y z =，()0,1,0BD =， 则())0310m BD y m BE x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,0,m λλ=-，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1n =， 由已知可得cos ,22m n m n m nλ⋅<>===⋅01λ≤≤，解得12λ=，所以，E 为PC 的中点，因此，1111111223624E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯=△.20．(1)21100(2)分布列见解析；()630E X =. 【解析】 【分析】（1）根据题意包含两种情况，第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，分别求概率相加即可求解；（2）根据题意得X 的可能取值为：0，600，1500，3000，再分别求每个随机变量对应的概率，再求分布列和期望. (1)根据题意得，小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，其概率为：13323145320P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，其概率为：233221314535250P ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；记“小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A ：则()1233212050100P A P P =+=+=. (2)根据题意得：X 的可能取值为：0，600，1500，3000，所以()33323322123011144534535250P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()33360014510P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()33229150********P X ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()33221330004535250P X ==⨯⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以X 的期望为：()2339306001500300063050105050E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E 的方程；（2）设点P 在x 轴上方，对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF 的斜率存在时，分析可得221NFPF NFk k k =-，设出直线AP 、FN 的方程，求出点P 、M 、N 的坐标，由已知条件可得出M 、N 坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF 的斜率不存在时，直接求出M 、N 的坐标，即可证得结论成立. (1)解：由已知可得max 222312QF a c c a a b c⎧=+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆E 的方程为22143x y +=. (2)证明：由对称性，不妨设点P 在x 轴上方.∵当直线PF 的斜率存在时，因为PFB ∠的角平分线为FN ，所以，2PFB NFB ∠=∠， 所以，22tan tan 1tan NFB PFB NFB∠∠=-∠，即221NF PF NF k k k =-， 设直线AP 的方程为()2y k x =+，其中0k ≠，联立()2223412y k x x y ⎧=+⎨+=⎩可得()2222431616120k x k x k +++-=， 设点()11,P x y ，则2121612243k x k --=+，所以，2126843k x k -=+，则()11212243ky k x k =+=+，即点2226812,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k P k k ， 所以，2122121243468114134PFky k k k k x k k +===----+， 设直线FN 的方程为()1y m x =-，则点()2,N m 、()2,4M k ，因为221NF PF NF k k k =-，则2242141k mk m=--，整理可得()()2210k m km -+=， 因为0km >，所以，2m k =，所以，142N M y m y k ==， 所以，点N 为线段BM 的中点；∵当直线PF 的斜率不存在时，不妨设点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AP 的方程为()122y x =+，所以点()2,2M ，又因为直线FN 的方程为1y x =-，所以点()2,1N ， 所以，点N 为线段BM 的中点. 综上可知，点N 为线段BM 的中点. 【点睛】关键点点睛：本题考查线段中点的证明，解题的关键就是对直线PF 的斜率是否存在进行分类讨论，通过设出直线方程，求出M 、N 的坐标，结合线段的中点坐标公式得以证明. 22．(1)证明见解析； (2)e 21a -<< 【解析】 【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. (1)证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； (2)函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x a h x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即答案第17页，共17页 2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 022F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)t ∈时，()0F t '<，()F t单调递减，所以max ()e 1e 10F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122e a <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。
山东省2022届高三数学毕业班5月模拟考试试题答案(pdf)
山东省2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题：题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利（Bernoulli）不等式为：1212(1)(1)(1)1n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+，其中实数1x ，2x ，...，n x 同号，且均大于1-.特别地，当*n ∈N ，且1x >-时，有(1)1n x nx +≥+.已知伯努利不等式还可以推广为：设x r ∈R ，，若1r ≥，且1x >-，则(1)1r x rx +≥+.设a ，b 为实数，则下列结论正确的为A ．任意(0,)a ∈+∞，且任意[1,)b ∈+∞，都有1(1)(1)2(1)b b a b a +++≥+B ．任意(1,)b ∈+∞，存在(0,)a ∈+∞，使得1b a b ab +<+C ．任意(0,1]a ∈，且任意(1,)b ∈-+∞，都有(1)1a b ab +≤+D ．任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1()1b b a a b ≤-+解析：（1）考查选项A ：若1b ≥，则(1)1b a ab +≥+，且1(1)1bb a a+≥+，∴11(1)(12(b b a a b a a +++≥++，又0a >，由基本不等式可知12a a+≥，∴1(1)(1)2(1)b b a b a+++≥+，故选项A 正确；（2）考查选项B ：∵0a >，∴11a ->-，又1b >，∴(11)1(1)b b a a b a =+-≥+-，∴1b a b ab +≥+恒成立，故选项B 错误；（3）考查选项C ：∵01a <≤，且1b >-，∴11a≥，且1ab >-，∴11(1)11aab ab b a+≥+⋅=+，即101(1)a b ab <+≤+，∴(1)1ab ab +≤+，故选项C 正确；（4）考查选项D ：①若*b ∈N ，则当a b =时，不等式1()1b b aa b ≤-+显然成立，②若*b ∉N ，∵1b ≥，∴([1()]1b ba ab a b b b -=+≥+-，∴当(1,)a b b ∈-时，(10b a a b b ≥+->，∴1()1b ba ab ≤-+，记[]b 为不超过b 的最大整数，易知[](1,)b b b ∈-，∴当[]a b =时，1(1b ba ab ≤-+成立，∴任意[1,)b ∈+∞，存在*a ∈N ，且a b ≤，使得1(1b ba ab ≤-+，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .三、填空题：13.22x -或（42x -，2||x -等）；14.；15.0或1；16.2-.16.已知等边△ABC 的边长为2，将其绕着BC 边旋转角度θ，使点A 旋转到A '位置.记四面体A ABC '的内切球半径和外接球半径依次为r ，R ，当四面体A ABC '的表面积最大时，A A '=，rR=.（注：本题第一空2分，第二空3分.）解析：显然当π2A BA '∠=时，四面体A ABC '的表面积最大，此时A A '=，故应填；当四面体A ABC '的表面积最大时（易知四面体A ABC '的表面积最大值为4+，设A A '的中点为O ，易知12OB OC AA '==，∴OB OC OA OA '====，即O 为四面体A ABC '的外接球球心，∴四面体A ABC '的外接球半径R =，∵OB OC ==，且2BC =，∴222BC OB OC =+，∴π2BOC ∠=，易知OC ⊥平面A AB '，∴不难求得四面体A ABC '的体积为12233A AB V S OC '=⋅⋅=，又1(43V r =⋅+⋅=r =，∴2r R ==-，故应填2-.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的首项13a =，其前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设log 3n n a b =，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T .解：(1)（法一）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴当2n ≥时，183n n a S -=+，………………………………………………………………2分∴118()8n n n n n a a S S a +--=-=，即19n n a a +=(2)n ≥，……………………………………3分又∵113S a ==，∴218327a S =+=，∴219a a =，………………………………………4分∴19n n a a +=*()n ∈N ，∴数列{}n a 是以3为首项，9为公比的等比数列，……………5分∴121393n n n a --=⨯=.………………………………………………………………………6分（法二）∵对任意的*n ∈N ，点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上，∴183n n a S +=+，………………………………………………………………………………1分∴183n n n S S S +-=+，即193n n S S +=+，…………………………………………………2分∴1339()88n n S S ++=+，又113327888S a +=+=，∴数列3{}8n S +是以278为首项，9为公比的等比数列，…………………………………3分∴21132739888n n n S +-+=⨯=，∴21338n n S +-=，…………………………………………4分∴当2n ≥时，21212113333388n n n n n n a S S +-----=-=-=，………………………………5分又13a =，亦满足上式，∴213n n a -=*()n ∈N .……………………………………………6分(2)311log 3log 21n n a n b a n ===-，………………………………………………………7分∴11111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+，…………………………………………9分∴12231111111[(1)(()]2335212121n n n n T b b b b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++，即21n nT n =+.………………………………………………………………………10分18．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 1b C c Ba c+=+．(1)求角B 的大小；(2)设D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，已知△BCD的周长为3+且2AE CD =，若5c a <，求a .解：(1)由正弦定理，得sin cos sin sin sin B C C B A C =+，……………………1分∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴πA B C ++=，∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，i n c n s s os s n i i n C B C C B +=，………………………………………………………3分∵(0,π)B ∈，(0,π)C ∈，∴sin 0C ≠cos 1B B -=，…………………………4分∴2πsin 1(6B -=，……………………………………………………………………………5分易知ππ5π66(6,B --∈，∴ππ66B -=，即π=3B .…………………………………………6分(2)设BE m =，BD n =，则2a m =，2c n =，在△ABE 中，由余弦定理，得222222cos 42AE BE BA BE BA B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………………………………7分在△BCD 中，同理有222222cos 42CD BC BD BC BD B m n mn =+-⋅⋅=+-，…………8分∵2AE CD =，∴22194AE CD =，即22224219=424m n mn m n mn +-+-，…………………………………9分整理得221024=0n mn m -+，解得=4n m ，或=6n m ，∵5c a <，即210n m <，∴=4n m ，且CD =，……………11分∵△BCD 的周长为3+，∴2(63m n m ++=+=+∴12m =，∴21a m ==.…………………………………………………………………12分19．（12分）某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK 赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1，2，3，4，5的小球（小球除号码不同之外，其余完全相同）.每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球（摸球者无法摸出小球号码）.若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加*()n n ∈N 个积分，乙被扣除n 个积分.PK 游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK 游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书劵”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励.(1)设PK 游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，记正整数n 的最小值为0n .(i)求0n 的值，并说明理由；(ii)当0n n =时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率.解：(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题可知3()5P A =，2()5P B =，…………………………………………………2分当三局均为甲被扣除2个积分时，6ξ=-，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，4n ξ=-，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，22n ξ=-，当三局均为乙被扣除n 个积分时，3n ξ=，∴3327(6)()5125P ξ=-==，2233254(4)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，1233236(22)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=，328(3)(5125P n ξ===，∴ξ的分布列为ξ6-4n -22n -3nP2712554125361258125………………………6分(2)(i)由(1)易知2754368618()(6)+(4)+(22)31251251251255n E n n n ξ-=-⋅-⋅-⋅+⋅=，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时，则需618()05n E ξ-=>，…………8分∴3n >，即正整数n 的最小值04n =.……………………………………………………9分(ii)当4n =时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则32117()1()5125P C =-=，………………………………………………………………10分由题设可知，若甲获得“购书劵”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，∴1233236()(55125P CD C =⋅⋅=，……………………………………………………………11分∴36()4125()117()13125P CD P D C P C ===，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书劵”奖励的概率为413.……………………………………………………………………12分20．（12分）如图，平面⊥ABCD 平面ABE ，点E 为半圆弧 AB 上异于A ，B 的点，在矩形ABCD中，=AB ，设平面ABE 与平面CDE 的交线为l .(1)证明：∥l 平面ABCD ；(2)当l 与半圆弧 AB 相切时，求二面角--A DE C 的余弦值.解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∥AB CD ，………1分∵⊂AB 平面ABE ，⊄CD 平面ABE ，∴∥CD 平面ABE ，………………………………………………2分又⊂CD 平面CDE ，平面 ABE 平面=CDE l ，………………3分∴∥l CD ，………………………………………………………………………………………4分∵⊂CD 平面ABCD ，⊄l 平面ABCD ，∴∥l 平面ABCD .………………………………5分(2)（法一）取AB ，CD 的中点分别为O ，F ，连接OE ，OF ，则⊥OF AB ，∵平面⊥ABCD 平面ABE ，且交线为AB ，∴⊥OF 平面ABE ，又⊂OE 平面ABE ，⊥OF OE ，当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥OE l ，即⊥OE AB ，…………………………………………7分以OE ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设=BC ，易得(0,1,0)-A，C，(0,-D ，(1,0,0)E ，则(1,1,=DE，= AD ，(0,2,0)= DC ，……………………………………8分设111(,,)=m x y z 为平面DAE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，AD m DE m即111100=+-=⎪⎩，，x y ∴1110=⎧⎨=-⎩，，z x y 令1=1x ，则(1,1,0)=- m ，…………………9分设222(,,)= n x y z 为平面DCE 的一个法向量，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，DC n DEn (第20题图)即2222200=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，y x y∴2220=⎧⎪⎨=⎪⎩，，y x 令2=1z -，则(1)n =- ，…………………10分∴3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>===，………………………………………………11分易知二面角--A DE C 的平面角大小即为,m n <>，∴二面角--A DE C的余弦值为3-.……………………………………………………12分（法二）当l 与半圆弧 AB 相切时，⊥AE EB ，=AE EB，∴=AB ，…………6分∵平面⊥ABCD 平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，且⊥DA AB ，DA ⊂平面ABCD ，∴⊥DA 平面ABE ，又⊂AE 平面ABE ，∴⊥DA AE ，同理，⊥CB BE ，……………………………………………7分不妨设=BC，则===BE AE AD 2==AB DC ，∴由勾股定理得2==DE CE ，……………………………8分取DE 的中点F ，连接AF ，FC ，AC ，则⊥DE AF ，⊥DE CF ，∴∠AFC 是二面角--A DE C 的平面角，…………………………………………………9分易知112==AF DE，32=CF DEAC ==，……………10分∴在△AFC中，有2223cos 3∠==-AFC ，…………………………11分∴二面角--A DE C 的余弦值为33-.……………………………………………………12分21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，设△ABC 的内切圆与AC 相切于点D ，且||1CD =，记动点C 的轨迹为曲线T .(1)求T 的方程；(2)设过点11(,)32R 的直线l 与T 交于M ，N 两点，已知动点P 满足1PM MR λ= ，且2PN NR λ=，若120λλ+=，且动点Q 在T 上，求||PQ 的最小值.解：(1)不妨设△ABC 的内切圆与BC ，BA 分别相切于点E ，F ，由切线长相等可知，||||1CD CE ==，||||AD AF =，||||BE BF =，……………………1分∴||||||||2AD BE AF BF +=+=，∴||||||||||||4||CA CB CD AD CE BE AB +=+++=>，…………………………………2分∴动点C 的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（且C 不在直线AB 上），设动点C 的轨迹方程为：22221(0)x y y a b+=≠，易知2a =，且221a b -=，解得23b =，∴T 的方程为：221(0)43x y y +=≠.………………………………………………………4分(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，00(,)P x y ，∵1PM MR λ= ，∴101011111(,)(,)32x x y y x y λ--=--，若11λ=-，则21λ=，PM MR =-，即P 与R 重合，与PN NR = 矛盾，∴11λ≠-，∴1011131x x λλ+=+，1011121y y λλ+=+，∴1010111132(,)11x y M λλλλ++++，…………………………6分代入22143x y +=，化简得22210010032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………7分同理可得，22220020032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=，…………………………8分∴1λ，2λ为方程222000032(61272)912360x x y x x y -++-++-=的两根，∵120λλ+=，∴00612720x y +-=，即002120x y +-=，即动点P 在定直线1:2120l x y +-=上，…………………………………………………9分显然直线1l 与T 没有交点，令直线2:20(0)l x y m m +-=>，当2l 与T 相切时，记1l ，2l 的距离为d ，则||PQ d ≥，联立2220,1,43x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2242120x mx m -+-=，由22(2)16(12)0m m =---=∆，解得4m =±，又0m >，∴4m =，………………10分此时，解得1x =，32y =，即切点为3(1,2，且直线1l ,2l的距离为d ==||5PQ ≥，当Q 点坐标为3(1,)2，且1PQ l ⊥时，经计算，得1347(,510P ，此时，|PQ ，且不难知道直线PR 即直线l 不过点(2,0)和(2,0)-，符合题设条件，∴||PQ的最小值为5.…………………………………………………………………12分（注：本题未说明点P ，Q 的存在性及未论证直线l 不过点(2,0)和(2,0)-总共扣1分.）22．（12分）已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a ∈R .(1)若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)证明：*n ∀∈N，1(1(1e n--⋅⋅⋅-.解：(1)221(1)()1(1)(1)a x a f x x x x --'=-=+++，………………………………………………1分当1a ≤时，(0,)x ∀∈+∞，(1)0x a -->，∴当0x >时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，……………………………2分当1a >时，(0,1)x a ∀∈-，(1)0x a --<，∴当01x a <<-时，()0f x '<，……………………………………………………………3分∴()f x 在区间(0,1)a -上单调递减，不合题意，∴若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为(,1]-∞.…………………4分(2)欲证1(1(1en -⋅⋅⋅-，只需证e n<，………………………………5分即证e (1(1n <++⋅⋅⋅+，…………………………6分只需证<ln(1ln(1ln(1n ++++⋅⋅⋅++，……………7分由(1)可知当1a =时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f >=，∴当0x >时，不等式ln(1)01xx x +->+恒成立，即ln(1)1x x x +>+恒成立，…………8分∴1>+，即>，…………………9分同理>，…，ln >将上述不等式累加得：ln(1ln(1ln(1++⋅⋅⋅+………………………………………………………………………10分n =++⋅⋅⋅+==，∴不等式<ln(1ln(1ln(1n +++⋅⋅⋅++得证，∴不等式1(1(1e n-⋅⋅⋅-得证.………………………12分。
山东省济宁市2022届高三一模数学试题(解析版)
数学试题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的性质可化简集合 ，根据对数函数性质得集合 ，然后计算交集．
【详解】由已知 ， ，
【解析】
【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点位于第二象限，A对；
对于B选项， ，B对；
对于C选项，由题意可得 ，
因为 ，则 ，C错；
对于D选项， ，则 ，
【详解】对于A，设 的平均数为 ，方差为 ，则
， ，
给 中每一个数同时加上 ，则得到一组新的数为 ，则其平均数为 ，所以新的数据的方差为
，即方差不变，所以A正确，
对于B，由相关系数的性质可知，设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则 越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以B错误，
【解析】
【分析】根据三角函数的图象的平移变换可得到平移后的图象对应的函数的解析式，根据函数为偶函数，可求得结果.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位后,
得到的图象对应的解析式是： ，
由于该函数为偶函数，故 ，
即 ，而 ，
故 ，
故选：D
6.甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（）
山东省济宁市2021届新高考数学五模考试卷含解析
山东省济宁市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e x f x x+= B ．()21x f x x -= C ．()x e x f x x -= D ．()21x f x x += 【答案】A【解析】【分析】 由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B, ()21x f x x-=为 奇函数可判断B 错误; 对于选项C,当1x <-时, ()0x e x f x x-=<,可判断C 错误; 对于选项D, ()22111=+x f x x x x +=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】【分析】【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232d a a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题3．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-【答案】D【解析】【分析】 根据已知有333b c a b c a ++++=，可得13131c a b +=+-，只需求出3a b +的最小值，根据333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.【详解】依题意知，a 与b 为函数()3xf x =的“线性对称点”，所以333a b a b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.又+a b 与c 为函数()3xf x =的“线性对称点， 所以333b c a b c a ++++=， 所以3143131313a b ca b a b +++==+≤--， 从而c 的最大值为3log 41-.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】【分析】 先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】 由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=， ∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4a d c ==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4c e a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．二项式22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．360 【答案】A【解析】试题分析：因为22)n x +的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，551021101022•?()2r rr r r r r T C C x x--+==，令5502r -=，则2r =，23104180T C ==. 考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.6．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查等差数列的应用，属基础题。
2019-2020学年山东省济宁市高三第二学期第五次考试数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期第五次考试数学试卷一、选择题1．设集合A＝{x|0≤log3x≤2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．[6，9]C．[3，9]D．[﹣3，6]2．已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．3．设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．5．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．87．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣28．在四面体ABCD中，且AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题9．已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．10．（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）11．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为．12．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且|PH|＝k|PF|，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为，此时该双曲线的离心率为．三、多项选择题13．一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7B．a＝ll C．b＝12D．b＝914．设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则a⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α15．在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝l，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为D．AD与BC一定不垂直16．定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2四、解答题17．在①cos2B﹣sin B+2＝0②2b cos C＝2a﹣c③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点．（l）证明：EF∥平面SAD．（2）若SD＝8，求二面角D﹣EF﹣S的正弦值．20．生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．21．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣1，g（x）＝ax2﹣（a﹣2）x．（1）设函数H（x）＝f'（x）﹣g（x），讨论H（x）的单调性；（2）设函数G（x）＝g（x）+（a﹣2）x，若f（x）的图象与G（x）的图象有A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的交点，证明：In（x l x2）＞2+ln2．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|0≤log3x≤2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．[6，9]C．[3，9]D．[﹣3，6]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0≤log3x≤2}＝{x|1≤x≤9}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤﹣3或x≥6}，∴A∩B＝{x|6≤x≤9}＝[6，9]．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．解：∵，∴．故选：B．3．设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：因为，，，所以b＜c＜a，故选：C．4．函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论．解：因为，所以它的最小正周期为＝π，故选：C．5．“lnm＜lnn”是“m2＜n2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断条件和结论，互推关系即可解：lnm＜lnn，则0＜m＜n，故m2＜n2，反之，m2＜n2，得|m|＜|n|，故前者是后者的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．8【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°．因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．故选：C．7．已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣2【分析】依题意，可求得x＜0时的解析式为f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，求导，可得曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线的斜率，继而可得答案．解：因为函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣xln（﹣x）+1，所以f（﹣1）＝1，又f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，所以f'（﹣1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝﹣x．故选：A．8．在四面体ABCD中，且AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为（）A．5B．6C．7D．8【分析】在平面BCD中，过B作BE∥CD，且BE＝CD，连接DE，AE，运用异面直线所成角的定义和棱锥的体积公式，结合等积法，计算可得所求值．解：在平面BCD中，过B作BE∥CD，且BE＝CD，连接DE，AE，可得四边形BCDE为平行四边形，则V A﹣BCDE＝2V A﹣BCE＝2V C﹣BAE，由AC⊥AB，AC⊥CD，可得AC⊥BE，则CA⊥平面ABE，由AB，CD所成的角为30°，可得∠ABE＝30°，S△ABE＝AB•BE•sin30°＝×5×3×＝，则V C﹣BAE＝AC•S△ABE＝×4×＝5，而V A﹣BCDE＝2V A﹣BCD，可得V A﹣BCD＝V C﹣BAE＝5，故选：A．二、填空题9．已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．解：∵向量，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴sinθ＝＝，故答案为：．10．（2x3﹣）8的展开式中常数项是112．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．11．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为．【分析】基本事件总数n＝6×2＝12，事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”包含的基本事件个数m＝1，由此能求出事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率．解：左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，基本事件总数n＝6×2＝12，事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”包含的基本事件个数m＝1，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率P＝．故答案为：．12．已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且|PH|＝k|PF|，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为1，此时该双曲线的离心率为．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PH|＝k|PF|，可得＝，设PAE的倾斜角为α，则当k取得最大值时，sinα最小，此时直线PH与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∵|PH|＝k|PF|，∴|PH|＝k|PN|，∴＝，设PH的倾斜角为α，则cosα＝，当k取得最大值时，cosα最小，此时直线PH与抛物线相切，设直线PH的方程为y＝kx+k，代入y2＝4x，可得k2x2+2（k2﹣2）x+k2＝0，∴△＝4（k2﹣2）2﹣4k4＝0，∴k＝±1，∴P（1，±2），∴双曲线的实轴长为PH﹣PF＝2﹣2，∴双曲线的离心率为＝+1．故答案为：1；+1．三、多项选择题13．一组数据2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，记3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，则（）A．a＝7B．a＝ll C．b＝12D．b＝9【分析】2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，再求出结论．解：2x1+l，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的平均值为7，方差为4，设X＝（x1，x2，x3，…，x n），E（2X+1）＝2E（X）+1＝7，得E（X）＝3，D（2X+1）＝4D（X）＝4，D（X）＝1，3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均值为a，方差为b，a＝E（3X+2）＝3E（X）+2＝11，b＝D（3X+2）＝9D（X）＝9，故选：BD．14．设m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则a⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误．对于选项B选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α．故错误．对于选项C，由于m⊥α，n⊥β，则，直线m和n可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m⊥n，故正确．故选：ABD．15．在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝l，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为D．AD与BC一定不垂直【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC⊥平面OBD，所以AC⊥BD，故A正确；因为MN∥BD，所以MN∥平面ABD，故B正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A﹣CMN最大，最大值为V三棱锥A﹣CMN＝V三棱锥N﹣ACM＝××＝，故C错误；若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，因为OB＝OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故D正确．综上知，正确的命题为ABD．故选：ABD．16．定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2【分析】根据题意，因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a≥0；则0≤a＜b；根据定义，即可判断A，B；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断C，D即可．解：因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a ≥0；则0≤a＜b；∵函数f（x）＝|x2﹣1|在区间[0，1]上时，f（x）＝1﹣x2，故f（x）在[0，1]上单调递减，f（0）＝1，f（1）＝0，故值域为[0，1]；故[0，1]是f（x）的一个“完美区间”，故A 正确；∵＜0，故B错误①当b≤1时，[a，b]⫋[0，1]，此时f（x）＝|x2﹣1|＝1﹣x2，则函数f（x）在[0，1]上单调递减；所以函数f（x）在区间[a，b]上单调递减；因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，所以，所以a2+b＝b2+a＝1，则a2﹣a＝b2﹣b，所以a2﹣a+＝b2﹣b+，即（a﹣）2＝（b﹣）2，所以a﹣＝b﹣，整理得a＝b（舍去）；或a﹣＝﹣b，整理得a+b＝1，因为a+b2＝1，所以b＝b2解得b＝0（舍去）或b＝1；则a＝1﹣b＝0，此时a2+b＝0+1＝1，满足原方程组，所以a＝0，b＝1是方程组的唯一解；故此情况下存在a＝0，b＝1使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1﹣0）＝2；②当b＞1时，（1）若0≤a＜1，则1∈[a，b]，此时f（x）min＝f（1）＝0，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝0，f（b）＝b；因为b＞1，所以f（b）＝|1﹣b2|＝b2﹣1＝b，即b2﹣b﹣1＝0，解得b＝（舍去）或b＝；故此情况下存在a＝0，b＝，使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（﹣0）＝1+；（2）当a≥1时，f（x）＝x2﹣1，x∈[a，b]；此函数f（x）在[a，b]上单调递增，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则，所以此时a与b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不等实根，解x2﹣x﹣i＝0得x1＝，x2＝，所以，因为a＝＜1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f（x）＝|x2﹣1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+）＝3+；故C正确；D错误；故选：AC．四、解答题17．在①cos2B﹣sin B+2＝0②2b cos C＝2a﹣c③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若①，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选择①cos2B﹣sin B+2＝0，利用倍角公式可得：1﹣2sin2B﹣sin B+2＝0，化简解得：sin B＝，又a，b，c成等差数列，可得2b＝a+c，B为锐角．结合余弦定理即可得出．解：选择①cos2B﹣sin B+2＝0，则：1﹣2sin2B﹣sin B+2＝0，化为：2sin2B+sin B﹣3＝0，解得sin B＝，又a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，B为锐角．∴B＝．∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，化为：b2＝ac．∴＝ac，可得a＝c．∴△ABC是等边三角形．故答案为：①．18．已知数列{a n}满足+++…+＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．【分析】（1）运用数列的递推式，计算可得所求；（2）运用数列的裂项相消求和，以及不等式的性质即可得证．【解答】（1）解：+++…+＝，①当n＝1时，a1＝4．当n≥2时，+…+＝，②由①﹣②，得a n＝，因为a1＝4符合上式，所以a n＝，（2）证明：＝＝（﹣）T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），因为0＜≤，所以≤T n＜．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点．（l）证明：EF∥平面SAD．（2）若SD＝8，求二面角D﹣EF﹣S的正弦值．【分析】（1）取SD中点M，连接AM，MF，证明四边形AEMF为平行四边形，可得EF∥AM，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEF及平面EFS的法向量，利用向量公式及同角三角函数的基本关系即可求得所求正弦值．解：（1）证明：取SD中点M，连接AM，MF，∵M，F分别为SD，SC的中点，∴MF∥CD，且，又底面ABCD为正方形，且E为AB中点，∴MF∥AE，且MF＝AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴EF∥AM，∵EF不在平面SAD内，AM在平面SAD内，∴EF∥平面SAD；（2）以点D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（4，2，0），F（0，2，4），S（0，0，8），故，设平面DEF的一个法向量为，则，可取，设平面EFS的一个法向量为，则，可取，设二面角D﹣EF﹣S的平面角为θ，则，∴，即二面角D﹣EF﹣S的正弦值为．20．生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．【分析】（1）由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K2的计算公式可判断结论；（2）按照分层抽样的方法，计算可得X的可能取值为1，2，3，4．再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．解：（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105．2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200K2＝＝＞3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝．X的分布列为X1234PEX＝1×+2×+3×+4×＝．21．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意求出A，F2点的坐标，设M，N的坐标，求出直线MF2，AN的方程，两条直线联立求出交点B，代入椭圆方程恰好成立，证得B在椭圆上；（2）分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n的方程，与直线m联立求出Q点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P的坐标，假设存在定点T，设T的坐标，由恒成立，则＝0，可得T的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T使得恒成立．解：（1）证明：由题意知F2（1，0），A（4，0），设M（s，t），N（s，﹣t），则＝1，t2＝3（1﹣）．直线MF2的方程为y＝（x﹣1），直线AN的方程为y＝（x﹣4），联立可得x B＝，y B＝，即B的坐标为（，）．因为+＝＝＝＝1，所以B点恒在椭圆C上．（2）解：．当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx+b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝恒成立，则T一定在x轴上，故设T（x0，0），由可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝48（4k2﹣b2+3）＝0，可得b2＝3+4k2，所以x P＝﹣，y P＝kx P+b＝．又因为Q（4，4k+b），∠PTQ＝，所以＝（﹣﹣x0，）•（4﹣x0，4k+b）＝0，即（x0+）（x0﹣4）+＝0，所以x02﹣4x0+3+（4x0﹣4）＝0，对于任意的满足4k2﹣b2+3＝0 的k，b恒成立，所以解得x0＝1．故在平面内存在定点T（1，0），使得∠PTQ＝恒成立．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣1，g（x）＝ax2﹣（a﹣2）x．（1）设函数H（x）＝f'（x）﹣g（x），讨论H（x）的单调性；（2）设函数G（x）＝g（x）+（a﹣2）x，若f（x）的图象与G（x）的图象有A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的交点，证明：In（x l x2）＞2+ln2．【分析】（1）对函数H（x）求导，分a≥0，﹣2＜a＜0，a＝﹣2及a＜﹣2讨论即可得出单调性情况；（2）依题意，有两个不同的根，且，，再通过构造新函数，利用导数求证．解：（1）H（x）＝f′（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣2）x+1，则，当a≥0时，H（x）在上单调递增，在上单调递减；当﹣2＜a＜0时，令H′（x）＞0，得或，令H′（x）＜0，得，∴H（x）在上单调递增，在上单调递减；当a＝﹣2时，H′（x）≥0，H（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣2时，令H′（x）＞0，得或，令H′（x）＜0，得，∴H（x）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：G（x）＝g（x）+（a﹣2）x＝ax2，依题意，关于x的方程ax2＝xlnx﹣1，即有两个不同的根，由题知，①，②，①+②得，③，②﹣①得，④，由③④得，，不妨设0＜x1＜x2，记，令，则，∴F（t）在（1，+∞）上单调递增，故F（t）＞F（1）＝0，∴，即，∴，∵＝，∴，即，令，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，即，∴，即，∴ln（x1x2）＞2+ln2，即得证．。
山东省济宁市2020届高三下学期第五次线上考试数学试卷
山东省济宁市2020届高三下学期第五次线上考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合{}{30log 2,||A x x B x y =≤≤==,则A B ⋂=( ) A.[]1,3 B.[]6,9C.[]3,9D.[]3,6-2.已知复数552iz i i=+-,则z =( ) AB.C.D.3.设11231313,log 2,3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则( ) A .b a c <<B .c b a <<C .b c a <<D .c a b <<4.函数()2πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( )A .π4B .2πC .π2D .π5.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限,以F 为圆心,FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点,且,,A F B 三点共线,则AF =（ ） A .16B .10C .12D .87.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+ ,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A .y x =-B .2y x =-+C .y x =D .2y x =-8.在四面体ABCD 中,且,,,AB AC AC CD AB CD ⊥⊥所成的角为30,5,4,3AB AC CD ︒===,则四面体ABCD 的体积为（ ）A .5B .6C .7D .8二、填空题9.已知向量()()4,3,1,2,,a b a b =-=-的夹角为θ,则sin θ=___________. 10.382()1x x-的展开式中的常数项为__________.11.左手掷一粒骰子,右手掷一枚硬币,则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为__________.12.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ,点F 为抛物线的焦点,点P 在抛物线上且PH k PF =,当k 最大时,点P 恰好在以,H F 为焦点的双曲线上,则k 的最大值为__________,此时该双曲线的离心率为_________.三、多项选择题13.一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7,方差为4,记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ,方差为b ,则（ ）A .7a =B .11a =C .12b =D .9b =14.设,,m n l 为三条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,则下面结论不正确的是（ ） A .若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n B .若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ C .若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥则m n ⊥D .若//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥15.在三棱锥D ABC -中,1AB BC CD DA ==== ,且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱,BC CD 的中点,下面结论正确的是( ) A .AC BD ⊥ B .//MN 平面ABDC .三棱锥A CMN -D .AD 与BC 一定不垂直16.定义:若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ,则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”.另外,定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -,已知函数()21||f x x =-,则（ ）A .[]0,1是()f x 的一个“完美区间”.B.⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”. C .()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D .()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+四、解答题17.在①cos220B B +=,②2cos 2b C a c =-,③b a =三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若__________,且,,a b c 成等差数列,则ABC ∆是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由. 18.已知数列{}n a 满足12122525253n n na a a +++=---L . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明:11226n T ≤<.19.如图,在四棱锥S ABCD -中,ABCD 是边长为4的正方形,SD ⊥平面,,ABCD E F 分别为,AB SC 的中点.(1)证明://EF 平面SAD .(2)若8SD =,求二面角D EF S --的正弦值.20.生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列22⨯列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;生二孩不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计200(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望. 附:()2P K k ≥ 0.150.05 0.01 0.001k2.0723.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ (其中n a b c d =+++).21.已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦,直线:4m x =与x 轴交于点A ,直线2MF 与直线AN 的交点为B.(1)证明:点B 恒在椭圆C 上.(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ,直线n 与直线m 相交于点Q ,在平面内是否存在定点T ,使得π2PTQ ∠=恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由. 22.已知函数()()()2ln 1,2f x x x g x ax a x =-=--.(1)设函数()()()'H x f x g x =-,讨论()H x 的单调性;(2)设函数()()()2G x g x a x =+-,若()f x 的图象与()G x 的图象有()()1122,,,A x y B x y 两个不同的交点,证明:()12ln 2ln2x x >+.参考答案1.答案：B解析：因为{|}19,6{|A x x B x x =≤≤=≥或}3x ≤-,所以{|69}A B x x ⋂=≤≤. 2.答案：B 解析：()52551725i i iz i i i +=+==+-,故z =3.答案：C解析：因为11231313,log 20,013a b c ⎛⎫==<<=< ⎪⎝⎭,所以b c a <<. 4.答案：D解析：因为()22πcos 21π12π13cos cos 232232x f x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以最小正周期为π. 5.答案：A解析：若ln ln m n <,则0m n <<,从而22m n <; 若22m n <,则m n <，推不出ln ln m n <. 6.答案：C解析：因为,,A F B 三点共线, 所以AB 为圆F 的直径,AD BD ⊥. 由抛物线定义知12AD AF AB ==, 所以30ABD ∠=︒. 因为F 到准线的距离为6, 所以2612AF BF ==⨯=. 7.答案：A解析：因为()()()()()()()0,ln 1,11,'ln 1,'11x f x f x x x f f x x f <=-=--+-==----=-, 所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为y x =-. 8.答案：A解析：由题意,如图所示,,AC AB AC CD ⊥⊥,过点A 作CD 的平行线AE ,则AC ⊥平面ABE ,且EAB ∠为30︒或150︒,从B 点向AE 作垂线,垂足为E ,易证BE ⊥平面ACD . 点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=, 162ACD S AC CD =⋅=V ,则四面体ABCD 的体积为1·53ACD V S BE =⋅=V . 9.解析：cos a b a b θ⋅===,sin θ=. 10.答案：112解析：382()1x x-的展开式的通项为()()838244188221r r r r r r r T C x C x---+==-,令6r =,得()()866636862248748221112T C x C x ---==-=.11.答案：12解析：112骰子向上为6点的概率为16,硬币向上为正面的概率为12,故所求事件的概率为12. 12.1解析：过P 作准线的垂线交准线于M (图略),则PM PF =, 由PH k PF =,可得PH PH k PFPM==.设200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭,则014PH k PM==+令2014y t =+,则PH k PM ===,当2t =时,k ,即当2124y t =+=时,k ,此时02y =±.。
山东省济宁市2022届高三数学下学期第五次线上考试试题(含解析)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的定义域及单调性，可得 的关系，结合充分必要条件性质即可判断.
【详解】若 ，根据对数函数的定义域及单调性可知 ，可得 ，因而具有充分关系；
若 ，则 ，当 时对数函数无意义，因而不具有必要性；
由抛物线定义可知 ，由 ，（ ），
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
可得 ，
当k最大时， 取得最小值，且 ，
当 取得最小值时直线 与抛物线 相切，
设直线 的方程为 ，
则 ，化简可得 ，
因为直线 与抛物线相切，则 ，
解得 ，由 可得 ，同时可得切点横坐标为 ，
将切点横坐标带入抛物线可得 ，
因为点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，
2.已知复数 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法、加法运算，化简求得 ，再求得
【详解】 ，故 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
3.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“ 分段法”比较出 三者的大小关系.
A. B. 平面ABD
C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D.AD与BC一定不垂直
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据题意画出三棱锥D-ABC，取 中点 ，连接 ：对于A，根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明 平面 ，从而即可判断A；对于B，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C，当平面 平面 时，三棱锥A-CMN的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D，假设 ，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原命题成立即可.
山东省济宁市第五中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析
山东省济宁市第五中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由A1A⊥平面ABCD，推导出∠ACA1是AC1与平面ABCD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB=BC=2，AA1=1，∴AC==2，A1C==3，∵A1A⊥平面ABCD，∴∠ACA1是AC1与平面ABCD所成角，∴sin∠ACA1=．故选：A．2. 等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于（）A．16 B．15 C．8 D．7参考答案：B3. 集合，，若，则的值为（）A．1 B．2 C．-4 D．4参考答案：C试题分析：由于，当，解得，符合题意；当，解之得无解，故答案为C．考点：1、集合中元素的性质；2、集合的并集．4. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为（）A．k≥16B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8参考答案：A考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k 值到S并输出S．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 0 1/第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为k≥16故选A点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5. 已知等比数列{z n}中，，，（其中i为虚数单位，，且y＞0），则数列{z n}的前2019项的和为（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知是R上的奇函数，若，当x>0，是增函数，且对任意的x，y都有，则在区间[-3，-2]的最大值为A．-5 B．-6 C．-2 D．-4参考答案：D7. 若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为A.1B.C.D.参考答案：D略8. 等差数列的前n项和为，且，则(A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11参考答案：B略9. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A． B．C． D．参考答案：A略10. 设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为（）A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0，2）参考答案：A锐角中,，，，，，，，，，,则的取值范围为．所以A 选项是正确的．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数，则z 的虚部为．参考答案：112. 设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2，则m ＝________.参考答案：3解法1：∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，满足S m －1＝－1，S m ＝0，S m ＋1＝2， ∴解得m ＝3.解法2：a m ＝S m －S m －1＝1，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝2，d ＝a m ＋1－a m ＝1， a m ＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋m －1＝1，∴a 1＝2－m ，∴S m ＝ma 1＋d ＝m(2－m)＋＝0，∴m＝3. 13.的展开式中的项的系数是____________.（用数字作答）参考答案：14. 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n =a n +1﹣a n （n ∈N *）．若b 3=﹣2，b 10=12，则a 8= ．参考答案：315.已知(1 - 2x )n 的展开式的二项式系数和为64, 则它的展开式的中间项是 .参考答案：答案：- 160x 316. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对任意x∈R，都有，则不等式的解集为参考答案：（0，3） 略17. 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为__________.参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x =D．y 2．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．43．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>4．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．45．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞6．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．100827．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π 8．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．739．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<10．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-11．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2B 5C ．23D ．8312．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________． 14．已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值为______________．15．双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________. 16．下图是一个算法流程图,则输出的k 的值为__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点且3PM MC =，2PA PD ==，112BC AD ==，=2CD .()1求证：平面PQB ⊥平面以PAD ； ()2求二面角M BQ C --的大小.18．（12分）已知函数()1f x x x a =-+- （I ）当2a =时，解不等式()4f x ≥.（II ）若不等式()2f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围 19．（12分）等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ． 20．（12分）已知函数2()2ln 4f x x mx x =-++． （1）当5m =时，求()f x 的单调区间．（2）设直线l 是曲线()y f x =的切线，若l 的斜率存在最小值-2，求m 的值，并求取得最小斜率时切线l 的方程． （3）已知()f x 分别在1x ，()212x x x ≠处取得极值，求证：()()122f x f x +<．21．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.22．（10分）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C 【解析】试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 2、A 【解析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 3、D 【解析】因为0.080.08log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为1a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小. 4、C 【解析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x +≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5、D 【解析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】依题意有()()2x x f x g x a a -+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 6、B 【解析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】 由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=， 所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 7、B 【解析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以外接球的体积348233V r ππ==, 故选:B 【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 8、B 【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k =（舍去）. 故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题. 9、B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10、C 【解析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B ={1}.故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 11、D 【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=，故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作． 12、D 【解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】()3cos3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即3x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴有且仅有12-=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，2363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误；对于C ，当76x π=时，7726333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。